Свободные, скользящие и фиксированные векторы

Иногда вместо того, чтобы рассматривать в качестве векторов множество всех равных направленных отрезков, берут только некоторую модификацию этого множества (фактормножество). Так, говорят о «свободных» (когда отождествляются все равные по длине и направлению направленные отрезки, считаясь полностью равными или одним и тем же вектором), «скользящих» (отождествляются между собой все направленные отрезки, равные в смысле свободных векторов, начала и концы которых расположены на одной прямой) и «фиксированных» векторах (по сути дела, просто о направленных отрезках, когда разное начало означает уже неравенство векторов).

Определение. Говорят, что свободные векторы и равны, если найдутся точки E и F такие, что четырёхугольники ABFE и CDFE — параллелограммы.

• Замечание. «Ухищрение» (введение дополнительных точек) в определении равенства касается, прежде всего, случая, когда точки A, B, C, D располагаются на одной прямой. В противном случае определение выглядит проще:

Определение. Говорят, что свободные векторы и , не лежащие на одной прямой, равны, если четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Определение. Говорят, что скользящие векторы и равны, если

• точки A, B, C, D располагаются на одной прямой,
• векторы и равны между собой как свободные векторы.

Неформально говоря, скользящему вектору разрешено двигаться вдоль его прямой без изменения величины и направления.

• Замечание. Скользящие векторы особо употребимы в механике. Простейший пример скользящего вектора в механике — сила. Перенос такого начала вектора вдоль прямой, на которой он лежит, не меняет момента силы ни относительно никакой точки; перенос же его на другую прямую, даже если не менять величины и направления вектора, может вызвать изменение его момента (скорее даже почти всегда вызовет): поэтому нельзя рассматривать силу как свободный вектор.

Определение. Говорят, что фиксированные векторы и равны, если попарно совпадают точки A и C, B и D. Вектором в простейшем случае называется направленный отрезок, а в других случаях различные векторы — это разные классы эквивалентности направленных отрезков, определяемые неким конкретным отношением эквивалентности. Причем отношение эквивалентности может быть разным, определяя тип вектора («свободный», «фиксированный» итд). Проще говоря, внутри класса эквивалентности все входящие в него направленные отрезки рассматриваются как совершенно равные, и каждый может равно представлять весь класс.

Вектор как последовательность

Вектор — упорядоченная пара чисел (последовательность, кортеж) однородных элементов. Это наиболее общее определение в том смысле, что может быть не задано обычных векторных операций вообще, их может быть меньше, или они могут не удовлетворять обычным аксиомам линейного пространства. Именно в таком виде вектор понимается в программировании, где, как правило, обозначается именем-идентификатором с квадратными скобками (например, object[]). Перечень свойств моделирует принятое в теории систем определение класса и состояния объекта. Так типы элементов вектора определяют класс объекта, а значения элементов — его состояние. Впрочем, вероятно, это употребление термина уже выходит за рамки обычно принятого в алгебре, да и в математике вообще.

Многие математические объекты (например матрицы, тензоры, функции и т. д.), в том числе обладающие структурой более общей, чем счётный или конечный упорядоченный список, удовлетворяют аксиомам векторного пространства, то есть являются с точки зрения алгебры векторами.

Обозначения

Вектор, представленный набором n элементов (компонент) допустимо обозначить следующим способами:

.

Для того чтобы, подчеркнуть, что это вектор (а не скаляр) используют черту сверху, стрелочку сверху, жирный или готический шрифт:

Сложение векторов почти всегда обозначается знаком плюс:

.

Умножение на число — просто написанием рядом, без специального знака, например:

,

причём число при этом обычно пишут слева.

Умножение на матрицу также обозначают написанием рядом, без специального знака, но здесь перестановка сомножителей в общем случае влияет на результат. Действие линейного оператора на вектор также обозначается написанием оператора слева, без специального знака.

Длина (модуль) вектора — скаляр, равный арифметическому квадратному корню из суммы квадратов координат (компонент) вектора. Обозначается или просто a.

Связанные определения

• Вектор, начало которого совпадает с его концом, называют нулевым:

• Вектор называют противоположным вектору .

• Длиной вектора, или модулем вектора, называют длину соответствующего направленного отрезка: .
• Свойства

Ортогональность

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Пример:
Даны два вектора и . Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x₁x₂ + y₁y₂ = 0.

Коллинеарность

Векторы являются коллинеарными тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

Пример:
Даны два вектора и . Эти векторы коллинеарны, если x₁ = λ x₂ и y₁ = λ y₂, где

⇐ Предыдущая123

Поделиться: