События. Виды случайных событий.

События. Виды случайных событий.

Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д. Случайным событием А называют произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω, состоящее из точек , представляющих те элементарные события ω, при которых происходит А.

Из и следует А=В. Событие называют событием, противоположным событию А; оно происходит, если не происходит А.

Если событие А не содержит ни одного элементарного события, оно называется невозможным и обозначается Ø; Ø – естественно является пустым подмножеством Ω.

Событие, противоположное невозможному событию Ø, называется достоверным событием; оно обозначается Ω и происходит всякий раз (при определенных условиях). События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе, т.е. Ø. События образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит; события равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

 

Пространство элементарных событий.

Пусть в эксперименте со случайным исходом указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие следующему требованию: в результате эксперимента непременно происходит один и только один из этих исходов. Каждый такой исход называется элементарным событием и обозначается буквой ω. По смыслу элементарные события неразложимы на более простые. Множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий Ω. Таким образом, по определению Ω ={ω }. Пространство элементарных событий Ω в зависимости от числа элементарных событий в нем может быть конечным или бесконечным; в последнем случае – счетным или несчетным.

Операции над событиями. Алгебра событий.

Суммой событий А и В называется событие С, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий А или В; обозначают сумму или А+В (для несовместных случайных событий). Разностью событий А\В называется случайное событие, которое происходит, если происходит событие А и не происходит В. Событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходят события А и В, называется произведением и обозначается АВ или .

Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:

а)для любой пары событий А, имеет место включение ;

б)для любого события имеет место включение .

Отсюда, а также из принципа двойственности, следует, что и .

Класс F случайных событий, удовлетворяющих условиям 1 и 2, называется алгеброй событий.

 

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р (A) = m / n,

С в -в о 1. Вероятность достоверного события равна единице .

Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в - в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю .

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в - в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1

Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 < = Р (A) < 1.

 

Элементы комбинаторики.

Перестановки. Различные представления n элементов называют их перестановками. Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

Р(n)= 1·2·3···n=n!

Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, называют размещением из n элементов по m. Размещения из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся хотя бы одним элементом или порядком их следования. Число размещений из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Все сочетания из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся друг от друга хотя бы одним элементом; все m-элементные подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле:

Аксиомы вероятности.

1.F является σ -алгеброй случайных событий.

F будем называть σ -алгеброй событий, если для любой счетной последовательности случайных событий {A_i}, i = 1, 2, …, A_iÎ F, их объединение , т.е. является случайным событием. Из принципа двойственности следует, что и .

2.На σ -алгебре F определена функция Р(·), принимающая для любых неотрицательные значения, т.е. Р(А) 0.

3.Для любых двух несовместных событий А, ВÎ F имеет место равенство Р(А+В)=Р(А)+Р(В), называемое аксиомой сложения вероятностей.

4.Для произвольной счетной последовательности {A_i} несовместных событий имеет место равенство .Эта теорема определяет счетную аддитивность вероятности, иначе называемую аксиомой непрерывности вероятности.

5.Р(Ω )=1.

Пространство элементарных событий Ω, σ -алгебра событий F и вероятность Р(·) на F, удовлетворяющие 5-ти аксиомам вероятности определяют вероятностное пространство, обозначаемое (Ω, F, P).

 

Теоремы о вероятностях.

Теорема 1. Для любого события имеет место следующее равенство: .

Теорема 2. Если , то Р(А\В)=Р(А)–Р(В).

Теорема 3. Для любых двух случайных событий А и В F имеет место равенство

.

Теорема 4. Для произвольных случайных событий А₁, А₂, …, А_n F имеет место равенство

.

Теорема 5. Вероятность невозможного события Æ равна нулю.

Теорема 6. Для любого случайного события АÎ F имеем .

Теорема 7. Для любых случайных событий А, ВÎ F имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Эта теорема называется теоремой умножения вероятностей.

Теорема 8. Для любого конечного числа случайных событий А₁, А₂, …, А_nÎ F имеем

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)… Р(А_n/А₁А₂…А_n-1).

Геометрические вероятности.

В некоторых случаях пространство элементарных событий W содержит несчетное множество исходов. В этом случае аксиоматическое определение вероятности случайного события представляет определенные сложности, главным образом, в части ее счетной аддитивности.

Этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определениевероятности, находя вероятность попадания точки в некоторую область, имеющую меру (длину – для отрезка; площадь для области на плоскости; объем для области в пространстве). Например, если поставлена задача о вероятности попадания точки в некоторую область A, являющуюся частью области попадания W, при условии, что эта вероятность не зависит от положенияобласти A в области W, а зависит лишь от меры области A, то эту вероятность можно определитьпо следующей формуле: Р(А)=m(A)/m(W).

 

11.Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Формула Пуассона.

Пусть имеем серию n независимых испытаний, в каждом из которых некоторое случайное событие А наступает с одной и той же вероятностью p = P(A), не изменяющейся от испытания к испытанию. Само событие А условно называется “успехом” (обозначается впредь У в отличие от “неуспеха”, обозначаемого H), а последовательность n независимых испытаний с двумя исходами У и H называется последовательностью независимых испытаний Бернулли .

Формула Бернулли: P_n(k)= p^kq^n-k.

Частные случаи формулы Бернулли.

1.Вероятность того, что в n испытаниях " успех" наступит n раз, равна .

2.Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли " успех" вообще не наступит, равна .

3.Вероятность того, что в n испытаниях Бернулли " успех" наступит не более чем m раз, равна

P(k m) = P_n(0) + P_n(l) +... + P_n(m)=

4.Вероятность того, что " успех" наступит в n испытаниях не менее m раз, равна

P(k m) = P_n(m) + P_n(m-l)+... + P_n(n) =

Формула Пуассона: , где λ =np. В этой формуле параметры n и р объединены в один параметр λ = np; n должно быть не менее нескольких десятков, а лучше сотен, а значение параметра λ = np должно находиться между 0 и 10. При больших λ рекомендуется применять локальную теорему Лапласа.

Примеры случайных величин дискретного типа.

1. Случайная величина биномиального типа

В схеме независимых испытаний Бернулли случайной величиной является Х – число ''успехов'' в n независимых испытаниях; она и называется случайной величиной с биномиальным законом распределения. Значения, которые может принимать эта случайная величина – 0, 1, 2, ..., n; вероятности этих значений вычисляются по формуле Бернулли:

.

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х					...	n	.
Р	Pn(0)	Pn(1)	Pn(2)	Pn(3)	...	Pn(n)

2. Случайная величина с геометрическим законом распределения

Случайной величиной с геометрическим законом распределения называется Х – число испытаний до первого ''успеха'' в схеме независимых испытаний Бернулли. Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

X				...	k	...	.
Р	р	qp	q2p	...	qk-1p	...

3. Случайная величина, распределенная по закону Пуассона

Случайной величиной, распределенной по закону Пуассона, называется случайная величина Х, принимающая любые целые неотрицательные значения, вероятности которых вычисляются по формуле Пуассона: Р(k) = , k = 0, 1, 2, ....

Здесь – параметр этого распределения. Известно, что случайная величина, распределенная по закону Пуассона, является предельным случаем биномиального распределения при n и p 0 (np = l).

Ряд распределения этой случайной величины имеет вид

Х				...	K	...	.
P				...		...

Примеры случайных величин непрерывного типа.

1. Случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [а, b]

Случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность вероятности имеет вид

f(x) = .

2. Случайная величина с нормальным законом распределения

Случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

, –∞ < x < ∞,

где С(C > 0), а, s(s > 0) – некоторые константы.

3. Случайная величина с показательным законом распределения

Случайная величина имеет показательное (экспоненциальное) распределение, если ее плотность вероятности имеет следующий вид:

f = где – параметр показательного распределения.

Простейший поток событий.

Пусть некоторое случайное событие А (называемое в дальнейшем “успехом”) может происходить случайным образом в течение времени t. Свяжем с этим потоком событий случайную величину X(t), являющуюся числом наступления “успехов” в течение времени t. Пусть этот поток событий обладает следующими свойствами.

1. Отсутствие последействия. Для любых непересекающихся интервалов времени длиной t₁, t₂, …, t_k случайные величины X(t₁), X(t₂), …, X(t_k) являются независимыми.

2. Стационарность. Случайная величина X(t) зависит лишь от величины t интервала и не зависит от его начала, поэтому интервал может быть взят с началом в точке t = 0.

3. Ординарность. Для любых малых промежутков времени Δ t имеет место равенство

P(X(Δ t) = 1) = λ Δ t + o(Δ t), λ > 0,

где λ – интенсивность потока случайных событий.

Свойство ординарности означает, что для малых промежутков времени Δ t “успех” может наступить лишь один раз (или не наступить вообще), а вероятность наступления “успеха” большее число раз является бесконечно малой величиной большего порядка чем Δ t.

Поток случайных событий, обладающий свойствами отсутствия последействия, стационарности и ординарности, называется пуассоновским (простейшим) потоком случайных событий.

 

Примеры наиболее важных систем двух случайных величин.

1. Равномерное распределение в области D системы двух случайных величин (X, Y)

Система двух случайных величин (X, Y) называется равномерно распределенной в области D, если совместная плотность f(x, y) случайных величин X и Y имеет вид .

Постоянная С может быть определена: , откуда . Здесь S(D) – площадь области D. Поэтому .

2. Нормальное распределение вектора (X, Y.)

Случайный вектор (X, Y) называется распределенным по нормальному закону (закону Гаусса), если

.

Это распределение имеет пять параметров: . Можно показать, что , , r – коэффициент корреляции, выражающий связь между компонентами X и Y случайного вектора (X, Y).

Неравенства Чебышева.

Пусть в неравенстве (1) вместо случайной величины X взято . Тогда по лемме Чебышева имеем , т.е. .

Неравенство называется 1-м неравенством Чебышева , оно дает оценку сверху вероятности того, что случайное событие отличается от по модулю не меньше чем на . Так как события и взаимно противоположны, то

, тогда .

Неравенство называется 2-м неравенством Чебышева . Оно дает оценку снизу вероятности того, что случайная величина отличается от своего математического ожидания по модулю меньше чем на любое положительное число .

Теорема Бернулли.

Теорема Я.Бернулли является исторически первой формой закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой некоторого события (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли и его вероятностью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство было дано П.Л.Чебышевым как прямое следствие его теоремы.

Теорема Бернулли. Пусть имеем схему независимых испытаний Бернулли и р-вероятность успеха в каждом испытании. Тогда частота успехов в испытаниях стремится по вероятности к р при , т.е. при .

Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием практического определения вероятностей с помощью относительной частоты . Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для любого ε > 0 и для фиксированного достаточно большого очень правдоподобно, что частота будет отклоняться от вероятности по модулю меньше, чем на . Отсюда, однако, не следует, что останется малой для всех достаточно больших п. Теорема Бернулли гарантирует лишь, что эти отклонения могут появляться весьма редко.

События. Виды случайных событий.

Всякий результат эксперимента со случайным исходом в теории вероятностей называют случайным событием. Случайные события обозначают заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C и т. д. Случайным событием А называют произвольное подмножество пространства элементарных событий Ω, состоящее из точек , представляющих те элементарные события ω, при которых происходит А.

Из и следует А=В. Событие называют событием, противоположным событию А; оно происходит, если не происходит А.

Если событие А не содержит ни одного элементарного события, оно называется невозможным и обозначается Ø; Ø – естественно является пустым подмножеством Ω.

Событие, противоположное невозможному событию Ø, называется достоверным событием; оно обозначается Ω и происходит всякий раз (при определенных условиях). События А и В называются несовместными, если они не могут произойти вместе, т.е. Ø. События образуют полную группу, т.е. при любом исходе эксперимента хотя бы одно из них непременно происходит; события равновозможны, т.е. ни одно из них не является более предпочтительным, чем другое.

 

1234Следующая ⇒

Поделиться: