Неопределенный интеграл. Метод замены переменных. Задача.

Замена переменной в определенном интеграле

Определенный интеграл по переменной x можно преобразовать в определенный интеграл относительно переменной t с помощью подстановки x = g (t):

Новые пределы интегрирования по переменной t определяются выражениями

где g -1 - обратная функция к g, т.е. t = g -1(x).

Вопрос 19.

Метод интегрирования по частям. Задача.

В этом случае формула интегрирования по частям имеет вид:

Где означает разность значений произведения функций uv при x = bи x = a.

Пример 1

Вычислить интеграл

Решение.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем

Пример 2

Вычислить интеграл

Решение.

Пример 3

Вычислить интеграл

Решение.

Сделаем замену:

Пересчитаем пределы интегрирования. Если x = 0, то t = − 1. Если же x = 1, то t = 2. Тогда интеграл через новую переменную t легко вычисляется:

Пример 4

Вычислить интеграл

Решение.

Запишем интеграл в виде

Используем интегрирование по частям:

В нашем случае пусть будет:

Следовательно, интеграл равен

Вопрос 20.

Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница. Задача.

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

Где

Свойства определенного интеграла

Ниже предполагается, что f (x) и g (x) - непрерывные функции на замкнутом интервале [a, b].

1. где k - константа;

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b]. Если F (x) - первообразная функции f (x) на [a, b], то

Вопрос 21.

Вычисление площади криволинейной трапеции. Задача.

Пусть на отрезке [а; b] оси Ох задана непрерывная функция f, не меняющая на нем знака. Фигуру, ограниченную графиком этой функции, отрезком [а; b] и прямыми х = а и х = b (рис. 1), называют криволинейной трапецией. Различные примеры криволинейных трапеций приведены на рисунках 1, а— д.

Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:

Теорема. Если f — непрерывная и неотрицательная на отрезке [а; b] функция, a F — ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 2) равна приращению первообразной на отрезке [а; b] т. е.

S=F(b)-F(a). (1)

Доказательство. Рассмотрим функцию S (х), определенную на отрезке [а; b]. Если а < x≤ b, то S (х) — площадь той части криволинейной трапеции, которая расположена левее вертикальной прямой, проходящей через точку М (х; 0) (рис. 2, а). Если х=а, то S (а) = 0. Отметим, что S(b)=S (S — площадь криволинейной трапеции).

Докажем, что

S'(x)=f(x). (2)

По определению производной надо доказать, что

при (3)

Выясним геометрический смысл числителя Δ S (х). Для простоты рассмотрим случай Δ X> 0. Поскольку Δ S(х)= S (х + Δ х) — S (х), то Δ S (х) — площадь фигуры, заштрихованной на рисунке 2, б. Возьмем теперь прямоугольник той же площади Δ S(x), опирающийся на отрезок [х; х+Δ х] (рис. 2, в). В силу непрерывности функции f верхняя сторона прямоугольника пересекает график функции в некоторой точке с абсциссой с ∈ [х; х+Δ х] (в противном случае этот прямоугольник либо содержится в части криволинейной трапеции над отрезком [х; x+Δ x], либо содержит ее; соответственно его площадь будет меньше или больше площади Δ S (X)). Высота прямоугольника равна f (с). По формуле площади прямоугольника имеем Δ S (x)=f (с) Δ х, откуда (Эта формула верна и при Δ х< 0.) Поскольку точка с лежит между х и х + Δ x; то с стремится к х при. Так как функция f непрерывна, при. Итак, при.Формула (2) доказана.Мы получили, что S есть первообразная для f.

Поэтому в силу основного свойства первообразных для всех х∈ [а; b] имеем:

S(x) = F(x)+C,

где С — некоторая постоянная, a F — одна из первообразных для функции f. Для нахождения С подставим х = а:

F(a)+C=S(a)=0,

откуда C=—F(a). Следовательно,

S(x) = F(x)-F(a). (4)

Поскольку площадь криволинейной трапеции равна S (b), подставляя х = b в формулу (4), получим:

S=S(b)=F(b)-F(a).

Вопрос 22.

Система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений (метод исключения неизвестного). Задача.

Вопрос 23.

Матрица. Определитель. Правило вычисления определителя. Задача.