Пропорция. Основное свойство пропорции. Прямо и обратно пропорциональные величины. Деление числа пропорционально данным числам.

Пропорция – это равенство двух отношений.

Основное свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних членов.

Прямо пропорциональные величины – величины, если при увеличении (уменьшении) одной величины, вторая увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

Например, для зависимости S = v *t расстояние и время – прямо пропорциональные величины.

Обратно пропорциональные величины – величины, если при увеличении (уменьшении) одной величины, вторая уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

Например, для зависимости S = v *t скорость и время – обратно пропорциональные величины.

Деление числа на части пропорционально данным числам: данное число разделить на сумму чисел, выражающих части, умножить на соответствующую часть.

Например, разделить число 12 на части пропорционально числам 1 и 3. . Ответ: 3 и 9. Для проверки сложить данные числа, их сумма должна быть равна исходному числу.

Проценты. Нахождение процента от числа и числа по процентам.

Процент - сотая часть числа ( % ).

Нахождение процента от числа: число разделить на 100, умножить на число, выражающее процент.

Нахождение числа по процентам: заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на 100.

Противоположные и взаимообратные числа.

Противоположные числа – числа, отличающиеся только знаком. Например, 17 и – 17.

Взаимообратные числа – числа, произведение которых равно 1. Например, 17 и .

Отрицательные числа, действия с ними.

Сравнение отрицательных чисел: чем больше модуль отрицательного числа, тем меньше число. Отрицательное число всегда меньше 0 и любого положительного числа.

Сложение отрицательных чисел: сложить модули чисел и поставить знак минус.

Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычесть меньший и поставить знак числа с большим модулем.

Вычитание отрицательных чисел и чисел с разными знаками: вычитание заменить сложением, изменив при этом знак вычитаемого.

Умножение и деление отрицательных чисел и чисел с разными знаками: умножить/разделить модули, поставить знак в соответствии с правилом: если количество минусов нечётное, то поставить знак минус, если количество минусов чётное, то поставить знак плюс.

Иррациональные числа. Корень квадратный, корень n-ой степени. Арифметический квадратный корень.

Числа называются иррациональными, если их можно представить в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Периодическая десятичная дробь – бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр повторяются в одной и той же последовательности. Например, 4, 6753535353. Период записывают в скобочках 4, 67(53).

Чтобы перевести смешанную периодическую дробь в обыкновенную, нужно из числа, стоящего после запятой до второго периода, вычесть число, стоящее после запятой до первого периода, и эту разность сделать числителем, а в знаменатель записать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, со столькими нулями справа, сколько цифр между запятой и периодом, целую часть оставить той же.

Например, 1, 4(37) = .

Корнем степени n из числа a называется число, которое при возведении в степень n равно числу a. Если n чётное, то число a должно быть неотрицательным.

Квадратным корнем из неотрицательного числа a называется число, которое при возведении в квадрат равно числу a.

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a называется неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равно числу a.

16. Дискриминант.

 

Теорема Виета.

Применяется для приведённого уравнения:

Если уравнение не приведённое, то

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение – уравнение вида ax=b, где x – неизвестное, , b – некоторые числа.

Квадратное уравнение – уравнение вида , где x – неизвестное, , b, с – некоторые числа (коэффициенты уравнения).

Решение квадратных уравнений:

1 способ. Через дискриминант: , . Если D> 0, то уравнение имеет 2 корня, если D=0, то уравнение имеет один корень , если D< 0, то уравнение не имеет корней.

2 способ. Если b=2k, то .

3 способ. Теорема Виета.

Теорема Пифагора.

Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

, где a, b – катеты, c – гипотенуза.

! Катет всегда меньше гипотенузы.

Пифагоровы тройки: 3: 4: 5; 6: 8: 10; 5: 12: 13; 8: 15: 17.

Числовые промежутки.

(a, b) – промежуток не включает числа a и b.

[a, b] – промежуток включает числа a и b.

[a, b) – промежуток включает число a и не включает число b.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: