Некоторые приложения смешанного произведения

Определение взаимной ориентации векторов в пространстве

Определение взаимной ориентации векторов а, b и с основано на следующих соображениях. Если abc > 0, то а, b, с — правая тройка; если abc < 0, то а, b, с - левая тройка.

Установление компланарности векторов

Векторы а, b и с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю

Определение объемов параллелепипеда и треугольной пирамиды

Нетрудно показать, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с вычисляется как V=|аbс|, а объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен V =1/6*|abc |.

 

12. Преобразование координат на плоскости. Параллельный перенос и поворот.

Под системой координат на плоскости понимают способ, позволяющий численно описать положение точки плоскости. Одной из таких систем является прямоугольная (декартова) система координат

Преобразование системы координат.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Рассмотрим два случая преобразования одной прямоугольной системы координат в другую. Полученные формулы устанавливают зависимость между координатами произвольной точки плоскости в разных системах координат.

Параллельный перенос осей координат

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Оху. Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе О₁х₁у₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Пусть начало новой системы координат точка О₁ имеет координаты (х₀; y₀) в старой системе координат Оху, т. е. О₁ (х₀; y₀). Обозначим координаты произвольной точки Μ плоскости в системе Оху через (х; у), а в новой системе O₁x₁y₁ через (х'; у') (см. рис. 28).

Рассмотрим векторы

Следовательно,

Полученные формулы позволяют находить старые координаты x и у по известным новым х' и у' и наоборот.

Поворот осей координат

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Пусть новая система O₁x₁y₁ получена поворотом системы Оху на угол α.

Пусть Μ произвольная точка плоскости, (х; у) — ее координаты в старой системе и (х'; у') — в новой системе.

Введем две полярные системы координат с общим полюсом О и полярными осями Ох и Ο x₁ (масштаб одинаков). Полярный радиус r в обеих системах одинаков, а полярные углы соответственно равны α + j и φ, где φ — полярный угол в новой полярной системе.

По формулам перехода от полярных координат к прямоугольным имеем

Но rcosj = х' и rsinφ = у'. Поэтому

Полученные формулы называются формулами поворота осей. Они позволяют определять старые координаты (х; у) произвольной точки Μ через новые координаты (х'; у') этой же точки М, и наоборот.

Если новая система координат O₁x₁y₁ получена из старой Оху путем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом осей на угол α (см. рис. 30), то путем введения вспомогательной системы легко получить формулы

выражающие старые координаты х и у произвольной точки через ее новые координаты х' и у'.

Кривые второго порядка. Каноническое уравнение эллипса.

Кривой второго порядка называется линия, определяемая уравнением второй степени

относительно текущих декартовых координат:

Ax2+2Bxy+Cy2+2Dx+2Ey+F=0 (1),

где A, 2B, C, 2D, 2E, F – действительные числа и, кроме того, хотя бы одно из чисел A, B

или С не равно нулю.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из

которых до двух данных точек постоянна. Эти точки называются фокусами и

обозначаются F1 и F2, расстояние между ними 2с, а сумма расстояний от каждой точки до

фокусов – 2а (по условию 2а> 2с). Построим декартову систему координат, так, чтобы F1 и F2 были на оси абсцисс, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Выведем уравнение эллипса. Для этого рассмотрим произвольную точку M(x, y) эллипса. По определению: | F1M |+| F2M |=2a. F1M ={x+c; y}; F2M ={x-c; y}.

|F1M|= (x + c)2 + y2 ; |F2M| = (x - c)2 + y2

(x + c)2 + y2 + (x - c)2 + y2 =2a (5)

x2+2cx+c2+y2=4a2-4a (x - c)2 + y2 +x2-2cx+c2+y2

4cx-4a2=4a (x - c)2 + y2

a2-cx=a (x - c)2 + y2

a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2

a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2

x2(a2-c2)+a2y2=a2(a2-c2)

так как 2a> 2c (сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны), то a2-c2> 0.

Пусть a2-c2=b2

Точки с координатами (a, 0), (− a, 0), (b, 0) и (− b, 0) называются вершинами эллипса, величина a — большой полуосью эллипса, а величина b — его малой полуосью. Точки F1(c, 0) и F2(− c, 0) называются фокусами

эллипса, причем фокус F1 называется правым, а фокус F2 — левым. Если точка M принадлежит эллипсу, то расстояния |F1M| и |F2M| называются фокальными радиусами и обозначаются соответственно через r1 и r2. Величина e =c/a называется эксцентриситетом эллипса. Прямые с уравнениями x =a/e

и x = − a/e называются директрисами эллипса (при e = 0 директрис эллипса не существует).

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: