Отметим, что св-ва 1-5 справедливы и для ст. рядов вида (1).

28.Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора. Для любой функции f(х), определённой в окрестности точки а и имеющей в ней производные до (n+1)-ого порядка включительно, справедлива формула Тейлора: (1), где R_n(x) – остаточный член формулы Тейлора. , , . Соотношение (1) запишем в виде (2), где P_n(x) – многочлен Тейлора: (3). Если функция f(x) бесконечно дифференцируема в окрестности точки а и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при n→ ∞, то из формулы Тейлора получим разложение функции f(x) по степеням (х-а), называемое рядом Тейлора: (4). Ряд Тейлора (4) можно составить для любой бесконечно дифференцируемой функции в окрестности точки а. такой ряд может оказаться расходящимся или сходящимся, но не к функции f(x).теорема1 Ряд Тейлора (4) функции f(x) сходится к f(x) в точке х из некоторой окрестности точки а тогда и только тогда, когда в этой точке х остаточный член формулы Тейлора (1) сходится к 0 при х→ ∞. отметим, что проверка условия теоремы 1 во многих случаях вызывает трудности, поэтому на практике часто используют достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора, которое выражается следующей теоремой. Теорема2. Если функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале (а-δ; а+δ ) и все её производные ограничены одной и той же константой М на (а-δ; а+δ ), то ряд Тейлора (4) сходится к функции f(x) на (а-δ; а+δ ).

29. Представление элементарных ф-ций рядом Маклорена. РядТейлора Если а=0, то он наз-ся рядом Маклорена. При разложении ф. f(x) в ряд Макл. (1) поступаем так: вычисляем значения ф. f(x) и ее производных f’(x), f”(x), …, f⁽ⁿ⁾(x), …. В точке х=0: записываем ряд (1) и находим его интервалом сходимости, определяем интервалом (-R; R), в кот.остаточный член при (если такой интервал сущ-ет, то на нем справедливо разложение (1)).

а) пусть f(x)=е^х, f⁽ⁿ⁾(x)= е^х, при х=0 f⁽ⁿ⁾(0)=1. Ряд Маклорена будет иметь вид .

б) пусть f(x)=sinx, f⁽ⁿ⁾(x)=sin(x + ), , при х=0 f(0)=0, f’(0)=1, f”(0)=0, f’’’(0)=-1, f⁽⁴⁾(0)=0, … Ряд Маклорена будет иметь вид . Тогда имеем .

в) аналогично .

г) разложим ф. f(x)=ln(1+x) в ряд Макл. , .

д) , . При х=1 имеем ; при х=-1 . Эти ряды сходятся условно.

е) разложение в ряд степенной ф. (1+х)^α , (α ≠ 0). .

30.Понятие дифур-нияю Решение дифур-ний с разделяющимися переменными.Пусть x − независимая переменная, y= y(x) − искомая неизвестная функция. Дифференциальным уравнением называют уравнение, содержащие производную или производные неизвестной функции. Уравнения вида y' = f( x, y )называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка, разрешенными относительно производной.Уравнения вида f(x, y, y’)=0 называют дифференциальными уравнениями 1-го порядка. Дифференциальные уравнения вида y ‘=g( y )*f (x) называют уравнениями с разделяющимися переменными. Решение уравнений с разделяющимися переменными осуществляется по следующей схеме: dy/dx=f (x)* g (y) ⇒ dy/ g (y) =f(x)dx⇒ ∫ dy /g(y)= ∫ f(x) dx.

31. Понятие диф. ур-ния. Решение однородныхдиф. ур-ний.При реш. различных задач матем., физ,. химии и др наук часто исп-сяур-ния, связывающие независимую переменную, искомую ф-цию и не производные. Такие ур-нияназ-с дифференциальными. Если искомая ф-ла зависит от 1 переменной, тодифф.ур. наз.обыкновенным. если искомая ф-ция зависит от неск.переменных, тодиф.ур. наз.ур-нием в частных производных. Наивысший порядок производной, входящий в диф.ур., наз. порядком этого ур-ния.Диф.ур. P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0 наз.однородным, если ф. P(x, y)и Q(x, y) (1)-однородные ф-ции одной степени. Разделив ур.(1) относит.произодн. dy\dx, запишем dy\dx=f(x, y) (2), где f(x, y)-однородная ф-ция нулевой степени. Покажем, что с пом.заменыy=ux, где u=u(x), однор. ур-ние сводится к ур-нию с разделяющимися переменными. Пусть t=1\х. подст. t в 1, получ. (1\t^m)P(1; y\x)dx+ (1\t^m)Q(1; y\x)dx=0. Учит., чтоdy\dx=u+x(dy\dx), имеем P(1; u)+Q(1, u)+xQ(1, u)(du\dx)=0. Получ. (Q(1, u)du)\(P(1, u)+uQ(1, u)=-dx\x –ур-ние с раздел.переменными. При делении перем. могли быть утеряны решения вида u=a, где а-кореньур-нияP(1; u)+uQ(1, u)=0.

32. Решение линейныхдифур-ний. Ур-ние вида y’+p(x)y=q(x) или dx/dy+p(y)x=q(y) (p и q непрерывные на некотором интервале I=(a, b) ф-ции) наз линейным, первое относительно y, , а второе – относит x, . Если q(x)Ξ 0 (Ξ – равно тождественно)(q(y)Ξ 0), то ур-ниеназыв линейным однородным, если q(x)≠ 0 (q(y)≠ 0) – линейным неоднородным. Решение линоднороднур-ния: y'+p(x)y=0(1). Имеем . Разделив переменные, получим Проинтегрировав, будем иметь , тогда (2). Т.к. y=0 также явл решением ур-ния (1), то фор-ла (2) будет давать все решения ур-ния (1), если считать параметр С произвольным. Решение линнеоднур-ния: y'+p(x)y=q(x)(3). Решение будем искать в виде y=C(x)y(4). Подставляя (4)в (3), имеем . (C(x)[y'+p(x)y]=0). Значит, C'(x)y=q(x), следовательно , отсюда следует, . Подставляя най денноеC(x) в (4), получим формулу Бернулли: . Описанный метод назыв методом вариации произвольной постоянной или методом Лагранжа.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: