Раздел 1. Дифференциальное исчисление.

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(РГТЭУ)

Дмитровский филиал

Кафедра гуманитарных дисциплин

 

МАТЕМАТИКА

 

(Часть 1: Высшая математика)

 

Учебно-методические рекомендации

для студентов заочной формы обучения

 

 

Рекомендуется для направлений подготовки 100700 «Торговое дело»

Менеджмент»

 

 

Дмитров 2011

ОРГАНИЗАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

1. Чтение учебной литературы. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, проделав на бумаге все вычисления (в том числе и те, которые ввиду их простоты в учебнике опущены), воспроизведя имеющиеся в учебнике чертежи.

При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т. п. На полях конспекта следует отмечать вопросы для письменной или устной консультации с преподавателем.

Опыт показывает, что многим студентам помогает составление таблицы, содержащей наиболее часто употребляемые формулы.

Для облегчения ориентации в учебной литературе ниже приведено содержание курса, дополненное ссылками на главы учебных пособий. Рекомендуем взять в библиотеке, как минимум, следующий набор учебных пособий: конспект лекций [4] и один из задачников [5-7]. Старое издание (1993) сборника задач [7] не содержит упражнений по темам 3 и 5, а задачник [6] - кратких теоретических справок. Поэтому лучше использовать два задачника: [5] и [6] или [6] и [7]. Для более полного усвоения теоретического материала полезно прочесть указанные главы и параграфы один из учебников [1-3] или [8].

2. Решение задач. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, указанных ниже в упражнениях хотя бы по одному из задачников [5-7]. Решение задач определенного типа нужно продолжать до приобретения твердых навыков в их решении.

3. Самопроверка. После изучения определенной темы по ­учебнику и решения достаточного количества соответствующих задач студенту рекомендуется воспроизвести по памяти определения, формулы и формулировки теорем, проверяя себя каждый раз по учебнику и ответить на приведенные вопросы и задачи для самопроверки. В случае необходимости надо еще раз внимательно разобраться в материале учебника, решить несколько задач.

Иногда недостаточность усвоения того или иного вопроса выясняется только при изучении дальнейшего материала. В этом случае надо вернуться назад и повторить плохо усвоенный раздел.

Важным критерием усвоения теории является умение решать задачи на пройденный материал. Другим критерием является понимание сущности теорем, правил и других теоретических положений. Можно сказать, что умение решать задачи является необходимым, но не достаточным условием хорошего знания теории.

 

Правила оформления и зачета контрольных работ.

1. В процессе изучения высшей математики студент первого курса должен выполнить две контрольные работы, задачи первой из которых содержатся в разделе «Контрольная работа № 1». Не следует приступать к выполнению контрольного задания до решения достаточного количества задач по учебному материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания вызывается тем, что студент не выполнил это требование.

2. Контрольные работы должны быть оформлены в соответствии с настоящими правилами. Работы, выполненные без соблюдения этих правил, не засчитываются и возвращаются студенту для переработки.

3. Каждую контрольную работу следует выполнять в отдельной тетради, чернилами любого цвета, кроме красного.

4. На обложке тетради должны быть разборчиво написаны Ф.И.О. студента, факультет (институт), номер группы, название дисциплины, № контрольной работы, номер варианта и домашний адрес студента. В конце работы поставить дату ее выполнения и расписаться.

5. Номер варианта контрольной работы, которую выполняет студент, должен совпадать с последней цифрой номера его зачетной книжки.

6. Решения задач надо располагать в порядке возрастания номеров. Условия задач следует переписать в тетрадь.

7. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса.

Решение задач и примеров следует излагать подробно. объясняя все выполненные действия и используемые формулы. Решение каждой задачи должно доводиться до окончательного ответа, которого требует условие. В промежуточные вычисления не следует вводить приближенные значения корней, числа Õ, е и т. д.

Полученный ответ следует проверить способами, вытекающими из существа данной задачи. Так, например, вычислив неопределенный интеграл, нужно проверить, равна ли подынтегральная функция производной от полученной первообразной. Полезно также, если это возможно, решить задачу несколькими способами и сравнить полученные результаты.

8. Срок проверки контрольных работ - 10 рабочих дней. Студенты обязаны сдавать письменные контрольные работы не позднее, чем за 10 дней до начала экзаменационной сессии. В противном случае они не будут допущены к зачетам и экзаменам.

9. После получения прорецензированной работы студент должен исправить все отмеченные рецензентом ошибки и недочеты, внести в решения задач рекомендуемые рецензентом изменения или дополнения и прислать работу для повторной проверки. В связи с этим рекомендуем при выполнении контрольной работы оставить в конце тетради несколько чистых листов для внесения исправлений и дополнений впоследствии.

В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.

При представленных на повторную проверку исправлениях обязательно должны находиться прорецензированная работа и рецензия на нее. Вносить исправления в сам текст работы после ее рецензирования запрещается.

10. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять.

На экзамен студент должен явиться с рецензией на выполненную контрольную работу. Без предъявления преподавателю процензированных контрольных работ студент к экзамену не допускается.

 

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА. ПЕРВЫЙ СЕМЕСТР.

Тема 4. Интегралы.

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: замена переменной, интегрирование по частям.

Литература: [1, гл.11], [2, гл.8], [3, гл. 9], [4, §2.1-2.5, стр. 73-82], [5, гл.8, § 1-8, 10], [7, гл. 6, § 1-3]

Упражнения: [5, 1263-1267, 1279-1284, 1291-1296, 1301, 1305, 1307, 1309, 1330, 1340, 1362, 1363, 1375-1379, 1383, 1428, 1444], [6, 4.1-4.5, 4.19-4.22, 4.61-4.65, 4.68-4.72, 4.80, 4.96-4.99, 4.104-4.105], [7, гл. 6 yпр. 1-5, 37-40, 56-59, 102-105, 107-110, 118, 119, 126].

§ 2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. За­мена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Литература: [1, гл.12, § 5], [2, гл. 14, § 12, упр.10], [3, гл. 10, § 59], [4, §2.6-2.9, стр. 82-88], [5, гл.9, §7], [7, гл. 6, § 4].

Упражнения: [5, 1593-1596, 1601], [6, 4.117, 4.118, 4.120-4.124, 4.129, 4.130, 4.136], [7, гл. 6 yпp. 254-257, 268-270].

§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные метод вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников трапеций, Симпсона.

Литература: [1, гл. 12, §6, 8], [2, гл. 15], [3, гл. Х, § 58] [4, § 2.10, 2.12, стр. 88-92, 95-97], [5, гл.9, §2-3], [7, гл. 6, §5].

Упражнения: [5, yпp. 1625, 1653, 1654, 1669, 1670], [6, 4.138 4.142 - 4.146, 4.158], [7, гл.6 упр.290, 292-294, 219, 221, 388, 391]

§ 4. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.

Литература: [1, гл.12, §5], [2, гл. 14, §12, упр.10], [3, гл.10, §59], [4, § 2.11, 2.13, стр. 92-95, 97-99], [5, гл. IX, § 7] [7, гл. 6, § 6].

Упражнения: [5, yпp. 1748, 1752], [6, упр. 4.171] [7, гл. 6 упр. 355-358].

 

Тема 6. Ряды.

 

§1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда: Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коши. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Литература: [1, гл.15], [2, гл. 21, §1 - 7], [3, гл. XI], [4, § 2.22-2.26, 118-130], [5, гл. XIV, § 1], [7, гл. 8, § 1-3].

Упражнения: [5 упр. 2422-2424, 2432, 2433, 2435, 2437], [6, упр. 6.1, 6.15-6.18, 6.24, 6.39-6.42], [7, гл. 8, упр. 31-34, 43, 48].

 

§2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

Литература: [1, гл. 16, § 1- 5], [2, гл. 21, § 8 - 12, 14], [3, гл.12, 65-68], [4, § 2.27 - 2.29, стр. 130-137], [5, гл.14, § 3 -4], [7, гл. 8, § 4]

Упражнения: [5, упр. 2483- 2486, 2492. 2), 3)], [6, упр. 6.77­-6.80, 6.97, 6.111, 6.115, 6.98], [7, гл. 8, упр. l03-106, 119-122].

 

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.

Литература: [1, гл.16, § 6], [2, гл. 21,.§ 13], [3, гл.12, § 69], [4; §2.29, cтp. 137-139], [5, гл. 14, § 5].

Упражнения: [5, упр. 2512, 2518, 2520], [6, упр. 6.125-6.127].

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

 

ТЕМА 1.

 

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называется областью определения функции?

2. Какие функции называются элементарными?

3. Какой вид имеют графики функций у =а^Х при а > 1, y=sin x, y=cosx, y=tg x, y=arcsin x, y=arctgx? Укажите области определения и множества значений этих функций. Какие из этих функций являются чётными?

4. При каких условиях число b называется пределом функции f(x) при стремлении Х к числу 2, к бесконечности - ¥, + ¥? Прочитайте формулы и объясните их смысл.

5. Пределом какой функции при х→ 0 является число е? Найдите в учебнике значение числа е с двумя знаками после запятой. Как называется и обозначается логарифм числа х по основанию к е? Какому числу равен предел ?

6. Какие правила применяются при вычислении пределов суммы, разности и отношения двух Функций?

7. Как определяется непрерывность функции f (х) в точке а?

ТЕМА 2.

 

1. Сформулируйте определение производной. Каков геометрический смысл производной?

2. Функция имеет производную в данной точке. Следует ли отсюда, что она непрерывна в этой точке?

3. Сформулируйте теоремы Ролля и Лагранжа. Каков геометрический смысл этих теорем? Сформулируйте теорему Коши.

4. В чем заключается правило Лопитaля? При каких, условиях применяется правило Лопиталя? Перечислите различные типы неопределённостей, для раскрытия которых может быть использовано это правило. Приведите примеры.

5. Что называется дифференциалом функции? Приведите примеры.

6. Каковы признаки возрастания и убывания функции?

7. Что такое экстремум функции? Каковы необходимые и достаточные условия экстремума? Приведите примеры. ­

8. Приведите пример, показывающий, что обращение производной в нуль не является достаточным условием экстремума.

9. Как найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции? Приведите примеры.

 

Тема 3.

1. Сформулируйте определение частных производных.

2. Что называется полным приращением и полным дифференциалом функции переменных? Приведите примеры.

З. Каковы достаточные условия минимума (максимума) функции двух переменных. Что такое условный экстремум?

 

ТЕМА 4.

 

1. Сформулируйте определение первообразной функции. Докажите, что любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.

2. Что называется неопределенным интегралом?

3. Какие правила применяются для вычисления неопределённого интеграла суммы функций, для вычисления ò k_* f(х) dx?

4. Выведите формулу интегрирования по частям.

5. Что называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [а; b]. Какая фигура называется криволинейной трапецией? По какой формуле вычисляется её площадь?

6. Напишите формулу Ньютона-Лейбница.

7. Какие свойства определенного интеграла Вам известны?

8. В чём состоят определение и геометрический смысл несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования?

 

ТЕМА 5.

 

1. Что называется решением дифференциального уравнения? Что является неизвестной в дифференциальном уравнении? что называется порядком дифференциального уравнения?

2. Как из общего решения дифференциального уравнения первого (второго) порядка можно получить его частное решение? Каков геометрический смысл начальных условий дифференциальных

уравнений первого и второго порядка.

3. B чем заключается смысл теоремы о существовании и единственности решения для дифференциального уравнения первого порядка? Приведите пример дифференциального уравнения первого порядка, графики двух различных решений которого пересекаются в некоторой точке. Выполнятся ли в этой точке условия теоремы существования и единственности?

4. При каких условиях дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными?

5. Как решаются дифференциальные уравнения первого порядка?

6. В каких случаях линейное дифференциальное уравнение второго порядка называется oднopoдным, неоднородным?

7. Напишите характеристический многочлен уравнения у" + b _* у' + с * у = 0.

Пусть D – дискриминант характеристического многочлена. Какой вид имеет общее решение этого дифференциального уравнения при D > 0, при D = 0 и при D < 0?

8. Какова структура общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами?

 

ТЕМА 6.

1. Что называется суммой сходящегося степенного ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число его членов?

3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю?

4. Сформулируйте признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости ряда. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

5. Какие знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и какие - условно сходящимися? Сформулируйте признак Лейбница.

6. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости.

7. Выпишите разложения в ряд Маклорена функций: е^х, , sin х , ln(l + х). Каковы области сходимости получившихся рядов?

 

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

[1]. Карасев А. Н., Аксютина 3. М., Савельева Т. Н. Курс высшей математики для экономических вузов. Ч. 1. – М.: Высшая школа, 1982.

[2]. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1989.

[3]. Маркович Э. С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. – М.: Высшая школа, 1972.

[4]. Высшая и прикладная математика. Конспект лекций. Часть I. Высшая математика. Выпуск 1. Основы математического анализа. – М.: МКУ, 1993

[5]. Минорский сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, l986.

[6]. Зайцев М.Б., Лавриненко Т.А Высшая математика. Сборник задач, часть 1. – М.: изд. МГУК, 1998.

[7]. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М.: Высшая школа, 1998.

 

 

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА:

[8] Шипaчев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая Школа, 1998.

[9] Данко П. Е., Попов А Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, П. – М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./ под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.

[12]. Ильин В. А, Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). – М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматгиз, 1962

 

ЗАДАЧА 11

 

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды . Найдите:

а) длину ребра А₁В₁;

б) косинус угла между векторами и ;

в) уравнение ребра ;

г) уравнение грани ;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

е) координаты векторов = ; = ; = , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер соответственно;

з) разложение вектора по базису , если , , , .

 

Решение.

а) Найдем координаты вектора по формуле

= , где - координаты точки - координаты точки .

Итак, = . Тогда

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

 

б) Координаты вектора уже известны, осталось определить координаты вектора .

Угол между векторами и вычислим по формуле , где скалярное произведение векторов и равно , =, .

Итак, .

 

в) Координаты точки обозначим соответственно , а координаты точки через и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра имеет вид или .

 

г) Обозначим координаты векторов и через и соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

так как данный вектор перпендикулярен грани то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , которое имеет вид .

Подставим координаты точки и координаты перпендикулярного вектора в это уравнение:

. Раскроем скобки и приведем подобные члены . Итак, уравнение грани имеет вид: или .

 

д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины на грань . Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где - координаты точки .

Отсюда искомое уравнение или

 

е) Координаты вектора .

Обозначим , , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедится, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от 0. определитель третьего порядка равен

Вычислим определитель

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.

 

ж) Сначала найдем координаты точек M и N соответственно. Координаты точки

,

.

Получаем вектор .

 

з) Обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда .

Так как

, то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. [2] глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Тогда , где

Для системы (1) определитель

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису имеет вид

.

 

 

ЗАДАЧА 12.

 

Решите систему линейных уравнений

 

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

 

Решение.

 

а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

где . (Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.

Так как то

 

б) Решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

 

Составим расширенную матрицу данной системы.

 

 

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

 

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,

 

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

 

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

 

Умножим каждый элемент второй строки матрицы нВ -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

 

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как и , то .

Отсюда, . Из имеем .

Ответ:

 

в) Решение системы в этом случае равно , где - обратная матрица для матрицы , - столбец свободных членов,

Δ – определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

 

Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

Вычислим ее определитель

.

 

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

 

 

Тогда

 

Отметим, что ответы, полученные при решении разными методами, совпадают между собой.

Ответ:

 

УПРАЖНЕНИЯ

1. Предел последовательности

 

1. Дана постоянная последовательность для всех натуральных чисел . Докажите, используя определение предела последовательности, что

2. Докажите, что

3. Докажите, используя определение предела последовательности, что

4. Докажите, используя определение предела последовательности, что при 0 < q < 1.

5. Докажите, что всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.

6. Докажите, что .

7. Докажите, что

8. Докажите, что

9. Является ли последовательность бесконечно малой?

10. Является ли последовательность бесконечно малой?

11. Является ли последовательность бесконечно малой?

12. Найти предел .

13. Найти предел последовательности .

14. Найти предел последовательности .

15. Найти предел последовательности .

16. Найти предел последовательности .

Объясните, какие свойства пределов и теоремы Вы использовали для вычисления этого предела.

17. Найти предел последовательности .

18. Найти предел последовательности .

19. Вычислить предел .

20. Найти предел последовательности .

 

2. Предел функции. Непрерывность

 

21. Докажите, что .

22. Найдите, используя определение предела функции, предел функции при . Используя графические соображения, найдите односторонние пределы и .

23. Докажите, что .

24. Докажите, что .

25. Докажите, что .

26. Докажите, что .

27. Найти предел функции. Докажите, что .

28. Вычислить предел функции , где - постоянная величина.

29. Вычислить предел .

30. Вычислить предел .

31. Вычислить предел .

32. Найти предел функции .

33. Найти предел функции .

34. Построить график функции . Является ли функция непрерывной в точке ?

35. Построить график функции . Является ли эта функция непрерывной?

 

3. Производная

 

36. Найти производную функции .

37. Найти производную функции .

38. Найти производную функции .

39. Найти производную функции .

40. Найти производную функции .

41. Найти производную функции .

42. Найти производную функции .

43. Найти производную функции .

44. Найти производную функции .

45. Вычислить производную функции .

46. Вычислить производную функции .

47. Вычислить производную функции .

48. Вычислить производную функции .

49. Вычислить производную функции .

50. Вычислить производную данной функции .

51. Вычислить производную функции: .

52. Пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, найдите производную функции .

53. При каком значении параметра p касательная к графику функции , проведенная в точке с абсциссой , параллельна прямой ?

54. Выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

55. Выяснить геометрический смысл теоремы Ферма.

56. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя, .

57. Используя правило Лопиталя, вычислить предел .

58. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

59. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

60. Найти предел функции (можно воспользоваться правилом Лопиталя) .

61. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

62. Найти дифференциал функции . Найти дифференциал функции в точке .

63. Вычислить .

64. Вычислить .

65. Вычислить частные производные функции двух переменных .

123Следующая ⇒

Поделиться: