Случаи умножения и деления с 0

1) Умножение 0 на число. Знакомство с данным случаем учитель проводит, опираясь на знание конкретного смысла умножения. (т.е. умножение определяется через сложение слагаемых. Важно, чтобы дети усвоили, что первое число показывает, какое число берется слагаемым, а второе – сколько раз берется слагаемым первое число).

2) Умножение числа на 0. Учитель сообщает правило умножения числа на 0. Важно, что для этого случая нельзя применить рассуждение, опирающееся на определение умножения как сложения одинаковых слагаемых, так как нельзя повторить число слагаемым 0 раз. Также нельзя проводить объяснение, опираясь на перестановку множителей: «Если 0*5 получится 0, то и 5*0 получится 0. Однако когда указанные случаи введения и тоже считаются умножением ( по договоренности), то можно показать, что и для них выполняется переместительное сво-во умножения.

3) а)Деление вида 0: a При рассмотрении деления нуля на любое число, не равное нулю, следует, как и при решении примеров вида а: 1, опереться на уже известную детям взаимосвязь между умножением и делением. Изучение нового материала может проходить с большей долей самостоятельного участия детей, которые анализируя записи, приходят к выводу, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, получается ноль. 0: b=0. Например, 0: 8=0, т.к. 0*8=0.

б) Невозможность деления на 0. Учитель сообщает, что деление на нуль невозможно. Можно пояснить, что например, 7 разделить на 0 нельзя, так как, какое число бы в частном мы ни взяли, умножив его на ноль, получим 0, а не 7. Следовательно, записи 7: 0 не имеют смысла.

Методика ознакомления учащихся с умножением и его свойствами.

Теоретико-множественная трактовка определения лежит в основе разъяснения младшим школьникам смысла умножения. Она легко переводится на язык предметных действий и позволяет для усвоения нового понятия активно использовать ранее изученный материал. Для осознания необходимости введения нового действия можно использовать различные реальные ситуации. Например: учащимся предлагается подсчитать количество кафельных плиток, необходимых для выкладки стены на кухне. Стена имеет форму прямоугольника разбитого на квадраты (это может быть клетчатая часть доски). Они, естественно, начинают действовать способом по единичного счета клеток, но скоро обнаруживают трудоемкость такой работы. Подчеркнув это, учитель ставит задачу найти более простой путь поиска ответа.

Аналогичный пример: учащимся предлагается схематический рисунок поля прямоугольной формы, которое разбито на равные участки (квадраты), нужно определить, на сколько участков (квадратов) разбито данное поле. Достаточно посчитать число квадратов в одном ряду (их 11) и повторить это число слагаемым 4 раза (11 +11 + 11 + 11). После этого учитель вводит новую запись 11 4 = 44 и предлагает учащимся составить эти две записи. Выясняется: что обозначает во втором равенстве первый множитель и второй множитель. Это помогает детям лучше усвоить чтение выражение вида: 11 * 4, 7 * 6, 28 * 4. (57 ВЗЯТЬ 3 РАЗА, 57 ПОВТОРОИТЬ 3 РАЗА, 57 УМНОЖИТЬ НА 3)

Для усвоения смысла умножения полезно использовать приемы сравнения, выбора, преобразования, предлагая различные виды заданий:

a) на соотнесения рисунка и математической записи (прочитай записанные под рисунками выражения и догадайся, что обозначают в каждом произведении первый и второй множители)

b) на выбор рисунка, соответствующего данной записи

c) на преобразование рисунка в соответствии с математической записью (Какие изменения нужно внести в другие рисунки, чтобы они соответствовали записи 2*6) и т.д.

В курсе математики начальных классов нашли отражение все сво-ва умножения: коммутативное, ассоциативное и дистрибутивное.

Коммутативность умножения представлена в учебниках как переместительное свойство: от перестановки множителей значение произведения не изменяется. При знакомстве с этим свойством умножения учащиеся выполняют задания на соотнесение рисунка с математической записью и на сравнение числовых выражений, в которых представлены множители. Многие уч-ся путают, что означают первый и второй множители в записи произведения. Тут полезно предлагать упр на выполнение рисунков, соотв конкр ситуации. Например: «На каждую тарелку положили по 2 яблока. Покажи, сколько яблок на шести тарелках. Многие напишут 2*6=12. Сразу же стоит выяснить, можно ли к данному рисунку выполнить такую запись: 6*2=12? При обсуждении предлагается заменить произведение суммой и найти рез-т. Выясняется, что обозначают в данном случае числа 6, 2 и 12. Делается вывод, что 6*2 к данной ситуации не подходит. Учитель предлагает иначе разложить яблоки на тарелки, в соотв с записью 6*2=12. Отсюда делается вывод, что переместительное сво-во умн справедливо только для числовых выражений. Если же речь идет о предметной ситуации, то необходимо учитывать, что обозначает число в записи произведения.

Введение сочетат. сво-ва позволяет познакомить уча-ся с новыми вычислит навыками, с пом которых они смогут находить рац способы вычислений. Может изучаться как во втором, так и в третьем классе. В М3М учащимся предлагаются образцы различных способов вычислений. Анализируя их, дети приходят к выводу, что умножать число на произведение можно тремя разными способами.

Пример задания: рассмотри разные способы умножения числа 7 на произведение чисел 4 и 2. Сравни рез-ты.

а) 7*(4*2)=7*8=56

б) 7*(4*2)=(7*4)*2=28*2=56

в) 7*(4*2)=(7*2)*4=14*4=56

С сочет сво-ом можно познакомить сразу после составления таблиц умножения. Если изучение трехзначных чисел предшествует теме «Умножение», то, познакомив уч-ся с правилом умножения на 10, можно использовать сочет сво-во при умножении однозначных чисел на разрядные десятки: 4*90=4*(9*10)=(4*9)*10=36*10=360

В уч М2И при знакомстве с сочет сво-ом используется соотнесение рисунка с математической записью.

Примеры заданий:

-Объясни, что обозначают числовые равенства под каждым рисунком

- Можно ли утверждать, что значения выражений в столбике одинаковы:

8*(4*6)

8*24

(8*4)*6

32*6

6*32

Далее делается вывод - ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ СОСЕДНИХ МНОЖИТЕЛЕЙ МОЖНО ЗАМЕНИТЬ ЕГО ЗНАЧЕНИЕМ.Возможен вариант, когда термин «распределительное сво-во » не вводится, а рассматриваются два правила: a) умножение суммы на число б)умножение числа на сумму

Изучение этих правил разведено во времени, т.к. первое правило лежит в основе вычислительного приема умножения двузначного числа на однозначное (в пределах 100), а второе правило вводится для разъяснения способа действия при умножении двузначного числа на однозначное «в столбик».

Для усвоения правила умножения суммы на число в учебнике М2М предложены задания:

• Три группы детей сделали к празднику каждая по 6 масок зверей и по 4 маски птиц. Сколько всего масок сделали дети? Рассмотри два способа решения этой задачи и объясни каждый из них.

Первый способ: Второй способ:

(6+4)*3=10*3=30 6*3+4*3=18+12=30

• Реши двумя способами: (5+2)*9

Сначала, как указано, вычисли сумму, а потом умножь ее на число. Умножь на число каждое из слагаемых и полученные рез-ты сложи. Сравни ответы.

 

При изучении правила умножения числа на сумму в учебнике М3М дается рисунок и 2 записи:

 

1) 3*(6+2)=3*8=24

2) 3*(6+2)=3*6+3*2=18+6=24

Учащимся предлагается объяснить по рисунку и записям, как можно умножить число 3 на сумму чисел 6 и 2.

Возможен вариант, когда уча-ся знакомятся с названием сво-ва и усваивают его сод-ие в процессе выполнения различных заданий. У М2И задание: Догадайся! Что обозначают выражения, записанные под каждым рисунком? Чем они похожи? Чем отличаются? Вычисли их значения. и т.д. Затем вdодится правило: ПРИ УМНОЖЕНИИ СУММЫ НА ЧИСЛО МОЖНО КАЖДОЕ СЛАГАЕМОЕ УМНОЖИТЬ НА ЭТО ЧИСЛО И ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗ-ТЫ СЛОЖИТЬ.

 

Отношения «больше в… раза», «меньше в… раза» и их связь с умножением и делением

 

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть смысл отношений " больше в" и " меньше в ", с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач. Пусть дано множество А, в котором 6 элементов, и множество В, содержащее 2 элемента: А n(A) = 6, n(B) = 3: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {a, d}.

Выделим в множестве А подмножества, равномощные множеству В: А 1 = {1, 2}, A 2 = {3, 4}, A 3 = {5, 6} Их оказывается три.

В этом случае говорят, что число 6 больше числа 2 в 3 раза, а число 2 меньше 6 в 3 раза.

 

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если a: b=c, то можно говорить, что " a больше b в c раз" или, что " b меньше a в c раз".

Если даны числа a и b такие, что n(A) = a, n(B) = b, a> b, и множество А можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству В, то говорят, что число а больше числа b в с раз, а число b меньше числа а в с раз.

Чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, необходимо большее число разделить на меньшее.

Так как c-это число подмножеств в разбиении множества B, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве-a элементов, то c=b: a. Теоретико-множественным смыслом отношения " a больше (меньше) b в с раз" можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач.

 

Пример: " На участке 3 грядки моркови, грядок картошки в 2 раза больше. Сколько грядок картошки на участке? "

В задаче идет речь о двух множествах: множестве грядок моркови (А) и множестве грядок картошки (В). Известно, что n(A)=3, и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, то есть n(В).

Так как во множестве В элементов в 2 раза больше, чем во множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А. Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего во множестве В будет 3+3 или 3•2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке 6 грядок картошки.

Пример: Объясните смысл предложения «10 больше 5 в 2 раза».

Решение. Если предположить, что в множестве С 10 элементов, а в множестве К 5 элементов, и в множестве С можно выделить подмножества, равномощные К, то таких подмножеств окажется 2.Значит, 10 больше 5 в 2 раза.

Смысл умножения тесно связан с понятием «увеличить в несколько раз». Важно разъяснить детям, что запись 2 • 5 можно прочитать: «2 повторить 5 раз», «по 2 взять 5 раз», «2 умножить на 5», «2 увеличь в 5 раз». В различных программах математики этот вопрос решается по-разному.

 

В учебнике М2М вводится понятие «больше в» и «меньше в» одновременно. Это можно сделать только после того, как дети познакомятся с делением. Работа над усвоением смысла умножения и понятием «больше в» значительно разведена во времени. Для введения понятия «больше в», «меньше в» используется комментирование рисунка. Например, к рисунку дано пояснение: «Квадратов – 3, кружков – 4 раза по 3. Кружков в 4 раза больше, чем квадратов, а квадратов в 4 раза меньше, чем кружков». Потом учащиеся выполняют задание: Сделай рисунок и реши задачу: «Для детей детского сада купили 4 зеленых мяча, а красных в 3 раза больше, чем зеленых. Сколько красных мячей купили? ». Последующая работа по усвоению понятий «больше в», «меньше в» связана с решением простых задач на предметном уровне. Для того чтобы дети не путали понятие «больше в», «меньше в», им предлагается задание: " Сделай рисунок и реши задачу:

1. Сережа вырезал 4 красных квадрата, а синих в 3 раза >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезал Сережа?

2. Зина вырезала 4 красных квадрата, а синих на 3 квадрата >, чем красных. Сколько синих квадратов вырезала Зина? "

 

Формирование представлений о смысле деления связано с введением понятий " уменьшить в несколько раз" (" меньше в" ) и " кратное сравнение" (" во сколько раз меньше? ", " во сколько раз больше? " ). Для усвоения также используются действия с предметными множествами. Однако деятельность учащихся может быть организованна по-разному. При одном подходе (М3М)дается образец действия. Предлагается рисунок и комментируется так: " В 1-ом ряду 8 кружков, а во втором в 4 раза меньше. Чтобы получить в 4 раза меньше кружков, чем 8, разделили 8 кружков на 4 равные части и взяли столько, сколько их в одной части. Сколько кружков положили во второй ряд? "

 

При другом подходе (М3И) учащимся предлагается два рисунка, которые они должны сравнить, ответив на вопросы: " Что изменилось слева направо? Что изменилось справа налево?

Ответы: «Слева 3 круга, а справа 3 круга повторили 4 раза». Этот ответ соотносится с 3 • 4, т.е. данная запись отражает те изменения, которые произошли с левым рисунком «Справа на 9 кругов больше, чем слева». Это высказывание соотносится с 3 + 9, которое учащиеся связываю с понятием, «увеличить на». Возникает вопрос, как увеличиться 3, если его повторить 4 раза. Говорят, что 3 увеличили в 4 раза. Далее учащиеся высказывают предположение о том, что выражение 12: 4 связано с понятием " уменьшения в". Для обоснования этого предположения они используют рисунок. Справа 12 кругов. Если разделить их на 4 равные части, то в каждой части получим в 4 раза меньше.

 

 

Особенности изучения таблицы умножения однозначных чисел и соответствующих случаев деления в различных методических системах

М.И. МОРО

Последовательность составления таблиц и организация де-ти может быть различной. Например, в уч М2М уча-ся сначала изучали все теоретические вопросы и только после этого приступали к составлению таблиц умножения и деления.

В учебнике М2М после усвоения смысла умножения стала составляется только одна таблица-умножение числа 2. Затем дети знакомятся с переместительным сво-ом умножения и составляют таблицу «умножение на 2». На усвоение этих двух столбиков отводится определенное время. В этот период уч-ся рассматривают такие вопросы, как смысл деления, взаимосвязь множителей и произведения, решают задачи и только после этого составляют третий и четвертый столбики таблицы деления. Для этой цели используется табл умнож и правило о взаимосвязи произведения и множителей. Т.о. усвоение таблицы умножения (деления) с числом 2 распределяется во времени. Так самым создаются более благоприятные условия для формирования вычислительных навыков.

В учебнике М2М (1-4) также наблюдается тенденция к распределению во времени процесса составления и усвоения таблиц умнож и деления. А именно: после усвоения смысла умножения как сложения одинаковых слагаемых составляется только часть таблицы «Умножение числа 2», при это дано указание «Вычисли и запомни: 2*2, 2*3, 2*4, 2*5.»

Вторая часть таблицы составляется на другом уроке. Аналогично организуется работа с таблицей «Умножение числа 3» с тем же указанием: «Вычисли и запомни». После изучения переместительного сво-ва умножения составляется таблица «Умножение на 2», затем «Умножение на 3». Познакомив уч-ся со смыслом деления, авторы предлагают различные упражнения, подготавливающие уч-ся к составлению таблиц деления с числом 2 и с числом 3.

Н.Б.ИСТОМИНА

Особенности подхода:

1. Составление и усвоение таблиц умножения (деления) органически включается в содержательную линию курса. В связи с этим в учебнике нет заголовков «Умножение на 2» и т.д. Табличные случаи умножения учащиеся усваивают в процессе изучения смысла умножения (тема «Умножение»), переместительного свойства умножения, понятия «увеличить в несколько раз» и тем «Площадь фигуры», «Измерение площади», «Сочетательное сво-во умн». Это позволяет предложить детям интер упр, выполнение которых способствуют непроизвольному запоминанию таблицы умножения. Рез-ты работы по формированию табл навыков умнож подводятся в теме «Таблица умножения», где уч-ся дается задание, при выполнении которого они могут проверить, как каждый из них ее усвоил.
2. Составление и усвоение табл умн начинается со случаев умножения числа 9. Это позволяет уч-ся не только упражняться в сложении и вычитании двуз и одноз чисел с переходом через десяток, но и сосредоточить внимание на сложных для запоминания случаях табличного умножения: 9*8…, по отношению к которым дается установка на запоминание.
3. Так как не все могут произвольно запомнить таблицу в процессе выполнения обучающих заданий, в учебнике в опред системе даются установки на запоминание 3-4 табл случаев. При этом установка на запоминание таблицы ориентирована не на последовательное увеличение второго множителя, а на запоминание определенных табличных случаев. Например, в качестве опорного берется случай 9*6, запомнив который, учащиеся смогу найти произведение ближайших. Дальше идет вторая порция (9*2, 9*3, 9*4) и здесь акцентируется внимание на случае 9*3.
4. Для организ самост работы, каждый случай фиксируется на карточке (с одной стороны выражение, а с другой – его значение.

 

 

4. Изучение в начальном курсе математики письменных алгоритмов умножения и деления многозначных чисел.

Теоретические основы алгоритмов умножения и деления многозначных чисел (все по Стойловой).

Алгоритм умножения.

Умножение многозначного числа на однозначное. Умножим, например, 428 на 3. Согласно правилу записи чи­сел в десятичной системе счисления, 428 можно представить в виде 4∙ 10² + 2∙ 10 + 8 и тогда 428∙ 3 = (4∙ 10² + 2∙ 10 + 8) ∙ З; На основании дистрибутивности умножения относительно сложения раскроем скобки: (4∙ 10² ) ∙ З + (2∙ 10)∙ З + 8 ∙ З Произведения в скобках могут быть найде­ны по таблице умножения однозначных чисел. Видим, что умножение многозначного числа на однозначное свелось к умножению однозначных чисел. Но чтобы получить окончательный результат, надо преобразовать выражение 12∙ 10² + 6∙ 10 + 24 - коэф­фициенты перед степенями 10 должны быть меньше 10. Для этого представим число 12 в виде 1 • 10 + 2, а число 24 в виде 2•10 + 4. Затем раскроем скобки и на основании ассоциативности сложения и дистрибутивности умножения относительно сложения сгруппируем слагаемые.

Таким образом, умножение многозначного числа на однозначное основывается на:

- записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойствах сложения и умножения;

- таблицах сложения и умножения однозначных чисел.

В общем виде ал­горитм умножения многозначного числа х =а_n а _n-1…а₁ а₀ на однозначное число у.

1. Записываем второе число под первым.

2. Умножаем цифры разряда единиц числа х на число у. Если произведение меньше 10, его записываем в разряд единиц ответа и пере­ходим к следующему разряду (десятков).

3. Если произведение цифр единиц числа х на число у больше или равно 10, то представляем его в виде 10 q₁ + c₀; , гдеc₀– однозначное число; записываемc₀ в разряд единиц ответа и запоминаемq₁ - пере­нос в следующий разряд.

4. Умножаем цифры разряда десятков на число у, прибавляем к по­лученному произведению число q₁ и повторяем процесс, описанный в пп. 2 и 3.

5. Процесс умножения заканчивается, когда окажется умноженной цифра старшего разряда.

Многозначное на многозначное. Умножим, столбиком 428 на 263. Для получения ответа нам пришлось умножить 428 на 3, 6 и 2, т.е. умножить многозначное число на однозначное; но, умножив на 6, результат записали по-особому, поместив единицы числа 2568 под десятками, так как умножали на 60 и получили число 25680, но нуль в конце записи опустили. Слагаемое 856 - »то результат умножения на 2 сотни, т.е. число 85600. Кроме того, нам пришлось найти сумму многозначных чисел.

Итак, чтобы выполнять умножение многозначного числа на мно­гозначное, необходимо уметь:

· умножать многозначное число на однозначное и на степень десяти;

· складывать многозначные числа.

В общем виде алгоритм умножения числа х на число у.

1. Записываем множитель х и под ним второй множитель у.

2. Умножаем число х на младший разрядb₀ числау и записываем произведение х · b₀ под числом у.

3. Умножаем число х на следующий разрядb₁ числа у и записыва­ем произведение х · b₁, но со сдвигом на один разряд влево, что соот­ветствует умножению х · b₁ на 10.

4. Продолжаем вычисление произведений до вычисления х · bк.

5. Полученные к + 1произведения складываем

Алгоритм деления

Когда речь идет о технике деления чисел, то этот процесс рассматривают как действие деления с остатком: разделить целое неотрицательное число ана натуральное число b- это значит найти такие целые неотрицательные числа q и r, что a = bq + r, причем 0≤ r < b.

Алгоритм деления уголком.

1. Если а = b, то частное q=1, остаток r= 0.

2. Если а > b и число разрядов в числах а и b одинаково, то частное q находим перебором, последовательно умножая b на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, так как а < 10b. Этот перебор можно ускорить, выполнив деление с остатком цифр старших разрядов a и b.

3. Если а > b и число разрядов в числе а больше, чем в чис­ле b, то записываем делимое а и справа от него делитель b, который отделяем от а уголком и ведем поиск частного и остаткав такой последовательности:

a) Выделяем в числе а столько старших разрядов, сколько разрядов в числе b или, если необходимо, на один разряд больше, но так, чтобы они образовывали число d₁, больше или равное b. Перебором находим частное q₁, чисел d₁, и b, последовательно умножая b на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Записываем q₁ под уголком (ниже b).

б) Умножаем b на q₁, и записываем произведение под числом aтак, чтобы младший разряд числа bq₁, был написан под ним разрядом выделенного числаd₁.

в)Проводим черту под bq₁ и находим разность r₁ = d₁ - bq₁.

г) Записываем разность r₁под числом bq_1, приписываем справа к r₁ старший разряд из неиспользованных разрядов делимого а и сравниваем полученное число d₂ с числом b.

д) Если полученное число d₂ больше или равно b, то относительно него поступаем согласно п. 1 или п. 2. Частное q₂ записываем после q ₁.

е) Если полученное число d₂ меньше b, то приписываем еще столько следующих разрядов, сколько необходимо, чтобы получитьпервое число d₃, большее или равное b. В этом случае записываем после q₁такое же число нулей. Затем относительно d₃ поступаем согласно пп. 1, 2. Частное q₂ записываем после нулей. Если при использовании младшего разряда числа а окажется, что d₃< b, то тогда частное чисел d₃ и b равно нулю, и этот нуль записывается последним разрядом к частному, а остаток r = d₃.

 

Особенности ознакомления учащихся с алгоритмами умножения и деления в различных методических системах.

Алгоритм умножения Учебники Моро и Дорофеевой. (3 класс) и там и там одинаково все. Теор.основы для умножения 1. Представление первого множителя в виде суммы слагаемых, правило умножение суммы на число.(рассматривается умножение числа на каждую разрядную единицу. Письменное деление основывается на делении с остатком.

 

Использование исследовательских заданий при изучении данных алгоритмов.

На этапе закрепления можно использовать логические задачи, на активный перебор вариантов отношений, задачи на установление временных, пространственных и функциональных отношений, а так же решение магических квадратов, треугольников и прохождение по магическим лабиринтам, определение множеств, заполнение таблиц, работу с линейными и столбчатыми диаграммами, решение задач с помощью «дерева выбора», определение истинности и ложности высказываний и т.д.

Для решения задач исследовательского характера использует построение схемы, что способствует упрощению поиска решения задачи.

На уроках можно использовать опережающие задания поискового характера для группы сильных учащихся. Так, например, предлагается не только решить неравенства, состоящие из двух примеров, но и самим придумать такие задания, а также решение задач, в которых нужно подобрать значения переменных.

 

5. Формирование у младших школьников представлений о величине и ее измерении. ( Все по Белошистой)

 

Этапы изучения величин и способов их измерения в начальном курсе математики.

На 1-ом этапе выделяются и распознаются свойства и качества предметов, поддающихся сравнению. Сравнивать без измерения можно длины (на глаз, приложением и наложением), массы (прикидкой на руке), емкости (на глаз), площади (на глаз и наложением), время (ориентируясь на субъективное ощущение длительности или какие-то внешние признаки этого процесса: времена года различаются по сезонным признакам в природе, время суток — по движению солнца.)

На 2-ом этапе для сравнения величин используется промежуточная мерка. Данный этап очень важен для формирования представления о самой идее измерения посредствомпромежуточных мер . Мера может быть произвольно выбрана ребенком из окружающей действительности для емкости — стакан, для длины — кусочек шнурка, для площади — тетрадь. До изобретения общепринятой системы мер человечество активно пользовалось естественными мерами — шаг, ладонь, локоть. От естественных мер измерения произошли дюйм, фут, аршин, сажень, пуд.

3-й этап работы над знакомством с величинами. Знакомство со стандартными мерами величин в школе связывают с этапами изучения нумерации, поскольку большинство стандартных мер ориентировано на десятичную систему счисления: 1 м •= 100 см, 1 кг = 1000 г.

Единицы длины начинают изучаться в первом классе с такой величины, как сантиметр. Во втором классе изучаются такие величины, как миллиметр, метр и километр. Изучаются соотношения: 1см = 10мм, 1м = 100см, 1км = 1000м. Дети учатся переводить сантиметры в миллиметры. В третьем классе изучается величина дециметр и соотношения: 1дм = 10см, 1м = 10дм.2) Единицы площади начинают изучаться со второго класса такими величинами, как квадратный метр, квадратный сантиметр и квадратный километр. В третьем классе используются названия единиц площади в задачах. В 4 классе дети узнают такие величины, как квадратный дециметр, ар, гектар, квадратный километр. Изучаются соотношения.3) Единицы вместимости – в первом классе встречается название литр. Во втором – используются единицы вместимости в задачах, как и в третьем и в 4 классе.4) Единицы времени начинают изучать во втором классе с таких величин, как час и минута. 5) Единицы скорости начинают изучаться с третьего класса с названий: км/ч, км/мин, км/с, м/мин и м/с. В 4 классе используются названия единиц скорости в задачах.6) Единицы массы изучаются с первого класса и начинаются с названия – килограмм. Во втором классе используются названия единиц массы в задачах.

 

Организация проблемных ситуаций при изучении темы «Длина и ее измерение», «Площадь и ее измерение», их роль в усвоении материала темы.

Организация проблемных ситуаций при изучении темы «Длина и ее измерение», «Площадь и ее измерение», их роль в усвоении материала темы. Длина: На доске начерчен отрезок. Трое детей по очереди измеряют его полосками разной длины. Коля – красной полоской, Миша – зеленой и Дима – белой. В результате измерения Коля получил 6, Миша 3, Дима 1. Кто из них оказался прав? Учащиеся заметили, что каждый мальчик был бы прав, если бы указал в ответе единицу измерения: 6 кр., 3 зел., 1 бел. Площадь: Используя эти представления, можно познакомить детей с понятием «площадь» выбрав для этой цели такие две фигуры, при наложении которых друг на друга одна целиком помещается в другой.«В этом случае, - говорит учитель, - в математике принято говорить, что площадь одной фигуры больше (меньше) площади другой фигуры». Когда же фигуры при наложении совпадают, то говорят, что их площади равны или совпадают. Этот вывод ученики могут сделать самостоятельно. Но возможен и такой случай, когда одна из фигур не помещается полностью в другой. Например, два прямоугольника, один из которых квадрат. После безуспешных попыток уложить один прямоугольник в другой учитель поворачивает фигуры обратной стороной, и дети видят, что в одной фигуре уложилось 10 одинаковых квадратиков, а в другой 9 таких же квадратиков. Ученики совместно с учителем делают вывод, что для сравнения площадей, так же как и для сравнения длин можно воспользоваться меркой. Возникает вопрос: какая фигура может быть использована, в качестве мерки для сравнения площадей? Учитель или сами дети предлагают использовать в качестве мерок треугольник, равный половине площади квадрата M – M, или прямоугольник, равный половине площади квадрата М – М или 1/4площади квадрата M. Это может быть квадрат M или треугольник М.

 

 

6. Обучение младших школьников решению текстовых задач.

Текстовая задача есть описание на естественном языке некоторого явления (ситуации, процесса) с требо­ванием дать количественную характеристику какого-либо компонен­та этого явления, установить наличие или отсутствие некоторого от­ношения между компонентами или определить вид этого отношения. Умение решать текстовую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи получаем то, что требуется найти – ответ. Решить задачу арифметическим методом – значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами. Деятельность по решению задачи арифметическим методом вклю­чает следующие основные этапы: 1) Анализ задачи (его суть -понять в целом ситуацию, опи­санную в задаче; выделить условия и требования: назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними. Приемы осуществления этого этапа: а) задавать специальные вопросы и отвечать на них, б) перефразировка текста задачи (заключается в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим, сохраняющим все от­ношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим), в) построение вспомогательных мо­делей задачи (служат формой фиксации анализа текстовой задачи и являются основным средством поиска плана ее решения). 2) Поиск плана решения задачи (суть-установить связь между данными и иско­мыми объектами, наметить последовательность действий. Приёмы: а) разбор задачи по тексту или по ее вспо­могательной модели(проводится в виде цепочки рассуждений, которая может начинаться как от данных задачи, так и от ее вопросов), .3) Осуществление плана решения задачи (суть- найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом. Приёмы: а) запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами); б) запись в виде выражения (сначала записываются отдельные шаги в соответствии с планом, затем со­ставляется выражение и находится его значение). 4) Проверка решения задачи (суть - установить правильность или оши­бочность выполненного решения. Приёмы: а) установление соответствия между результатом и условиями за­дачи, б) решение задачи другим способом.

Модели (по видам ср-тв, исп. для постоения): схематизированные и знаковые (крат. запись, табл.). Схематизиров. делятся на вещественные и графические (условный рисунок, рисунок, схематичный чертеж, чертеж (схема)).

 

Способы записи решения задачи и проверки ее решения.

Проверка: - подстановка - решение другим способом - прикидка ответа (с точки зрения жизненного опыта)

Способы записи решения

Арифметическая задача: по действиям, с помощью выражения. Текстовая задача: уравнение, в виде системы.

Особенности обучения младших школьников решению задач с пропорциональными величинами ( А.Н. Матвеева).

 

I этап ориентирован на обучение учащихся выделять тройку величин из текста. Предварительно необходимо провести подготовительную работу. Для начала предложим ученикам несколько групп величин: мерка ( нап.: расход материи на одну вещь), количество мерок (нап.: число вещей), целое (нап.: расход материи). Только когда учащиеся разберутся в принципе построения групп величин, можно предлагать им выделять эти величины из текста задачи.

II этап направлен на приобретение учащимися умения раскрывать связи между величинами. Важным инструментом для решения этой задачи является построение вспомогательной модели задачи (схема или таблица). Если ребёнок знает правила нахождения величины на языке схемы, он сможет их переформулировать на естественный язык. Чтобы найти мерку, нужно целое разделить на количество мерок. (Чтобы найти массу одного предмета, нужно всю массу разделить на число предметов.) Чтобы найти количество мерок, нужно целое разделить на мерку. (Чтобы найти число предметов, нужно всю массу разделить на массу одного предмета.) Чтобы найти целое, нужно мерку умножить на количество мерок. (Чтобы найти всю массу, нужно массу одного предмета умножить на число предметов.)

III этап предполагает умение решать простые текстовые задачи.

Умение включает в себя:

– выделение тройки величин из текста;

– табличное или схематическое моделирование задачи (в зависимости от учебной программы либо умений детей);

– осуществление поиска способа решения задачи на основе нахождения неизвестной величины по двум известным.

IV этап предполагает умение решать составные задачи на зависимость величин через использование схематического чертежа.

Умение включает в себя:

– уметь выделять величины, о которых говорится в задаче;

– переводить данные величины на язык схемы;

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: