Универсальная тригонометрическая подстановка.

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента

,

….Таким.образом:

Пример:

Задача о вычислении площади криволинейной трапеции. Определенный интеграл.

Пусть на некотором интервале [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)> 0. y=0, x=a, x=b. Рассмотрим некоторую ломаную, которая расположена близко к кривой f(x) на [a, b]. Фигура под ломаной состоит из трапеций, и ее площадь Sл (сумма площадей всех этих трапеций) мб вычислена с помощью формул планиметрии. Поскольку ломаная близко к кривой y=f(x), то справедливо приближенное равенство Sл=S. Поэтому естественно за искомую площадь S взять предел площади Sл под ломаной в предположении неограниченного приближения ломанной к заданной прямой.

 

Определенный интеграл.

Пусть функция f(х) определена на отрезке и a=x0< x1< …< xn=b – произвольное разбиение этого отрезка на n частей. Сумма вида где называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а, b]. Предел интегральной суммы Sn при условии, что число разбиений отрезка [а, b] неограниченно увеличивается, , а наибольшая из разностей (длин частичных отрезков разбиения) стремится к нулю, называется определенным интегралом от функции f(х) на отрезке [а, b] и обозначается символом т.е. где f(x) -подынтегральная функция; а – нижний предел интегрирования; b - верхний предел интегрирования.

 

8 Свойства определенного интеграла .

1. Аддитивность

2.

3.

Действительно, пусть первообразная для равна , для равна , а для равна . Тогда равенство означает, что где . Поскольку и

то равенство верно; при этом мы воспользовались тем, что производная суммы равна сумме производных (св-во линейности).

4. где -произвольная постоянная. Для доказательства обозначим через некоторую первообразную для , а через -некоторую первообразную для . Тогда равенство означает, что , где -- постоянная. Это равенство верно, поскольку производные левой и правой частей дают одно и то же: , так как - первообразная для , а , так как постоянный множитель можно вынести за знак производной и . Итак, постоянный множитель можно вынести за знак интеграла (линейность).

5.

6.

7.

8.

9. - теорема о среднем.

10.

9 Теорема Барроу. Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке [а; х], кроме того ,

то производная от Ф(х) будет равна подынтегральной функции, т.е. Ф’(x)=f(x).

= Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а; в]. Тогда в каждой точке х отрезка [а; в] производная функции Ф(х) по его верхнему пределу равна подынтегральной функции f(x), т.е.

Док-во: найдём производную от Ф(х)

= = = = = = = , т.к. ,

Следствие: , где f(x) непрерывная функция на промежутке [а; х], тогда Ф(х) будет первообразной для функции f(x).

Формула Ньютона-Лейбница.

Т. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) – любая первообразная для f(x) на [a; b]. Тогда определённый интеграл от функции f(x) на [a; b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке, т.е.

, где F(x) – первообразная для f(x).

Док-во: Рассмотрим

и (*) = F(x)+C, тогда если х=а => =F(a)+C => C=-F(a) (для всех t из [a; x]).

Вернёмся к (*) , при х=b => < =>

10 Вычисление определённого интеграла подстановкой и по частям.

Замена переменной.

Т. Пусть функция φ (t) имеет непрерывную производную на отрезке [α; β ], a=φ (α ), b=φ (β ) и функция f(x) непрерывна в каждой точке х вида х=φ (t), где t из [α; β ]. Тогда справедливо равенство:

- формула замены переменной в определённом интеграле.

Замена х=φ (t), φ (t) – дифференцируема, f(φ (t)) – непрерывна, a=φ (α ), b=φ (β ).

Док-во:

Т.е.

Интегрирование по частям.

Т. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a; b]. Тогда

Где Док-во:

То функция u*v является первообразной для функции u*dv+v*du, тогда по формуле Ньютона-Лейбница получаем:

(где u’(x)dx=du и v’(x)dx=dv).

11 Вычисление .

=(заменим dx=-dy, при х=0→ у=П/2; при х=П/2→ у=0; cosx=cos(П/2-y)=siny)= = =

= = (проинтегрируем по частям: )= =

= =

= =

=

12. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконеч­ность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегри­рования. Пусть функция у=f(х)

определена и интегрируема на произвольном отрезке [a, t], т.е. функция определена для произвольного t> a.

Определение. Несобственным интегралом om функции f{x) на полуинтервале [а, +∞ ) называется предел функции Ф(t) при t, стремящемся к +∞, т.е.

Пр1.

 

 

 

 

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи: а) исследование вопроса о сходимости заданного несобствен­ного интеграла; б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

1 случай. α > 1

 

 

2 случай. α =1

 

 

3 случай. α < 1

 

 

Если α > 1, то интеграл сходящийся, если α ≤ 1, то расходящийся. Если предел, стоящий в правой части равенства, суще­ствует и равен конечному числу, то несобственный интеграл называется сходя­щимся (к числу, которому равен), если интервал равен бесконечности или не дает никакого числа, то интеграл называется расходящимся (есть расходимость к бесконечности или просто расходимость).

- предел не существует. f(x) ≤ g(x)

 

Пр.

13.Несобственные интегралы от разрывных функций. Несобственный интеграл от функции - когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконеч­ность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Если существует и конечен предел,

где δ > 0, то он

 

 

называется несобственным интегралом от функции y=f(x) на [a, b) и обозначается

 

1.Если lim есть, то его значение приписывают значению всего интеграла.

 

 

2. Если нет хоть одного lim, то интеграл – расходящийся.

Пр.

 

15. Дифференциальные уравнения. Уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение - уравнение, содержащее производную F (x, y, y^/,..., у⁽ⁿ⁾)=0,

y⁽ⁿ⁾ – «y n-ная производная», n - порядок производной.

Решение дифдренциалъного уравнения называется такая функция у=у(х), которая при подстановке ее в дифференциальное уравнение обращает его в верное функциональное тождество. Например, функция y=sin х является решением уравнения у" +у=0, так как (sin х)" + sin х=0 для любых х.

Количество решений = порядок уравнения

Общий интеграл – решения не выражаются друг через друга.

Пр. y^//+y=0, F(x; y; y^/; y^//)

y=sinx, y^/=cosx, y^//=-sinx: -sinx+sinx=0

Уравнения с разделяющимися переменными.

F (x, y, y^/))=0, y^/=f(x; y)- частный случай диф. ур-ния Iпорядка.

M(x; y)dx+N(x; y)dy=0 |=> dy/dx=-(M(x; y)/N(x; y))=f(x; y)

Опред. Пусть диф.ур-ние обозначено M(x; y)dx+N(x; y)dy=0, тогда оно называется ур-нием с разделенными переменными, если М -зависит только от x, N-от y, то ур-ние называется, ур-нием с разделенными переменными.

∫ M(x; y)dx+∫ N(x; y)dy=∫ 0

Опред. Ур-ние, записанное в диф-ной форме называется ур-нием с разделяющимися перем-ми, если оно имеет вид: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0

Ур-ние с разделяющимися пер-ми легко привести к ур-нию с разделенными: М₁(х)М₂(у)dy+N₁(x)*N₂(y)dy=0 |: M₂(y)N₁(x)

(M1(x)/N₁(x))dx+(N₂(y)/M₂(y))dy=0,

∫ (M1(x)/N₁(x))dx+∫ (N₂(y)/M₂(y))dy=C

Прю н^.=-н.чж вн.вч=-н.чж вн=-(н.ч)вчж (н.ч)вч+вн=0ж нвч+чвн=0/Жч*нж вч.ч+вн.н=0ж ∫ вч.ч+∫ вн.н=Сж дт/ч/+дт/н/=с=дтсж чн=с

16 ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА .

Определение. Функция двух переменных M(x, y) называется однородной размерностью k(k - натуральное) если при умножении ее аргументов на один и тот же множитель ƛ.

M(ƛ x, ƛ y)= ƛ ^k × M(x, y)

f(x, y)=x-3y - однородное, размерностью 1 => f(ƛ x, ƛ y)= ƛ x-3ƛ y=ƛ (x-3y)

f(x, y)=x2-4xy+3y² (ƛ x)²-4(ƛ x)(ƛ y)-3(ƛ y²)=ƛ ²(x²-4xy+3y²) => размерностью 2

Определение. Уравнение y'=f(x, y) называется однородным, если правая часть уравнения есть однородная функция нулевой размерности.

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

M(x, y) и N(x, y) - однородны

y=x*z(x)=x*z

при этом, после такой замены дифференциальное уравнение придет к ур-ю с разделяющимися переменными

Пример. (y-x)*dx + (x+y)*dy= 0

y'=dy/dx=x-y/x+y (< => )

y=x*z(x)=x*z y'=z+x*z'

(< => ) z+x*z'=x-xz/x+xz (=)

z+x*z'=1-z/1+z

x*z'=(1-z/1+z)-z

x*dz/dx=(1-2z-z²/1+z) \*dx

(=)x*dz=(1-2z-z²/1+z)*dx \: x

dz=(1-2z-z²/1+z)*(dx/x)

(z+1/1-2z-z²)dz=dx/x

∫ (z+1/1-2z-z²)dz=∫ dx/x=ln(x)

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: