Корреляционный момент. Коэффициент корреляции. Некоррелируемость, ее связь с независимостью случайных величин.

Особую роль играет второй смешанный центральный момент , который называется корреляционным моментом . Он обозначается: .

Формулы для вычисления корреляционного момента имеют вид:

- для системы (X, Y) дискретного типа ;

- для системы (X, Y) непрерывного типа .

Корреляционный момент характеризует, помимо рассеяния системы (X, Y) относительно точки рассеивания, степень связи между компонентами X и Y.

Случайные величины X и Y называются некоррелированными, если = 0.

Связь между некоррелированностью и независимостью выражается следующей теоремой.

Если случайные величины X и Y независимы, то они некоррелированны.

Для оценки степени связи обычно используют безразмерное отношение ,

которое называется коэффициентом корреляции случайных величин X и Y.

Можно показать, что , поэтому . Если , то говорят, что между X и Y существует положительная корреляция ; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины, другая имеет тенденцию к возрастанию. Если , то говорят, что между X и Y существует отрицательная корреляция ; это означает, что с увеличением значений одной случайной величины другая имеет тенденцию к убыванию. Если , это означает, что случайные величины X и Y некоррелированны.

Уравнение регрессии. Прямые регрессии.

Кроме корреляционного момента и коэффициента корреляции, взаимная связь двух случайных величин может быть описана с помощью линий регрессии .

При каждом значении Х = х величина Y остается случайной величиной, допускающей рассеяние своих значений, однако зависимость Y от Х сказывается также в изменении средних значений Y при переходе от одного значения X к другому. Эту зависимость и описывает кривая регрессии .

Аналогично, зависимость X от Y, которая сказывается в изменении средних значений X при переходе от одного значения Y = y к другому, описывается кривой регрессии .

Выведем уравнения прямых регрессии. Пусть MX = m_x, MY = m_y, D_x = , D_y = , K_xy – корреляционный момент случайных величин X и Y. Будем искать уравнение прямой регрессии Y на X в виде , где параметры A и B подлежат определению.

уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид .

уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид

Если учесть, что , то уравнения прямых регрессии могут быть переписаны в симметричной форме:

; .

Закон больших чисел. Лемма Чебышева I. Неравенства Чебышева.

Ряд результатов (теорем) в теории вероятностей о практически достоверных, практически невозможных событиях называют законом больших чисел .

Лемма Чебышева 1. Пусть имеем случайную величину X с математическим ожиданием MX. Тогда для любого имеет место неравенство

. (1)

Неравенства Чебышева.

Пусть в неравенстве (1) вместо случайной величины X взято . Тогда по лемме Чебышева имеем , т.е. .

Неравенство называется 1-м неравенством Чебышева , оно дает оценку сверху вероятности того, что случайное событие отличается от по модулю не меньше чем на . Так как события и взаимно противоположны, то

, тогда .

Неравенство называется 2-м неравенством Чебышева . Оно дает оценку снизу вероятности того, что случайная величина отличается от своего математического ожидания по модулю меньше чем на любое положительное число .

Теорема Чебышева. Лемма Чебышева II. Теорема Чебышева (основная).

Теорема Чебышева. Пусть – последовательность попарно независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены в совокупности: . Тогда последовательность сходится по вероятности к нулю, т.е. для при , иначе

при .

Лемма Чебышева 2 . Пусть имеем последовательность случайных величин, причем , при . Тогда при .

Теорема Чебышева имеет большое практическое значение и устанавливает связь между средним арифметическим наблюдаемых в опыте значений случайной величины и ее математическим ожиданием; оказывается, эта случайная величина является устойчивой в том смысле, что при соблюдении некоторых условий сходится по вероятности к определенной неслучайной величине.

Теорема Бернулли.

Теорема Я.Бернулли является исторически первой формой закона больших чисел. Она устанавливает связь между частотой некоторого события (успеха) в схеме независимых испытаний Бернулли и его вероятностью. Доказательство, данное Бернулли, было весьма сложным. Простое доказательство было дано П.Л.Чебышевым как прямое следствие его теоремы.

Теорема Бернулли. Пусть имеем схему независимых испытаний Бернулли и р-вероятность успеха в каждом испытании. Тогда частота успехов в испытаниях стремится по вероятности к р при , т.е. при .

Теорема Бернулли является теоретическим обоснованием практического определения вероятностей с помощью относительной частоты . Закон больших чисел Бернулли утверждает, что для любого ε > 0 и для фиксированного достаточно большого очень правдоподобно, что частота будет отклоняться от вероятности по модулю меньше, чем на . Отсюда, однако, не следует, что останется малой для всех достаточно больших п. Теорема Бернулли гарантирует лишь, что эти отклонения могут появляться весьма редко.

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: