Определители. Теорема Лапласа. Свойства определителей.

Определи́ тель (или детермина́ нт ) — одно из основных понятий линейной алгебры. Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно).

Теорема Лапласа. Если выбрано s строк матрицы с номерами i₁, …, i_s, то определитель этой матрицы равен сумме произведений всех миноров, расположенных в выбранных строках на их алгебраические дополнения.

det A = , где (1)

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a_1k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Миноры.

Определение. Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А. Если выделено s строк и столбцов, то полученный минор называется минором порядка s.

Заметим, что вышесказанное применимо не только к квадратным матрицам, но и к прямоугольным.

Если вычеркнуть из исходной квадратной матрицы А выделенные строки и столбцы, то определитель полученной матрицы будет являться дополнительным минором.

Алгебраические дополнения.

Определение. Алгебраическим дополнением минора матрицы называется его дополнительный минор, умноженный на (-1) в степени, равной сумме номеров строк и номеров столбцов минора матрицы.

В частном случае, алгебраическим дополнением элемента матрицы называется его минор, взятый со своим знаком, если сумма номеров столбца и строки, на которых стоит элемент, есть число четное и с противоположным знаком, если нечетное.

Свойства.

1. Если квадратная матрица A^T является транспонированной матрицей A, то их определители совпадают |A^T | = |A|, т.е. определитель не меняется, если заменить его строки столбцами и обратно, например, для определителя третьего порядка .

Доказательство проводится проверкой, т.е. сравнением обеих частей записанного равенства. Вычислим определители, стоящие слева и справа:

2. При перестановке 2-х строк или столбцов определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е., например,

Доказательство проводится аналогично доказательству свойства 1 сравнением обеих частей. Проведём его для определителя второго порядка.

.

Для определителя третьего порядка проверьте самостоятельно.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки или столбца, то он равен нулю. Например, .

Действительно, если переставить здесь 2-ю и 3-ю строки, то по свойству 2 этот определитель должен изменить знак, но сам определитель в данном случае не меняется, т.е. получаем |A| = –|A| или |A| = 0.

4. Общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя. Например, .

Доказательство проводится проверкой, как и свойство 1. (Самостоятельно)

5. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. (Доказательство – проверкой).

6. Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле, например,

.

Доказательство - проверкой, аналогично свойству 1.

7. Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины. Например,

.

Докажем это равенство, используя предыдущие свойства определителя.

4. Обратная матрица: метод присоединенной матрицы и метод элементарных преобразований

Элементарные преобразования.

Определение. Элементарными преобразованиями матрицы назовем следующие преобразования:

1) умножение строки на число, отличное от нуля;

2) прибавление к одной строке другой строки;

3) перестановка строк;

4) вычеркивание (удаление) одной из одинаковых строк (столбцов);

5) транспонирование;

Те же операции, применяемые для столбцов, также называются элементарными преобразованиями.

С помощью элементарных преобразований можно к какой-либо строке или столбцу прибавить линейную комбинацию остальных строк ( столбцов ).

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Обратную матрицуможно найти по следующей формуле:

, где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

1) Находим определитель матрицы.

2) Находим матрицу миноров .

3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

Для матрицы найти A^-1.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А
значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: , где А_{i j} (i, j=1, 2, 3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j} исходной матрицы.

откуда .

Вычисление A^-1 по формуле (1) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить A^-1 с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ранга матрицы можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

Cвойства обратных матриц.

Укажем следующие свойства обратных матриц:

1) (A-1)-1 = A; 2) (AB)-1 = B-1A-1 3) (AT)-1 = (A-1)T.

Теорема о ранге матрицы

Ранг матрицы А - максимальный порядок неравного нулю минора

Минор, определяющий ранг матрицы, называется Базисным минором. Строки и столбцы, формирующие БМ, назвыаются базисными строками и столбцами.

Обозначения: r(A), R(A), Rang A.

 

Замечание. Очевидно, что значение ранга матрицы не может превышать меньшей из ее размерностей.

Для любой матрицы ее минорный, строчный и столбцевой ранги совпадают.

Доказательство. Пусть минорный ранг матрицы A равен r. Покажем, что строчный ранг тоже равен r. Для этого можно считать, что обратимый минор M порядка r находится в первых r строках матрицы A. Отсюда следует, что первые r строк матрицы A линейно независимы и набор строк минора M линейно независим. Пусть a -- строка длины r, составленная из элементов i -ой строки матрицы , которые расположены в тех же столбцах, что и минор M. Так как строки минора M составляют базу в k^r , то a -- линейная комбинация строк минора M. Вычтем из i -ой строки A такую же линейную комбинацию первых r строк матрицы A. Если получится строка, содержащая ненулевой элемент в столбце с номером t, то рассмотрим минор M₁ порядка r+1 матрицы A, добавив к строкам минора -ю строку матрицы A и к столбцам минора -ый столбец матрицы A (говорят, что минор M₁ получен окаймлением минора M с помощью i -ой строки и t -го столбца матрицы A ). По нашему выбору t, этот минор обратим (достаточно вычесть из последней строки этого минора выбранную выше линейную комбинацию первых r строк, а затем разложить его определитель по последней строке, чтобы убедиться, что этот определитель с точностью до ненулевого скалярного множителя совпадает с определителем минора M. По определению r такая ситуация невозможна и, значит, после преобразования i -я строка A станет нулевой. Другими словами, исходная i -я строка -- линейная комбинация первых r строк матрицы A. Мы показали, что первые r строк составляют базу набора строк матрицы A, то есть строчный ранг A равен r. Чтобы доказать, что столбцевой ранг равен r, достаточно в приведенном выше рассуждении " строки" и " столбцы" поменять местами. Теорема доказана.

Эта теорема показывает, что нет смысла различать три ранга матрицы, и в дальнейшем под рангом матрицы мы будем понимать строчный ранг, помня о том, что он равен и столбцевому, и минорному рангу (обозначение r(A) -- ранг матрицы A ). Заметим еще, что из доказательства теоремы о ранге следует, что ранг матрицы совпадает с размерностью любого такого обратимого минора матрицы, что все окаймляющие его миноры (если они вообще существуют) вырождены.

 

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: