Способы нахождения обратной матрицы

Если матрица обратима, то для нахождения обратной матрицы можно воспользоваться одним из следующих способов:

Точные (прямые) методы

Метод Гаусса—Жордана

Возьмём две матрицы: саму A и единичную E. Приведём матрицу A к единичной матрице методом Гаусса—Жордана. После применения каждой операции к первой матрице применим ту же операцию ко второй. Когда приведение первой матрицы к единичному виду будет завершено, вторая матрица окажется равной A^-1.

При использовании метода Гаусса первая матрица будет умножаться слева на одну из элементарных матриц Λ _i (трансвекцию или диагональную матрицу с единицами на главной диагонали, кроме одной позиции):

.

.

Вторая матрица после применения всех операций станет равна Λ, то есть будет искомой. Сложность алгоритма — O(n³).

Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы .

Решение. Находим определитель

 

ВОПРОС№7

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента а_ij, определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент а_ij. Обозначается М_ij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:

 

, тогда согласно определению минора, минором М₁₂, соответствующим элементу а₁₂, будет определитель:

 

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

, знак перед произведением равен (-1)ⁿ, где n = i + j.

Ранг матрицы

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Обычно ранг матрицы A обозначается ( ) или . Оба обозначения пришли к нам из иностранных языков, потому и употребляться могут оба. Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первый — для немецкого, французского и ряда других языков.

2 метода вычисления ранга матрицы: 1) метод окаймляющих миноров; 2) метод элементарных преобразований. Суть первого метода заключается в следующем. Пусть в матрице A найден ненулевой минор k-го порядка M. Рассмотрим все миноры (k + 1)-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется. Что касается второго метода, то воспользуемся элементарными преобразованиями 1) отбрасывание нулевой строки (столбца) и 2) транспонирование матрицы.

Определение

Пусть — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

• ноль, если A — нулевая матрица;
• число , где M_r — минор матрицы A порядка r, а M_{r + 1} — окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы порядка k равны нулю (Mk = 0). Тогда , если они существуют.

 

Связанные определения

• Ранг матрицы M размера называют полным, если .
• Базисный минор матрицы A — любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где .
• Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

• Теорема (о базисном миноре): Пусть — базисный минор матрицы A, тогда:

1. базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;

2. любая строка (столбец) матрицы A есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

• Следствия:

o Если ранг матрицы равен r, то любые p: p > r строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.

o Если A — квадратная матрица, и , то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.

o Пусть , тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно r.

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если , то их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

o Количество главных переменных системы равно рангу системы.

o Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть A — матрица размера над полем C (или R). Пусть T — линейное преобразование, соответствующее A в стандартном базисе; это значит, что T(x) = Ax. Ранг матрицы A — это размерность области значений преобразования T.

 

 

ВОПРОС№8

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: