![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Универсальная тригонометрическая подстановка.
Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента
Пример: Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Пусть на некотором интервале [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)> 0. y=0, x=a, x=b. Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена близко к кривой f(x) на [a, b]. Фигура под ломаной состоит из трапеций, и ее площадь Sл (сумма площадей всех этих трапеций) мб вычислена с помощью формул планиметрии. Поскольку ломаная близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство Sл=S. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломанной к заданной прямой.
Определенный интеграл. Пусть функция f(х) определена на отрезке и a=x0< x1< …< xn=b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида
8 Свойства определенного интеграла . 1. Аддитивность 2. 3. Действительно, пусть первообразная для то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных (св-во линейности). 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 9 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница. Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке [а; х], кроме того то производная от Ф(х) будет равна подынтегральной функции, т.е. Ф’(x)=f(x). = Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а; в]. Тогда в каждой точке х отрезка [а; в] производная функции Ф(х) по его верхнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е. Док-во: найдём производную от Ф(х)
Следствие: Формула Ньютона-Лейбница. Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.
Док-во: Рассмотрим и (*) Вернёмся к (*) 10 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям. Замена переменной. Т. Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α; β ], a=φ (α ), b=φ (β ) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х=φ (t), где t из [α; β ]. Тогда справедливо равенство:
Замена х=φ (t), φ (t) – дифференцируема, f(φ (t)) – непрерывна, a=φ (α ), b=φ (β ). Док-во: Т.е. Интегрирование по частям. Т. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда Где То функция u*v является первообразной для функции u*dv+v*du, тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:
11 Вычисление
= = =
определена и интегрируема на произвольном отрезке [a, t], т.е. функция определена для произвольного t> a.
При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи: а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла; б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.
2 случай. α =1
3 случай. α < 1
Если α > 1, то интеграл сходящийся, если α ≤ 1, то расходящийся. Если предел, стоящий в правой части равенства, существует и равен конечному числу, то несобственный интеграл называется сходящимся (к числу, которому равен), если интервал равен бесконечности или не дает никакого числа, то интеграл называется расходящимся (есть расходимость к бесконечности или просто расходимость).
Если существует и конечен предел, где δ > 0, то он
называется несобственным интегралом от функции y=f(x) на [a, b) и обозначается
2. Если нет хоть одного lim, то интеграл – расходящийся.
Пр.
15. Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение - уравнение, содержащее производную F (x, y, y/,..., у(n))=0, y(n) – «y n-ная производная», n - порядок производной. Решение дифдренциалъного уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в верное функциональное тождество. Например, функция y=sin х является решением уравнения у" +у=0, так как (sin х)" + sin х=0 для любых х. Количество решений = порядок уравнения Общий интеграл – решения не выражаются друг через друга. Пр. y//+y=0, F(x; y; y/; y//) y=sinx, y/=cosx, y//=-sinx: -sinx+sinx=0 Уравнения с разделяющимися переменными. F (x, y, y/))=0, y/=f(x; y)- частный случай диф. ур-ния Iпорядка. M(x; y)dx+N(x; y)dy=0 |=> dy/dx=-(M(x; y)/N(x; y))=f(x; y) Опред. Пусть диф.ур-ние обозначено M(x; y)dx+N(x; y)dy=0, тогда оно называется ур-нием с разделенными переменными, если М -зависит только от x, N-от y, то ур-ние называется, ур-нием с разделенными переменными. ∫ M(x; y)dx+∫ N(x; y)dy=∫ 0 Опред. Ур-ние, записанное в диф-ной форме называется ур-нием с разделяющимися перем-ми, если оно имеет вид: М1(х)М2(у)dy+N1(x)*N2(y)dy=0 Ур-ние с разделяющимися пер-ми легко привести к ур-нию с разделенными: М1(х)М2(у)dy+N1(x)*N2(y)dy=0 |: M2(y)N1(x) (M1(x)/N1(x))dx+(N2(y)/M2(y))dy=0, ∫ (M1(x)/N1(x))dx+∫ (N2(y)/M2(y))dy=C Прю н.=-н.чж вн.вч=-н.чж вн=-(н.ч)вчж (н.ч)вч+вн=0ж нвч+чвн=0/Жч*нж вч.ч+вн.н=0ж ∫ вч.ч+∫ вн.н=Сж дт/ч/+дт/н/=с=дтсж чн=с 16 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА . Определение. Функция двух переменных M(x, y) называется однородной размерностью k(k - натуральное) если при умножении ее аргументов на один и тот же множитель ƛ. M(ƛ x, ƛ y)= ƛ k × M(x, y) f(x, y)=x-3y - однородное, размерностью 1 => f(ƛ x, ƛ y)= ƛ x-3ƛ y=ƛ (x-3y) f(x, y)=x2-4xy+3y2 (ƛ x)2-4(ƛ x)(ƛ y)-3(ƛ y2)=ƛ 2(x2-4xy+3y2) => размерностью 2 Определение. Уравнение y'=f(x, y) называется однородным, если правая часть уравнения есть однородная функция нулевой размерности. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 M(x, y) и N(x, y) - однородны y=x*z(x)=x*z при этом, после такой замены дифференциальное уравнение придет к ур-ю с разделяющимися переменными Пример. (y-x)*dx + (x+y)*dy= 0 y'=dy/dx=x-y/x+y (< => ) y=x*z(x)=x*z y'=z+x*z' (< => ) z+x*z'=x-xz/x+xz (=) z+x*z'=1-z/1+z x*z'=(1-z/1+z)-z x*dz/dx=(1-2z-z2/1+z) \*dx (=)x*dz=(1-2z-z2/1+z)*dx \: x dz=(1-2z-z2/1+z)*(dx/x) (z+1/1-2z-z2)dz=dx/x ∫ (z+1/1-2z-z2)dz=∫ dx/x=ln(x) |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 343; Нарушение авторского права страницы