Пространство элементарных событий.

Пусть в эксперименте со случайным исходом указаны все элементарные исходы, удовлетворяющие следующему требованию: в результате эксперимента непременно происходит один и только один из этих исходов. Каждый такой исход называется элементарным событием и обозначается буквой ω. По смыслу элементарные события неразложимы на более простые. Множество всех элементарных событий называют пространством элементарных событий Ω. Таким образом, по определению Ω ={ω }. Пространство элементарных событий Ω в зависимости от числа элементарных событий в нем может быть конечным или бесконечным; в последнем случае – счетным или несчетным.

Операции над событиями. Алгебра событий.

Суммой событий А и В называется событие С, которое происходит, если происходит хотя бы одно из событий А или В; обозначают сумму или А+В (для несовместных случайных событий). Разностью событий А\В называется случайное событие, которое происходит, если происходит событие А и не происходит В. Событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходят события А и В, называется произведением и обозначается АВ или .

Пусть множество всех возможных событий F удовлетворяет следующим двум условиям:

а)для любой пары событий А, имеет место включение ;

б)для любого события имеет место включение .

Отсюда, а также из принципа двойственности, следует, что и .

Класс F случайных событий, удовлетворяющих условиям 1 и 2, называется алгеброй событий.

 

Классическое определение вероятности.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.

Р (A) = m / n,

С в -в о 1. Вероятность достоверного события равна единице .

Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно, Р (A) = m / n = n / n = 1.

С в - в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю .

Если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно, Р (А) = m / n = 0 / n = 0.

С в - в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно, 0 < Р (А) < 1

Вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству 0 < = Р (A) < 1.

 

Элементы комбинаторики.

Перестановки. Различные представления n элементов называют их перестановками. Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

Р(n)= 1·2·3···n=n!

Размещения. Пусть имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, содержащее m элементов, называют размещением из n элементов по m. Размещения из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся хотя бы одним элементом или порядком их следования. Число размещений из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле

Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из n элементов. Каждое его подмножество, содержащее m элементов, называется сочетанием из n элементов по m. Все сочетания из n элементов по m – это все m-элементные подмножества, различающиеся друг от друга хотя бы одним элементом; все m-элементные подмножества, отличающиеся друг от друга порядком следования элементов, не считаются различными. Число сочетаний из n элементов по m обозначают и вычисляют по формуле:

Аксиомы вероятности.

1.F является σ -алгеброй случайных событий.

F будем называть σ -алгеброй событий, если для любой счетной последовательности случайных событий {A_i}, i = 1, 2, …, A_iÎ F, их объединение , т.е. является случайным событием. Из принципа двойственности следует, что и .

2.На σ -алгебре F определена функция Р(·), принимающая для любых неотрицательные значения, т.е. Р(А) 0.

3.Для любых двух несовместных событий А, ВÎ F имеет место равенство Р(А+В)=Р(А)+Р(В), называемое аксиомой сложения вероятностей.

4.Для произвольной счетной последовательности {A_i} несовместных событий имеет место равенство .Эта теорема определяет счетную аддитивность вероятности, иначе называемую аксиомой непрерывности вероятности.

5.Р(Ω )=1.

Пространство элементарных событий Ω, σ -алгебра событий F и вероятность Р(·) на F, удовлетворяющие 5-ти аксиомам вероятности определяют вероятностное пространство, обозначаемое (Ω, F, P).

 

Теоремы о вероятностях.

Теорема 1. Для любого события имеет место следующее равенство: .

Теорема 2. Если , то Р(А\В)=Р(А)–Р(В).

Теорема 3. Для любых двух случайных событий А и В F имеет место равенство

.

Теорема 4. Для произвольных случайных событий А₁, А₂, …, А_n F имеет место равенство

.

Теорема 5. Вероятность невозможного события Æ равна нулю.

Теорема 6. Для любого случайного события АÎ F имеем .

Теорема 7. Для любых случайных событий А, ВÎ F имеет место следующее равенство:

Р(АВ)=Р(B)Р(А/В) или Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).

Эта теорема называется теоремой умножения вероятностей.

Теорема 8. Для любого конечного числа случайных событий А₁, А₂, …, А_nÎ F имеем

Р(А₁А₂…А_n)=Р(А₁)Р(А₂/А₁)Р(А₃/А₁А₂)… Р(А_n/А₁А₂…А_n-1).

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: