Векторная алгебра и элементы аналитической геометрии

Для решения задачи 1 и задачи 2 необходимо изучить следующую литературу:

 

Глава 3, стр. 63-74,

Глава 4, стр. 95-101,

Глава 9, § 1-13, стр. 222-251.

 

Теперь рассмотрим применение изученных формул на примерах.

 

ЗАДАЧА 11

 

В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды . Найдите:

а) длину ребра А₁В₁;

б) косинус угла между векторами и ;

в) уравнение ребра ;

г) уравнение грани ;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины на грань ;

е) координаты векторов = ; = ; = , и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где M и N – середины ребер соответственно;

з) разложение вектора по базису , если , , , .

 

Решение.

а) Найдем координаты вектора по формуле

= , где - координаты точки - координаты точки .

Итак, = . Тогда

Итак, длина отрезка (или длина вектора ) равна . Это и есть искомая длина ребра.

 

б) Координаты вектора уже известны, осталось определить координаты вектора .

Угол между векторами и вычислим по формуле , где скалярное произведение векторов и равно , =, .

Итак, .

 

в) Координаты точки обозначим соответственно , а координаты точки через и воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через две точки: .

Следовательно, уравнение ребра имеет вид или .

 

г) Обозначим координаты векторов и через и соответственно. Векторное произведение данных векторов определяется формулой

так как данный вектор перпендикулярен грани то можно воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , которое имеет вид .

Подставим координаты точки и координаты перпендикулярного вектора в это уравнение:

. Раскроем скобки и приведем подобные члены . Итак, уравнение грани имеет вид: или .

 

д) Вектор является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины на грань . Воспользуемся уравнением прямой в пространстве, проходящей через точку с заданным направляющим вектором: , где - координаты точки .

Отсюда искомое уравнение или

 

е) Координаты вектора .

Обозначим , , .

Чтобы доказать, что векторы образуют линейно независимую систему векторов необходимо убедится, что определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов, отличен от 0. определитель третьего порядка равен

Вычислим определитель

Так как данный определитель отличен от 0, то вектора образуют линейно независимую систему.

 

ж) Сначала найдем координаты точек M и N соответственно. Координаты точки

,

.

Получаем вектор .

 

з) Обозначим через координаты вектора в базе .

Тогда .

Так как

, то приравнивая соответствующие координаты, получим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Решим данную систему уравнений с помощью формул Крамера (см. [2] глава 10, стр. 268). Рассмотрим произвольную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Тогда , где

Для системы (1) определитель

По формулам Крамера

Итак, разложение вектора по базису имеет вид

.

 

 

ЗАДАЧА 12.

 

Решите систему линейных уравнений

 

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы.

 

Решение.

 

а) Метод Крамера состоит в решении системы линейных уравнений по формулам Крамера ,

где . (Подробности смотрите в пункте з) задачи 1.

Так как то

 

б) Решим данную систему уравнений методом Гаусса. Метод Гаусса состоит в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последнего уравнения, легко находят все неизвестные системы.

 

Составим расширенную матрицу данной системы.

 

 

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы, чтобы в ее левом верхнем углу была единица. Получим матрицу.

 

Умножим каждый элемент первой строки матрицы на 4 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам второй строки. Матрица примет вид,

 

Умножим каждый элемент второй строки матрицы на -3, и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

 

Разделим каждый элемент второй строки матрицы на 4, чтобы второй элемент, стоящий на главной диагонали матрицы, стал равным 1.

 

Умножим каждый элемент второй строки матрицы нВ -8 и прибавим полученные числа к соответствующим элементам третьей строки:

 

Данная матрица соответствует системе уравнений , решение которой совпадает с решением исходной системы. Начиная с последнего уравнения, несложно найти все неизвестные.

Действительно, так как и , то .

Отсюда, . Из имеем .

Ответ:

 

в) Решение системы в этом случае равно , где - обратная матрица для матрицы , - столбец свободных членов,

Δ – определитель этой матрицы. (Общую запись системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными смотрите в задаче 1, пункт з, система 2).

 

Составим матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных данной системы:

Вычислим ее определитель

.

 

Вычислим алгебраические дополнения для всех элементов матрицы А:

 

 

Тогда

 

Отметим, что ответы, полученные при решении разными методами, совпадают между собой.

Ответ:

 

УПРАЖНЕНИЯ

1. Предел последовательности

 

1. Дана постоянная последовательность для всех натуральных чисел . Докажите, используя определение предела последовательности, что

2. Докажите, что

3. Докажите, используя определение предела последовательности, что

4. Докажите, используя определение предела последовательности, что при 0 < q < 1.

5. Докажите, что всякая числовая последовательность может иметь не более одного предела.

6. Докажите, что .

7. Докажите, что

8. Докажите, что

9. Является ли последовательность бесконечно малой?

10. Является ли последовательность бесконечно малой?

11. Является ли последовательность бесконечно малой?

12. Найти предел .

13. Найти предел последовательности .

14. Найти предел последовательности .

15. Найти предел последовательности .

16. Найти предел последовательности .

Объясните, какие свойства пределов и теоремы Вы использовали для вычисления этого предела.

17. Найти предел последовательности .

18. Найти предел последовательности .

19. Вычислить предел .

20. Найти предел последовательности .

 

2. Предел функции. Непрерывность

 

21. Докажите, что .

22. Найдите, используя определение предела функции, предел функции при . Используя графические соображения, найдите односторонние пределы и .

23. Докажите, что .

24. Докажите, что .

25. Докажите, что .

26. Докажите, что .

27. Найти предел функции. Докажите, что .

28. Вычислить предел функции , где - постоянная величина.

29. Вычислить предел .

30. Вычислить предел .

31. Вычислить предел .

32. Найти предел функции .

33. Найти предел функции .

34. Построить график функции . Является ли функция непрерывной в точке ?

35. Построить график функции . Является ли эта функция непрерывной?

 

3. Производная

 

36. Найти производную функции .

37. Найти производную функции .

38. Найти производную функции .

39. Найти производную функции .

40. Найти производную функции .

41. Найти производную функции .

42. Найти производную функции .

43. Найти производную функции .

44. Найти производную функции .

45. Вычислить производную функции .

46. Вычислить производную функции .

47. Вычислить производную функции .

48. Вычислить производную функции .

49. Вычислить производную функции .

50. Вычислить производную данной функции .

51. Вычислить производную функции: .

52. Пользуясь определением производной как предела отношения приращения функции к приращению аргумента, найдите производную функции .

53. При каком значении параметра p касательная к графику функции , проведенная в точке с абсциссой , параллельна прямой ?

54. Выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа.

55. Выяснить геометрический смысл теоремы Ферма.

56. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя, .

57. Используя правило Лопиталя, вычислить предел .

58. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

59. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

60. Найти предел функции (можно воспользоваться правилом Лопиталя) .

61. Найти предел функции, пользуясь правилом Лопиталя .

62. Найти дифференциал функции . Найти дифференциал функции в точке .

63. Вычислить .

64. Вычислить .

65. Вычислить частные производные функции двух переменных .

66. Вычислить частные производные функции двух переменных .

67. Вычислить частные производные функции двух переменных .

68. Вычислить частные производные функции двух переменных .

69. Вычислить частные производные функции двух переменных .

70. Вычислить частные производные функции двух переменных .

 

4. Исследование функций

 

71. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции .

72. Построить график функции . Найти точки локального экстремума функции и наибольшее значение этой функции на отрезке .

73. Построить график функции и найти точку минимума этой функции.

74. Исследовать функцию и построить ее график.

75. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

76. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

77. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

78. Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .

79. Приведите пример функции, не обладающей на некотором числовом промежутке наибольшим значением.

80. Найти асимптоты функции .

 

5. Интеграл

 

81. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

82. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

83. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .

84. Используя формулу замены переменной, вычислить неопределенный интеграл .

85. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

86. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

87. Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .

88. Вычислить неопределенный интеграл, используя метод замены переменной .

89. Вычислить неопределенный интеграл .

90. Вычислить неопределенный интеграл .

91. Вычислить определенный интеграл .

92. Вычислить определенный интеграл .

93. Найти .

94. Вычислить определенный интеграл .

95. Вычислить .

96. Вычислить .

97. Вычислить .

98. Вычислить .

99. Найти .

100. Найти .

101. Найти .

102. Вычислить .

103. Вычислить неопределенный интеграл .

104. Приведете пример функции, которую нельзя проинтегрировать в элементарных функциях.

105. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

106. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

107. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

108. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

109. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .

 

6. Дифференциальные уравнения

 

110. Найти общее решение дифференциального уравнения

111. Найти какое-либо частное решение дифференциального уравнения .

112. Найти общее решение дифференциального уравнения .

113. Найти общее решение и частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , .

114. Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее условию , .

115. Найти общее решение дифференциального уравнения .

116. Найти общее решение дифференциального уравнения .

117. Найти общее решение дифференциального уравнения .

118. Найти общее решение дифференциального уравнения .

 

7. Ряды

 

119. Вычислить сумму ряда:

а) . Является ли этот ряд абсолютно сходящимся?

б) . Является ли этот ряд абсолютно сходящимся?

 

в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) .

120. Является ли ряд абсолютно сходящимся?

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

 

Формулировки условий задач контрольной работы:

 

1. Вычислить предел функции.

2. Вычислить производную функции.

3. Исследовать функции и построить их графики.

4. Вычислить неопределенные интегралы.

5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .

6. Найти общее решение дифференциального уравнения и построить графики двух различных частных решений этого уравнения.

7. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанному условию.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным условиям.

9. Исследовать ряд на сходимость.

10. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда.

 

11. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды А₁, В₁, С₁, D₁. Найдите:

а) длину ребра А₁В_1;

б) косинус угла между векторами и ;

в) уравнение ребра А₁В₁;

г) уравнение грани А₁В₁С₁;

д) уравнение высоты, опущенной из вершины D₁ на грань А₁В₁С₁;

е) координаты векторов = , = , = и докажите, что они образуют линейно независимую систему;

ж) координаты вектора , где М и N – середины ребер А₁D₁ и B₁C₁ соответственно;

з) разложите вектора по базису ( , , ),

 

 

12. Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы:

ВАРИАНТ 0

 

1.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

2.

а)	б)
в)	г) .

3.

а)

б)

4.

а)	б)
в)	г)

5.

6. .

 

7.

8.

9.

10.

11. А₁ (1, -1, 0), В₁ (2, 3, 1), С₁ (-1, 1, 1), D₁ (4, -3, 5).

 

12.

 

ВАРИАНТ 1

 

1.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

2.

а)	б)
в)	г)

3.

а)

б)

4.

а)	б)
в)	г)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. А₁ (2, 0, -3), В₁ (1, 1, 1), С₁ (4, 6, 6), D₁ (-1, 2, 3).

 

12.

 

ВАРИАНТ 2

1.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

2.

а)	б)
в)	г)

3.

а)

4.

а)	б)
в)	г)

5.

6.

7.

8.

9.

10. .

 

11. А₁ (-3, 1, 1), В₁ (0, -4, -1), С₁ (5, 1, 3), D₁ (4, 6, -2).

12.

ВАРИАНТ 3

1.

а)	б)
в)	г)
д)	е)

2.

а)	б)
в)	г)

3.

а)

б)

4.

а)	б)
в)	г)

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. А₁ (1, 1, 4), В₁ (2, 1, 2), С₁ (1, -1, 2), D₁ (6, -3, 8).

12.

 

ВАРИАНТ 4

1.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: