Первообразная. Неопределенный интеграл. Задача.

В дифференциальном исчислении основной операцией является нахождение производной заданной функции. Сущность здесь заключается в установлении скорости изменения этой функции по сравнению с аргументом. Весьма часто, однако, приходится решать обратную задачу, когда по заданной скорости течения какого-либо процесса требуется восстановить сам этот процесс. В этом случае с математической точки зрения вопрос проводится к отысканию функции по ее производной. Эта операция, называемая интегрированием, является основной во второй половине математического анализа - интегральном исчислении.

Пусть функция f(x), заданная в некотором промежутке* [a, b], во всех его точках является производной функции F(x), также заданной в [a, b]. Тогда эта последняя функция F(x) называется первообразной функцией для функции f(x) (в промежутке [a, b]).

Имеет место

Теорема 1. У всякой непрерывной на промежутке [a, b] функции имеется первообразная.

Доказательство этой теоремы будет дано далее.

Нетрудно видеть, что, если функция F(x) есть первообразная для f(x), то функция F(x) + C при любом постоянном C также является первообразной для f(x). В то же время никаких других первообразных, кроме функций вида F(x) + C, у f(x) уже быть не может. Действительно, если F1(x) есть какая-то первообразная для f(x), то производная разности F1(x) - F(x) будет всюду на [a, b] равняться нулю, а тогда сама разность есть величина постоянная, т. е.

F1(x) - F(x) = C и F1(x) = F(x) + C.

Если F(x) есть первообразная функция для f(x), то функция двух аргументов x и C, равная F(x) + C, называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается символом

Таким образом, неопределенный интеграл какой-нибудь функции представляет собой общий вид первообразных функций для этой функции. Величина C, входящая в определение неопределенного интеграла, называется " произвольной постоянной". Придавая ей то или иное закрепленное значение, можем получить из неопределенного интеграла любую первообразную.

Легко понять, что из самого определения понятия интеграла вытекает следующее утверждение:

 

Теорема 2. Производная неопределенного интеграла равна подинтегральной функции, т. е.

Для успешного применения интегрального исчисления нужна разработанная техника нахождения неопределенных интегралов от элементарных функций. Дадим лишь общее представление об этом вопросе.

В основе упомянутой техники лежит некоторое количество простых формул.

Вопрос 17.

Неопределенный интеграл. Правила вычисления неопределенных интегралов. Задача.

Интегрирование с помощью подстановки

Чрезвычайно сильным методом приведения интеграла к табличной форме является метод подстановки или замены переменной. Он применяется в двух различных формах, каждая из которых основана на следующей теореме:

Теорема. Пусть F(z) есть на каком-нибудь промежутке [p, q] первообразная функция для функции f(z). Если φ (x) есть дифференцируемая функция, заданная на промежутке [a, b] и удовлетворяющая неравенствам p ≤ φ (x) ≤ q, то сложная функция F[φ (x)] будет первообразной для функции f[φ (x)]φ '(x).

В самом деле, дифференцируя сложную функцию y = F[φ (x)], мы должны ввести промежуточный аргумент z = φ (x). Тогда y = F(z), z = φ (x) и

Так как F'(z) = f(z), то

, чем и доказана теорема.

Доказанную теорему можно формулировать и так: если

То

Отсюда следует

 

Первое правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

записывая его в форме

заменяем здесь φ (x) на z, вычисляем полученный интеграл и в найденном ответе производим обратную замену z на φ (x).

 

Второе правило подстановки. Чтобы вычислить интеграл

полагаем x = φ (t), где φ (t) - дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию ψ (x). Вычислив полученный интеграл, заменим в нем t через ψ (x), что и приводит к значению искомого интеграла I.

Интегрирование по частям

Другим довольно общим приемом преобразования интеграла является так называемое " интегрирование по частям".

 

Пусть u = u(x) и v = v(x) суть две дифференцируемые функции, заданные на одном и том же промежутке [a, b]. Тогда на этом промежутке будет

 

(uv)' = u'v + uv'.

 

Отсюда, замечая, что u'dx = du, v'dx = dv, получаем:

.

(1)

 

причем произвольная постоянная, находившаяся в правой части, включена в интеграл. Формула (1) называется формулой интегрирования по частям. Она представляет собой некое тождественное преобразование одного интеграла в другой. Если новый интеграл проще исходного, то формулу применять целесообразно.

 

Всматриваясь в строение формулы (1), замечаем, что для ее применения к какому-либо интегралу надо подинтегральное выражение представить в форме произведения u dv некоторой функции u на дифференциал другой функции dv. В результате же применения формулы (1) у нас появится интеграл от функции v, умноженной на дифференциал du. Иначе говоря, преобразование по формуле (1) состоит в интегрировании одного множителя dv и одновременном дифференцировании другого u. Вообще говоря, каждая из этих операций может привести к упрощению рассматриваемого интеграла, но чаще все же это упрощение достигается за счет дифференцирования множителя u. Поэтому некоторым указанием на целесообразность интегрирования по частям может служить наличие в составе подинтегральной функции такого множителя, который упрощается от дифференцирования. Этот множитель и следует принять за u, обозначив произведение остальных сомножителей подинтегрального выражения (включая dx! ) через dv.

Вопрос 18.

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: