Производная линейной комбинации функций.

Предположим, что f(x) и g(x) являются дифференцируемыми функциями, а a и b - произвольными действительными числами. Тогда функция h(x) = af(x) + bg(x) также дифференцируема и

 

Билет 18:

Пусть задана функция y = f (x)….., Тогда каждому числу соответствует единственное число …….. Иногда приходится по значению функции y0 находить значение аргумента x0, то есть решать уравнение f (x) = y0 относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y0).Если функция f такова, что каждому значению……… соответствует только одно значение……. то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому…….. соответствует единственное значение …..Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1.Пусть g = f–1. Тогда: D (g) = E (f), E (g) = D (f); для любого……….. g (f (x)) = x, для любого….. f (g (x)) = x; графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая).Пусть функции x = f1 (t) и y = f2 (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f1. Если функция f1 обратима на E и…… – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция ……. которую называют параметрически заданной уравнениями x = f1 (t) и y = f2 (t).Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную………, т.е. справедлива формула………..Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δ x→ 0 Δ y→ 0.Покажем, что ………….Пусть………. Тогда по свойству предела……………... Перейдем в этом равенстве к пределу при Δ y→ 0. Тогда Δ x→ 0 и α (Δ x)→ 0, т.е. …………..Следовательно, ……………………..что и требовалось доказать.Эту формулу можно записать в виде ……………

 

Билет 20:

Пусть x=x(t), y=y(t) – дифференцируемы в точке t, z=f(x, y) – дифференцируема в точке t(x, y), если t получит Δ t, то x получит Δ x, y – Δ y, z –Δ z, а т.к. функция z дифференцируема, то ее приращение

Таблица производных:

билет 21:
Логарифмическая произво́ дная — производная от натурального логарифма функции.

Билет 22:

Пусть задана функция y = f (x)….., Тогда каждому числу соответствует единственное число …….. Иногда приходится по значению функции y0 находить значение аргумента x0, то есть решать уравнение f (x) = y0 относительно x. Это уравнение может иметь несколько или даже бесконечное количество решений (решениями являются абсциссы всех точек, в которых график y = f (x) пересекается с прямой y = y0).Если функция f такова, что каждому значению……… соответствует только одно значение……. то эту функцию называют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при любом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому…….. соответствует единственное значение …..Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают символом f–1.Пусть g = f–1. Тогда: D (g) = E (f), E (g) = D (f); для любого……….. g (f (x)) = x, для любого….. f (g (x)) = x; графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны друг другу относительно прямой y = x.Если функция y = f (x) непрерывна и строго возрастает (строго убывает) на отрезке [a; b], то на отрезке [f (a); f (b)] определена функция x = g (y), обратная к f, непрерывная и строго возрастающая (строго убывающая).Пусть функции x = f1 (t) и y = f2 (t) определены на множестве E, и пусть D – множество значений функции f1. Если функция f1 обратима на E и…… – обратная к ней функция, то на множестве D определена сложная функция ……. которую называют параметрически заданной уравнениями x = f1 (t) и y = f2 (t).Докажем теорему, позволяющую находить производную функции y=f(x), зная производную обратной функции.Теорема. Если для функции y=f(x) существует обратная функция x=g(y), которая в некоторой точке у0 имеет производную g '(v0), отличную от нуля, то в соответствующей точке x0=g(x0) функция y=f(x) имеет производную f '(x0), равную………, т.е. справедлива формула………..Доказательство. Т.к. x=g(y) дифференцируема в точке y0, то x=g(y) непрерывна в этой точке, поэтому функция y=f(x) непрерывна в точке x0=g(y0). Следовательно, при Δ x→ 0 Δ y→ 0.Покажем, что ………….Пусть………. Тогда по свойству предела……………... Перейдем в этом равенстве к пределу при Δ y→ 0. Тогда Δ x→ 0 и α (Δ x)→ 0, т.е. …………..Следовательно, ……………………..что и требовалось доказать.Эту формулу можно записать в виде ……………

Билет23: Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность
типа или .

Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если и , то ;

Если и , то аналогично .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа . Первые две неопределенности можно свести к типу или с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности сводятся к типу с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов.

билет 24:
Исследование функций на выпуклость и вогнутость:
Пусть функция f (х) задана на интервале (a, b) и х1, х2 – любые различные точки этого интервала. Через точки А (х1, f (х1)) и В (х2, f (х2)) графика функции f (х) проведем прямую, отрезок АВ которой называется хордой. Уравнение этой прямой запишем в виде у = у(х).
Функция f (х) называется выпуклой вниз на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £ b, хорда АВ лежит не ниже графика этой функции, т. е. если f (х) £ у (х), œ х Î [х1, х2] Ì (a, b):
Заметим, что выпуклую вниз функцию иногда называют вогнутой функцией. Аналогично определяется выпуклость функции вверх.
Функция f (х) называется выпуклой вверх на интервале (a, b), если для любых точек х1, х2 Î (a, b), а £ х1 < х2 £ b, хорда АВ лежит не выше графика этой функции, т. е. если f (х) 3 у (х), œ х Î [х1, х2] Ì (a, b):
Теорема 3 (достаточное условие выпуклости). Если f (х) – дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b) и

1) f ''(х) > 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла вниз;

2) f ''(х) < 0, œ х Î (a, b), то на (a, b) функция f (х) выпукла
ТОЧКА ПЕРЕГИБА:
точка х0 - точка перегиба функции f (х), если при переходе через точку х0 функция f (х) меняет характер выпуклости.

Билет 25:

При исследовании функции важно установить форму ее графика при неограниченном удалении точки графика от начала координат.Особый интерес представляет случай, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.(картинки на листочке) Прямая называется асимптотой графика функции y = f(x), если расстояние от переменной точки M графика до этой прямой при удалении точки M в бесконечность стремится к нулю, т.е. точка графика функции при своем стремлении в бесконечность должна неограниченно приближаться к асимптоте.Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от нее или с разных сторон, бесконечное множество раз пересекая асимптоту и переходя с одной ее стороны на другую.Если обозначим через d расстояние от точки M кривой до асимптоты, то ясно, что d стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность.Будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные и наклонные.ВЕРТИКАЛЬНЫЕ АСИМПТОТЫПусть при x→ x0 с какой-либо стороны функция y = f(x)неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. ………… или……. или …….. Тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 является асимптотой. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, т. о. ……....Таким образом, вертикальной асимптотой графика функции y = f(x) называется прямая, если f(x) → ∞ хотя бы при одном из условий x→ x0 – 0 или x → x0 + 0, x = x0Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот графика функции y = f(x) нужно найти те значения x = x0, при которых функция обращается в бесконечность (терпит бесконечный разрыв). Тогда вертикальная асимптота имеет уравнение x = x0.(рисуночек смотрите, братюни)НАКЛОННЫЕ АСИМПТОТЫПоскольку асимптота – это прямая, то если кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту, то ее уравнение будет y = kx + b. Наша задача найти коэффициенты k и b.Теорема. Прямая y = kx + b служит наклонной асимптотой при x → +∞ для графика функции y = f(x) тогда и только тогда, когда …………Аналогичное утверждение верно и при x → –∞.Замечание 1. Теорема показывает, что для нахождения асимптот достаточно найти два указанных предела. Причем, если хотя бы один из пределов не существует или обращается в бесконечность, то кривая асимптот не имеет.Замечание 2. В случае, когда k = 0 асимптота y = b называется горизонтальной асимптотой. Наличие горизонтальной асимптоты означает, что существуют пределыЗамечание 3. Пределы для отыскания k и b могут быть различны при x → +∞ и x → – ∞ и, следовательно, график функции может иметь две различные асимптоты при x → +∞ и x → –∞.

Билет 26: Первообразная и неопределенный интеграл. Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j(x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = j(x) + C

то

f '(x) = j'(x)

или

f '(x)dx = j'(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j(x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = j'(x) или df(x) = dj(x),

то

f(x) = j(x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x) , где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Билет 27:

Неопределенный интеграл

Первообразная

Первообразной функции f на промежутке I называется функция F, такая, что

Неопределенный интеграл

где F - первообразная функции f (на промежутке); C - произвольная постоянная.

Основные свойства

1.

2.

3. Если то

4.

Замена переменных в неопределенном интеграле

1.

2. Если - первообразная для то

 

Билет 28:

Метод замены переменной (метод подстановки)Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.Пусть требуется вычислить интеграл…………. Сделаем подстановку……… где — функция, имеющая непрерывную производную.Тогда……………. и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой: ………..(решение на листке)

Билет 29:

Интегри́ рование по частя́ м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода не оправданно.

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: