Производная от лог некоторой функции наз лог производной этой ф-ции, а послед применение операции логарифмирования , а затем диф-нияназ лог диференциалом

Табл: 1)(x^α )᾽ =α x^(α -1); 2)(1/x)᾽ =1/x^2; 3) (√ x)=1/(2√ x); 4) (a^x )᾽ =a^xln⁡ a; 5) (log_a⁡ x )᾽ =1/(x ln⁡ a ); 6)〖 (ln〗 ⁡ x)᾽ =1/x; 7)(sin⁡ x )=cos⁡ x; 8) (cos⁡ x)᾽ = -sin⁡ x; 9)(tgx)᾽ =1/(〖 cos〗 ^2 x); 10)(ctgx)᾽ =(-1)/(〖 sin〗 ^2 x); 11)(arcsinx)᾽ =1/√ (1-x^2 ); 12)(arccosx)᾽ = - 1/√ (1-x^2 ).

Понятие дифференцируемости функции в точке. Диф. функция. Таблица дифференциалов.

Функция у=f(х) наз. Дифференцируемой в точке х, если ее произведение у в этой точке можно представить в виде: у=А + ( ) (1), где А-некоторое число, ( )-бесконечно малая функция при х 0. Теорема: для того чтобы функция у=f(х) была дифференцируемой в точке х, необходимо и достаточно чтобы она имела в этой точке производную f (х).Пусть функция у=f(х) дифференцируема в точке х.Тогдаприрощение функции может быть записано по формуле (1), где =0.Тогда ( ) -бесконечно малая функцияболее ысокого порядкапо сравнению с А* .Тогда = =0. Поэтому правое слагаемое в формуле (1) явл.главной частью прирощения у при чем она линейная относительно , наз дифференциалом функции у=f(х) в точке х.Для обозначения используют обозначение dy=A , и т.к. А=f (х), то dy= А =f (х)dx (2).Таблица дифференциалов: Согласно формуле(2) можно из табл. Производных получить аналогичную табл. дифференциалов.Так из формулы (uv)᾽ =u᾽ v+uv᾽ умножив обе части на dx получим: (uv)᾽ dx=u᾽ dx*v+u*v᾽ dx. Табл: 1) ; 2) ; 3) ( )᾽ dx= ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ( )᾽ dx= - ; 9)(tgx)᾽ dx= ; 10)(ctgx)᾽ dx= ; 11)(arcsinx)᾽ dx= ; 12)(arccosx)᾽ dx= - .

12.Геометрический и механический смысл дифференциала. Инвариантность формы диф-лаю таблдиф-лов. Геометрический смысл дифференциала функцииВыясним геометрический смысл дифференциала. Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δ х (рис. 2). На рисунке АМ = Δ х, АМ1 = Δ у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем: tg α =AB/Δ x, т.е. tg α ⋅ Δ х.Но, согласно геометрическому смыслу производной, tgα = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅ Δ х. Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение Δ х.

Табл: 1) ; 2) ; 3) ( dx= ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ( dx= - ; 9)(tgx dx= ; 10)(ctgx dx= ; 11)(arcsinx dx= ; 12)(arccosx dx= - .

13. Основные теоремы дифференциального исчисления. Теорема Ферма. Пусть функция f определена на интервале (а; b) и в некоторой точке х₀ϵ (а; b) имеет локальный экстремум. Тогда если в точке х₀ существует производная то она равна 0, т.е. f'(x₀)=0. Теорема Ролля. Пусть функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), и на концах отрезка [a; b] принимает равные значения, то есть f(a)=f(b). Тогда существует точка cϵ (а; b), в которой f'(c)=0. Теорема Лагранжа. Если функция f непрерывна на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), то существует точка cϵ (а; b), такая, что справедлива формула: . Теорема Коши. Если функция f и gнепрерывны на отрезке [a; b], дифференцируема на интервале (а; b), причём g'(x)≠ 0, то существует точка cϵ (а; b), такая, что справедливо равенство: .

14. Исследование функции с помощью производной. 1Найти область определения функции, точки разрыва функции и интервалы непрерывности 2Найти (если это возможно) точки пересечения графика с осями оординат. 3Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых f (x) > 0 или f (x) < 0). 4Решить вопрос о чётности, нечётности, симметрии, периодичности функции. 5Если есть точки разрыва 2-го рода, найти вертикальные асимптоты. 6Найти, если они есть, наклонные и горизонтальные асимптоты. 7С помощью 1-ой производной найти точки экстремума и области возрастания и убывания 8данной функции. Найти экстремальные значения функции. 9С помощью 2-ой производной найти точки перегиба, области выпуклости и вогнутости. 10Построить график.

15. Понятие первообразной ф-ции. Основной операцией дифференциального исчисления явл. отыскание первообразной заданной функции. Восстановление функции по известной производной этой функции есть одна из задач интегрального исчисления. Функция F(x) наз. первообразной для функции f(x) на некотором промежутке Х, если для любого хϵ Х выполняется F^, (x)=f(x). Утверждение: Если F₁(x)и F₂(x) – 2 первообразные для функции f(x)на промежутке Х, то они отличаются лишь на постоянную, т.е. F₁(x)-F₂(x)=C, где С- некоторая постоянная. Другими словами, если F(x)есть первообразная для функции f(x), то множество функций F(x)+С включает все первообразные для данной функции f(x).Замечание: Ранее было показано, что не все функции, заданные на каком-либо интервале Х=(а; в) имеют первообразную. Аналогично, не всякая функция имеет первообразную.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: