Нормальное уравнение плоскости

Положение плоскости Q вполне определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, опущенного на

плоскость из начала координат, и длиной p этого перпендикуляра (см. рис. 71).

Пусть ОК = p, а α, β, g — углы, образованные единичным вектором ё с осями Ох, Оу и Ο z. Тогда . Возьмем на плоскости произвольную точку М(х; у; z) и соединим ее с началом координат. Образуем вектор . При любом положении точки Μ на плоскости Q проекция радиус-вектора на направление вектора всегда равно р: , т. е. или

(12.8)

Уравнение (12.8) называется нормальным уравнением плоскости в векторной форме. Зная координаты векторов f и e, уравнение (12.8) перепишем в виде

(12.9)

Уравнение (12.9) называется нормальным уравнением плоскости в координатной форме.

Отметим, что общее уравнение плоскости (12.4) можно привести к нормальному уравнению (12.9) так, как это делалось для уравнения прямой на плоскости. А именно: умножить обе части уравнения (12.4) на норми­рующий множитель , где знак берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

Нормаль — это прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).

Пусть плоскость Q задана уравнением , а прямая L уравнениями

.

Углом между прямой и плоскостью называет­ся любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через φ угол между плоскостью Q и прямой L, а через q — угол между векторами и (см. рис. 80). Тогда . При этом : если ,

то ; если , то .

(12.17)

Острый угол между плоскостью Q и прямой L можно найти, взяв в фор­муле (12.17) модуль правой части.

Если прямая L параллельна плоскости Q, то векторы и перпенди­кулярны (см. рис. 81), а потому , т. е.

является условием параллельности прямой и плоскости.

Прямая в пространстве. Основные типы уравнений.

Векторное уравнение прямой

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку М₀ на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая L задана ее точкой и направляющим вектором . Возьмем на прямой L произвольную точку M(x; y; z). Обо значим радиус-векторы точек М₀ и Μ соответствено через и . Очевидно, что три вектора , и связаны соотношением

(12.10)

Вектор , лежащий на прямой L, параллелен направляющему вектору , поэтому где t — скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки Μ на прямой (см. рис. 75). Уравнение (12.10) можно записать в виде

(12.11)

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.

Параметрические уравнения прямой

Замечая, что , , , уравнение (12.11) можно записать в виде

Отсюда следуют равенства:

(12.12)

Они называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой

Пусть — направляющий вектор прямой L и - точка, лежащая на этой прямой. Вектор , соединяющий точку М₀ произвольной точкой прямой L, параллелен вектору . Поэтому координаты вектора и вектора пропорциональны:

(12.13)

Уравнения (12.13) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Замечания:

1) Уравнения (12.13) можно было бы получить сразу из па раметрических уравнений прямой (12.12), исключив параметр t. Из уравнений (12.12) находим

2) Обращение в нуль одного из знаменателей уравнений (12.13) означает обращение в нуль соответствующего числителя.

Например, уравнения задают прямую, проходящую через точку перпендикулярно оси Oz (проекция вектора на ось Оz равна нулю). Но это означает, что прямая лежит в плоскости , и поэтому для всех точек прямой будет .

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки

Пусть прямая L проходит через точки и . В качестве направ­ляющего вектора можно взять вектор , т.е. (см. рис. 76). Следовательно, , , Поскольку прямая проходит через точку , то, согласно уравнениям (12.13), уравнения прямой L имеют вид

(12.14)

Уравнения (12.14) называются уравнениями прямой, проходящей через две данные точки.

Общие уравнения прямой

Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений

(12.15)

Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны (координаты векторов и не пропорциональны), то система (12.15) определяет прямую L как геометрическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (см. рис. 77). Уравнения (12.15) называют общими уравнениями прямой.

От общих уравнений (12.15) можно перейти к каноническим уравнениям (12.13). Координаты точки M₀ на прямой L получаем из системы уравнений (12.15), придав одной из координат произвольное значение (например, z = 0).

Так как прямая L перпендикулярна векторам и то за направля­ющий вектор прямой L можно принять векторное произведение :

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: