Способ подстановки в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Первообразная и ее св-ва. Неопределенный интеграл и его св-ва. Таблица интегралов.

F(x)-первообразная f(x) если F’(x)=f(x).

Пример: f(x)=sinx F(x)=-cosx F’(x)=(-cosx)’=sinx=f(x)

Свойства первообразной:

Первообразная суммы равна сумме первообразных

· Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

· Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке

· Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу

· У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Неопределенный интеграл от функции f(x) по dx называется совокупность всех первообразных функций f(x).

∫ f(x)dx=F(x)+c, F(x)-первообразная f(x), F’(x)=f(x)

∫ f(x)dx, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx-под интегральное выражение, dx-дифференцир. переменная х.

Св-ва:

1. производная от неопред интеграла равна под интегр ф-ии. (∫ f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫ f(x)dx)′ =(F(x)+C)′ =F′ (x)+0=F′ (x)=f(x). F(x)-первообр f(x).

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. ∫ dF(x)dx=F(x)+C.
Доказательство: dF(x)=F′ (x)dx=f(x)dx, ∫ dF(x)dx=∫ f(x)dx=F(x)+C.

3) Постоянный множитель можно выносить из под знака интеграла, т.е. ∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx, k/=0
Доказательство: Пусть F(x) -- первообразная для функции f(x), тогда
kF(x) -- первообразная для функции kf(x).

(kF(x))′ =0+kF′ (x)=kF′ (x)=kf(x).

Таким образом ∫ kf(x)dx=kF(x)+C=k(F(x)+C/k)=k(F(x)+C1)=k∫ f(x)dx

4) Неопределенный интеграл от суммы(разности) двух функций равен сумме(разности) интегралов этих функций. ∫ [f(x)±g(x)]dx=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx

5)дифф от неопред интеграла есть под интегральное выражение.

Док-во: d(∫ f(x)dx=(∫ f(x)dx)’=f(x)dx (по 1 св-ву).

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

….Таким.образом:

Пример:

Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

, где F(x) – первообразная для f(x).

Док-во: Рассмотрим

и (*) = F(x)+C, тогда если х=а => =F(a)+C => C=-F(a) (для всех t из [a; x]).

Вернёмся к (*) , при х=b => < =>

10 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.

Замена переменной.

Т. Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α; β ], a=φ (α ), b=φ (β ) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х=φ (t), где t из [α; β ]. Тогда справедливо равенство:

- формула замены переменной в определённом интеграле.

Замена х=φ (t), φ (t) – дифференцируема, f(φ (t)) – непрерывна, a=φ (α ), b=φ (β ).

Док-во:

Т.е.

Интегрирование по частям.

Т. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда

Где Док-во:

То функция u*v является первообразной для функции u*dv+v*du, тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

(где u’(x)dx=du и v’(x)dx=dv).

11 Вычисление .

=(заменим dx=-dy, при х=0→ у=П/2; при х=П/2→ у=0; cosx=cos(П/2-y)=siny)= = =

= = (проинтегрируем по частям: )= =

= =

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Пусть функция у=f(х)

определена и интегрируема на произвольном отрезке [a, t], т.е. функция определена для произвольного t> a.

Определение. Несобственным интегралом om функции f{x) на полуинтервале [а, +∞ ) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т.е.

Пр1.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи: а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла; б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

1 случай. α > 1

2 случай. α =1

3 случай. α < 1

Если α > 1, то интеграл сходящийся, если α ≤ 1, то расходящийся. Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и равен конечному числу, то несобственный интеграл называется сходящимся (к числу, которому равен), если интервал равен бесконечности или не дает никакого числа, то интеграл называется расходящимся (есть расходимость к бесконечности или просто расходимость).

- предел не существует. f(x) ≤ g(x)

Пр.

13.Несобственные интегралы от разрывных функций. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Если существует и конечен предел,

где δ > 0, то он

называется несобственным интегралом от функции y=f(x) на [a, b) и обозначается

1.Если lim есть, то его значение приписывают значению всего интеграла.

2. Если нет хоть одного lim, то интеграл – расходящийся.

Пр.

15. Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение - уравнение, содержащее производную F (x, y, y^/,..., у⁽ⁿ⁾)=0,

y⁽ⁿ⁾– «y n-ная производная», n - порядок производной.

Решение дифдренциалъного уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в верное функциональное тождество. Например, функция y=sin х является решением уравнения у" +у=0, так как (sin х)" + sin х=0 для любых х.

Количество решений = порядок уравнения

Общий интеграл – решения не выражаются друг через друга.

Пр. y^//+y=0, F(x; y; y^/; y^//)

y=sinx, y^/=cosx, y^//=-sinx: -sinx+sinx=0

Уравнения с разделяющимися переменными.

F (x, y, y^/))=0, y^/=f(x; y)- частный случай диф. ур-ния Iпорядка.

M(x; y)dx+N(x; y)dy=0 |=> dy/dx=-(M(x; y)/N(x; y))=f(x; y)

Опред. Пусть диф.ур-ние обозначено M(x; y)dx+N(x; y)dy=0, тогда оно называется ур-нием с разделенными переменными, если М -зависит только от x, N-от y, то ур-ние называется, ур-нием с разделенными переменными.

∫ M(x; y)dx+∫ N(x; y)dy=∫ 0

Опред. Ур-ние, записанное в диф-ной форме называется ур-нием с разделяющимися перем-ми, если оно имеет вид: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0

Ур-ние с разделяющимися пер-ми легко привести к ур-нию с разделенными: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0 |: M₂(y)N₁(x)

(M1(x)/N₁(x))dx+(N₂(y)/M₂(y))dy=0,

∫ (M1(x)/N₁(x))dx+∫ (N₂(y)/M₂(y))dy=C

Прю н^.=-н.чж вн.вч=-н.чж вн=-(н.ч)вчж (н.ч)вч+вн=0ж нвч+чвн=0/Жч*нж вч.ч+вн.н=0ж ∫ вч.ч+∫ вн.н=Сж дт/ч/+дт/н/=с=дтсж чн=с

16 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА .

Определение. Функция двух переменных M(x, y) называется однородной размерностью k(k - натуральное) если при умножении ее аргументов на один и тот же множитель ƛ.

M(ƛ x, ƛ y)= ƛ ^k × M(x, y)

f(x, y)=x-3y - однородное, размерностью 1 => f(ƛ x, ƛ y)= ƛ x-3ƛ y=ƛ (x-3y)

f(x, y)=x2-4xy+3y² (ƛ x)²-4(ƛ x)(ƛ y)-3(ƛ y²)=ƛ ²(x²-4xy+3y²) => размерностью 2

Определение. Уравнение y'=f(x, y) называется однородным, если правая часть уравнения есть однородная функция нулевой размерности.

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

M(x, y) и N(x, y) - однородны

y=x*z(x)=x*z

при этом, после такой замены дифференциальное уравнение придет к ур-ю с разделяющимися переменными

Пример. (y-x)*dx + (x+y)*dy= 0

y'=dy/dx=x-y/x+y (< => )

y=x*z(x)=x*z y'=z+x*z'

(< => ) z+x*z'=x-xz/x+xz (=)

z+x*z'=1-z/1+z

x*z'=(1-z/1+z)-z

x*dz/dx=(1-2z-z²/1+z) \*dx

(=)x*dz=(1-2z-z²/1+z)*dx \: x

dz=(1-2z-z²/1+z)*(dx/x)

(z+1/1-2z-z²)dz=dx/x

∫ (z+1/1-2z-z²)dz=∫ dx/x=ln(x)

Уравнение Бернулли

Дифференциальное уравнение вида y'+P(x)y=yⁿ × Q(x), n≠ 1, 0 называется дифференциальным уравнением Бернулли.

Решается так же, как и линейное, подстановкой y=uv или вариацией произвольной постоянной. Уравнение Бернулли приводится к линейному подстановкой z=y^-ⁿ

Пример. y'+xy=x³y³

y'=u'v+uv'

u'v+uv' +xuv=x³u³v³ обозначим за (*)

uv' +xuv=0

u(v'+xv)=0

v'+xv=0

dv/dx +xv=0

∫ dv/v+∫ xdx=∫ 0

ln|v|+x²/2=0

ln|v|= -x²/2 проведем потенцирование

v=e^-^x^{^2/2}

u'e^{-x^2/2}=x³e^{(-3x^2)/2} u³ \*e^{x^2/2}

u'=x³e^-^x^{^2} u³

du/dx=x³e^-^x^{^2}u³ ур-е с разделяющимися переменными, разделим

∫ du/u³=∫ x³e^-^x^{^2} dx

! выкладка!

∫ x³e^{-x^2} dx=1/2 ∫ x²e^{-x^2}d(x²) (=)

x dx=d(x²)/2 x²=z

(=)1/2 ∫ ze^-zdz (=)

u=z du=dz dv=e^-z dz v= -e^-z

(=) - ze^-z + ∫ e^-z dz = - ze^-z - e^-z= - e^-z(z+1)= - e^{-x^2} (x²+1)

! конец выкладки!

u^-2 = e^-^x^{^2}(x²+1)

u^-2=e^{-x^2} (x²+1)

u²=1/e^{-x^2} (x²+1)

u²=e^{x^2}/(x²+1)

u= e^{x^2}/x²+1

y=uv=e^{(-x^2)/2}*√ e^{x^2}/x²+1

Ый случай.

f(x) = e^ax

y*=A*e^ax

k²+pk+q = 0

y* = Ae^axx^r, где а - корень характеристического ур-я, r - кратность корня а, как характеристического ур.

Ой случай.

f(x)=P_n(x)*e^ax

y*=Q(x)*e^ax*x^r

Ий случай.

f(x)=e^ax (A*sin bx + B*cos bx)

y*=e^ax (c₁*sin bx + c₂*cos bx)*x^r

x=1, если a+b* , a+b*i, i - комплексное число

Пример. y''+9y=(x+1)*e³^x

y''+9y=0 (однородное, составляем характеристическое)

k²+0*k+9=0

k²= -9

k_{1, 2}= = 3 = 3i (a=0, b=3)

Y=e^ax (c₁*cos bx + c₂*sin bx)

Y=c₁*cos 3x + c₂*sin 3x

y* =?

y*=(Ax+B)*e³^x (подставим в изначальное уравнение)

x^r r=0 r 3

(y*)'=Ae^3x + 3(Ax+B)e^3x =e^3x (A+3Ax+3B)

(y*)''=3e^3x (A+3Ax+3B)+e^3x 3A=e^3x (9Ax+6A+9B)

e^3x(9Ax+6A+9B)+e^3x(9Ax+9B)=e^3x(x+1)

9Ax+6A+9B+9Ax+9B=x+1

18Ax+18B+6A=x+1

x¹ | 18A=1 A=1/18

x⁰ | 18B+6A=1 18B+1/3=1 18B=2/3 B=1/27

y*=e^3x(x/18 + 1/27)

y=y* + Y=e^3x(x/18 + 1/27)+c₁*cos 3x + c₂*sin 3x

Пример. y''-7y'+6y = x*e^x

y''-7y'+6y=0

хар.ур-е: k²-7k+6=0

k₁=1, k₂=6

Y=c₁*e^x+c₂*e^6x

y*=e^x(Ax+B)=e^x(Ax²+Bx)

e^x=e^ax

a=1 явл.корнем хар.ур-я r=1 значит надо умножить на x^r

(y*)'=e^x(Ax²+Bx)+e^x(2Ax+B)=e^x (Ax²+(2A+B)x+B)

(y*)''=e^x (Ax²+(2A+B)x+B)+e^x(2Ax+2A+B)=e^x(Ax²+(4A+B)x+2B+2A)

e^x(Ax²+(4A+B)x+2B+2A)-e^x(7Ax²+(14A+7B)x+7B)+e^x(6Ax²+6Bx)=x*e^x

x² | A-7A+6A=0 0=0

x¹ | 4A+B-14A-7B+6B=1 -10A=1 A= -1/10

x⁰ | 2A+2B-7B=0 2A-5B=0 -1/5-5B=0 B= -1/25 |=>

y*=e^x( -x²/10 - x/25)

y=y*+Y=e^x( -x²/10 - x/25) + c₁*e^x+c₂*e^6x

4-ый случай.

y''+py'+qy=f₁(x) + f₂(x)+...+...

y=Y+y₁*+y*₂

Пример. y''+2y'+5y=cos x+x+e^x

y''+2y'+5y=0

k²+2k+5=0 (хар.ур-е)

k_{1, 2}= -1 = -1 2i

Y=e^-x (c₁*cos 2x + c₂*sin 2x)

y₁*=e^0x(A*cos x + B*sin x) (=)

альфа=0+i=i r=0

(=) Acos x+Bsin x

(y₁*)' = -Asin x + Bcos x

(y₁*)''= -Acos x - Bsin x

-Acos x - Bsin x - 2Asin x + 2Bcos x + 5Acos x+ 5Bsin x = cos x

cos x | -A+2B+5A=1 A= -B/2

sin x | -B-2A+5B=0 A=2B B=1/10 A=1/5

y₁*=(cos x)/5 + (sin x)/10

y₂*=e^0x(Ax+B)=Ax+B

(y₂*)' =A

(y₂*)'' = 0

2A+5Ax+5B=x

x¹ | 5A=1 A=1/5

x⁰ | 2A+5B=0 B= -2/25

y₂*=x/5 - 2/25

y₃*=Ae^x

(y₃*)' = Ae^x

(y₃*)'' = Ae^x

Ae^x+2Ae^x+5Ae^x=e^x 8A=1 A=1/8

y*=e^x/8

н=Н+н₁*+н₂*+н₃*=у^-ч(с₁*сщы 2ч + с₂*ышт 2ч)+ (сщы ч).5 + (ышт ч).10+ ч.5 - 2.25+у^ч.8

Отношением.

Теорема. Если_{∞ ∞}

∑ U_n и ∑ V_n

n=1 n=1

ряды с положительными членами и существует конечный предел отношения их общих членовlim ^u_n_/^v_n=k≠ 0

ⁿ^-»∞

то ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Так как lim ^u_n_/^v_n=k то по определению

ⁿ^-»∞

предела числовой

последовательности для любого Ɛ > 0 существует такой номер Nчто для всех n > Nвыполняется неравенство

│ u_n_/v_n─ k│ < Ɛ или │ u_n-kv_n │ < Ɛ v_n откуда (k- Ɛ )v_n < u_n< (k+ Ɛ ) v_n

Если ряд _∞

∑ v_n

n=1 _∞

сходится, то сходится ряд ∑ (k+ε ) v_n и в силу

ⁿ⁼¹ _∞

признака сравнения будет сходиться ряд ∑ u_n

_∞ n=1

аналогично, если сходится ряд ∑ u_n то сходится

n=1

_∞

ряд ∑ (k- Ɛ )v_n и сходится ряд ∑ v_n

n=1 n=1

Таким образом, из сходимости одного ряда следует сходимость другого. Утверждение теоремы о расходимости рядов доказывается аналогично.

Признаки Даламбера и Коши

Признак Даламбера.

_∞

Пусть для ряда с ∑ u_n с положительными членами

n=1

существует предел отношения (n + 1)-го члена к n-му члену

lim Un+1 / u _n = ɭ

тогда если ɭ < 1 то ряд сходится; если ɭ > 1 то ряд расходится; если ɭ = 1, то вопрос о

сходимости ряда остается нерешенным.

Из определения предела последовательности следует, что для любого Ɛ > 0

существует такой номер N, что для всех n > N выполняется неравенство │ (u_n₊₁/ u_n₎ ─ ɭ │ < Ɛ или ɭ -Ɛ < u_n_+1/ u_n < Ɛ + ɭ

1) Пусть ɭ < 1. Выберем Ɛ настолько малым, что число q= ɭ + Ɛ < 1, т.е u_n_+1/ u_n< q или u_n₊₁< qu_n

Последнее неравенство будет выполняться для всех n > N, т.е. для n = N + 1, N + 2,...: u_N₊₂ < qu_N₊₁,

u_N+3< qu_N+2< q²u_N+1, …, u_N+k< qu_N+k-1< …< q^k-1u_N+1

Получили, что члены ряда u_N₊₂+u_N₊₃+...+u_N₊_k+... меньше соответствующих членов геометрического ряда

qu_N₊₁+ q²u_N₊₁+…+ q^k^-1u_N₊₁сходящегося при q < 1. Следовательно, на основании признака сравнения

этот ряд сходится, а значит сходится и

_∞

рассматриваемый ряд ∑ u_n. отличающийся от

n=1

полученного на первые (n + 1) членов.

2) Пусть ɭ > 1. Возьмем Ɛ настолько малым, что ɭ - Ɛ > 1. Тогда из условия u_n_+1/ u_n > ɭ - Ɛ следует, что u_n_+1/ u_n > ɭ Это означает, что члены ряда возрастают, начиная с номера N+1, поэтому предел общего члена не равен нулю, т.е не выполнен необходимый признак сходимости, и ряд расходится.

Признак Коши.

Пусть дан ряд

_∞

∑ u_n

n=1

члены которого положительны и не возрастают, т.е.

u₁≥ u₂≥ …≥ u_n≥..

а функция f(x), определенная при x≥ l, непрерывная и невозрастающая и

f(1)=u₁, f(2)=u_{2, …,}f(n)=u_n (*)

Тогда для сходимости ряда

_∞

∑ u_n

n=1

необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл

_∞

∫ f(x)dx

Рассмотрим ряд

_{2 3}_n₊₁

∫ f(x)dx+∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx +… (**)

1 2 n

Его n-йчастичной суммой будет S_n₌

_{2 3}_n₊₁_n₊₁

∫ f(x)dx+∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx (***)

1 2 n 1

сходимость ряда (**) означает существование предела последовательности его частичных сумм (***), т.е. сходимость

несобственного интеграла

_∞

∫ f(x)dx

1 Поскольку

_{n+1 ∞}

limS_n=lim∫ f(x)dx=∫ f(x)dx

ⁿ^{→ ∞}ⁿ^{→ ∞ 1 1}

В силу монотонности функции

f(x) на любом отрезке [n, n +1]

f(n)≥ f(x)≥ f(n+1) или учитывая (*)

u_n≥ f(x)≥ u_n₊₁(****)

Интегрируя (****) на отрезке [n, n +1] получим

_n₊₁_n₊₁_n₊₁

∫ u_n dx ≥ ∫ f(x)dx ≥ ∫ u_n₊₁ dx

n n n

откуда

_n₊₁

u_n≥ ∫ f(x)dx ≥ u_n₊₁(*****)

Если ряд

_∞

∑ u_n

n=1

сходится, то по признаку сравнения рядов в

силу первого неравенства (*****)должен сходиться ряд (**), а

значит и несобственный интеграл

_∞

∫ f(x)dx.

n=1

Обратно, если сходится

_∞

∫ f(x)dx.

n=1

т.е. ряд (**), то согласно тому же признаку сравнения на основании второго неравенства(*****) будет сходится ряд

_∞

∑ u_n₊₁₌ u₂+ u₃+_…+ u_n+ u_n₊₁+_…

n=1

а следовательно, и данный ряд

_∞

∑ u_n₌ u₁+ u₂+ u₃+_…+ u_n … n=1

Первообразная и ее св-ва. Неопределенный интеграл и его св-ва. Таблица интегралов.

F(x)-первообразная f(x) если F’(x)=f(x).

Пример: f(x)=sinx F(x)=-cosx F’(x)=(-cosx)’=sinx=f(x)

Свойства первообразной:

Первообразная суммы равна сумме первообразных

· Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции

· У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Неопределенный интеграл от функции f(x) по dx называется совокупность всех первообразных функций f(x).

∫ f(x)dx=F(x)+c, F(x)-первообразная f(x), F’(x)=f(x)

∫ f(x)dx, где f(x) – под интегральная функция, f(x)dx-под интегральное выражение, dx-дифференцир. переменная х.

Св-ва:

(kF(x))′ =0+kF′ (x)=kF′ (x)=kf(x).

Таким образом ∫ kf(x)dx=kF(x)+C=k(F(x)+C/k)=k(F(x)+C1)=k∫ f(x)dx

5)дифф от неопред интеграла есть под интегральное выражение.

Док-во: d(∫ f(x)dx=(∫ f(x)dx)’=f(x)dx (по 1 св-ву).

Способ подстановки в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой

Метод подстановки основан на след формуле: ∫ f(x)dx=∫ f(y(t))y’dt

x=y(t)

Док-во: (∫ f(x)dx)’=f(x)*x_t=f(y(t))*y’(t)

∫ f(y(t))y’(t)dt)’=f(y(t))y’(t)

Интегри́ рование по частя́ м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция представима в виде произведения двух непрерывныхи гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

Функции и гладкие, следовательно, возможно дифференцирование:

Эти функции также непрерывны, значит можно взять интеграл от обеих частей равенства:

Операция интегрирования обратна дифференцированию:

После перестановок:

3.Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен

Рассмотрим интеграл , содержащий квадратный трехчлен в знаменателе подынтегрального выражения. Такой интеграл берут также методом подстановки, предварительно выделив в знаменателе полный квадрат. Покажем это на примерах. Вычислить . Преобразуем , выделяя полный квадрат по формуле . Тогда ;

4.Интегрирование рациональных дробей.

Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)^a…(x - b)^b(x²+ px + q)^l…(x²+ rx + s)^m), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин A_i, B_i, M_i, N_i, R_i, S_i применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.

Пример.