Множество. Теоретико-множественные операции и их свойства (1-4). Задача.

Множество. Теоретико-множественные операции и их свойства (1-4). Задача.

Множество. Теоретико-множественные операции и их свойства (5-8). Задача.

Множество. Теоретико-множественные операции и их свойства (9-13). Задача.

ABCD и тд – множества

A b x y – элементы множества

A принадлежит В – А принадлежит В, А подмножество множества В

Х- универсальное множество

1)А принадлежит В – объединение – это множество, состоящее из всех элементов множества А и множества В

[0, 1)принадлежит(-1, 1/2)=(-1, 1)

 

 

А

В

 

А=[0, 1), B=(-1, 1/2)

A B = (-1, 1)

A B =[0; 1/2)

A/B = [1/2; 1)

B/A = (-1; 0)

2) A B – пересечение – это множество состоящее извсеъ элементов кот входят в мнжнство А и множество В

 

 

А В А В

 

 

 

Пустое множество кот не содержит ни одного элемента

 

 

3) A/B вычитание- это множество состоящее из всех элементов которые входят в мн-а и не принадлеж мн-в.

 

 

 

В/A – вычитание это множество состоящее из всех элементов которые входят в мн-в и не принадлежат мн-А.

 

Свойства теоретико множественных операций

1)А В = В А – немутативность

2)(А В) С = А (В С) – АССОЦИАТИВНОСТЬ

3)А В =В А- КОМУТ

4) (А В) С =А (В С) – АССОЦ.

(a+b)*c = ac+bc

(a*b)+c не равно ac+bc

5)(A B) C =(A C) (B C)

6)(A C ) C= (A C) (B C) Дистрибути.

 

 

7) А = А

Х

X A = A

А

A = X-A

 

 

 

Высказывания. Логические операции и их свойства (1-4). Задача.

5. Высказывания. Логические операции и их свойства (5-8). Задача.

Логика - высказывание

Высказывание – это утвердительное выражение относительно которого можно сказать что оно истинно или ложно

А, В, С- высказывания

Логика операции

 

 

 

 

 

 

 

7. Функция - это зависимость между двумя множествами, при котором каждому элементу из одного множества ставится в соответствии с некоторым правилом, законом единственный элемент из другого множества. Близкими к понятию " функция" являются понятия " отображение", " оператор". Следует также отметить, что функция - одна из центральных и базовых понятий всей математической науки.

 

Область определения функции — множество, на котором задаётся функция

 

Если задана функция, которая действует из одного множества в другое, то множество, из которого действует данная функция, называется областью определения.

и обозначается D(f),

 

Множество значений функции

Множеством значений (область значений) функции на заданной области определения Х, называется множество всех таких элементов у, для которых существует элемент

Другими словами, область значений (ОЗ) - это множество всех возможных значений у.

Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹ 0) является х = (у—b)/a, О. ф. для у = ех является х = ln у и т.д.

8.Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X'X и Y'Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление. В правосторонней системе координат положительное направление осей выбирают так, чтобы при направлении оси Y'Y вверх, ось X'X смотрела направо.

График функции — множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты — соответствующими значениями функции y.

Элементарные функции, класс функций, состоящий из многочленов, рациональных функций, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью четырёх арифметических действий и суперпозиций (образование сложной функции), примененных конечное число раз

Сложная функция

Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х.

Последовательность

Последовательность – это одно из основных понятий математики. П. образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,..., n,..., и записывается в виде x1, x2, …, xn, … или коротко, {xn}. Элементы, из которых составляется П., называются её членами. Члены П., стоящие на разных местах, могут совпадать. П. можно рассматривать как функцию от натурального аргумента (т. е. функцию, определённую на множестве натуральных чисел). Обычно П. определяется заданием n-го члена или рекуррентной формулой (См. Рекуррентная формула), по которой каждый следующий член определяется через предыдущий (см., например, Фибоначчи числа). Наиболее часто встречаются числовые и функциональные П. (т. е. П., членами которых являются числа или функции).

 

Точная формулировка

Условия:

или;

и дифференцируемы в проколотой окрестности;

в проколотой окрестности

существует,

 

тогда существует

 

Вопрос 16.

Вопрос 17.

Интегрирование по частям

Другим довольно общим приемом преобразования интеграла является так называемое " интегрирование по частям".

 

Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [a, b]. Тогда на этом промежутке будет

 

(uv)' = u'v + uv'.

 

Отсюда, замечая, что u'dx = du, v'dx = dv, получаем:

.

(1)

 

причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл. Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.

 

Всматриваясь в строение формулы (1), замечаем, что для ее применения к какому-либо интегралу надо подинтегральное выражение представить в форме произведения u dv некоторой функции u на дифференциал другой функции dv. В результате же применения формулы (1) у нас появится интеграл от функции v, умноженной на дифференциал du. Иначе говоря, преобразование по формуле (1) состоит в интегрировании одного множителя dv и одновременном дифференцировании другого u. Вообще говоря, каждая из этих операций может привести к упрощению рассматриваемого интеграла, но чаще все же это упрощение достигается за счет дифференцирования множителя u. Поэтому некоторым указанием на целесообразность интегрирования по частям может служить наличие в составе подинтегральной функции такого множителя, который упрощается от дифференцирования. Этот множитель и следует принять за u, обозначив произведение остальных сомножителей подинтегрального выражения (включая dx! ) через dv.

Вопрос 18.

Вопрос 19.

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример 2

Вычислить интеграл

Решение.

Пример 3

Вычислить интеграл

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = − 1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

Пример 4

Вычислить интеграл

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям:

В нашем случае пусть будет:

Следовательно, интеграл равен

Вопрос 20.

Где

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Вопрос 21.

Вопрос 22.

Вопрос 23.

Вопрос 24.

Система линейных уравнений. Решение системы (правило Крамера). Задача.

Правило Крамера решения систем линейных уравнений

 

Рассмотрим систему линейных уравнений

(7)

Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

Назовем его определителем системы. Если D≠ 0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя:

 

Решение системы (7) находим по формулам:

(8)

которые называют формулами Крамера.

Пример 6. Решить систему уравнений

Решение. Вычислим определитель системы.

Система совместна, так как D≠ 0.

Вычислим теперь вспомогательные определители:

 

Тогда

 

Множество. Теоретико-множественные операции и их свойства (1-4). Задача.

1234Следующая ⇒

Поделиться: