МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ПЕРВОЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

 

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

 

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) - е):

 

А)

Анализ задачи. Так как для данных дробей степень числителя больше степени знаменателя, то

 

и . Поэтому мы имеем дело с неопределённостью ∞ –∞ . Следовательно, теоремой о пределе разности воспользоваться нельзя и необходимо провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Приводим выражение к общему знаменателю:

 

= = =

= = = /значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то ж е ненулевое число/ =

Следовательно, =

=

Ответ: 3

Б)

 

Решение. Вычислим сначала предел логарифмируемого числа:

Из непрерывности функции у(х)=log₃x следует, что если предел lim _x-> f(x) существует. Поэтому

Ответ: -1

 

Теорема (Первое правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а . Если пределы функций равны нулю и

и если существует предел отношения производных , то предел­ отношений функций равен пределу отношения производных =

 

Теорема (Второе правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а . Если пределы функций равны бесконечности и и если существует предел отношения производных , то пре­дел отношения функций равен пределу отношения производных =

 

в)

 

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение те­оремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо х, и предел числителя и предел знаменателя равны нулю.

и

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется про­вести тождественные преобразования выражения, находящего­ся под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если х₁, х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + bx + с, то ах² + bх + с = а (х - х_l) (х - х₂). Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D .

3х² + 8х -= 3 = о; D = b² - 4ас = 8² + 4 *3 * 3 = 100;

х_{1, 2 ;} х₂= -3.

Отсюда, 3х' + 8х - 3 = 3 (х - ) (х - (-3)) = (3х -l)(x + 3).

Аналогично, х² + 5х -+- 6 = 0 < => x_l = -2; х₂ = -3;

Поэтому х² + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3).

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

/ так как функция у= непрерывна в точке х= -3, подставляем х= -3/= .

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и зна­менателя при х→ -3 равны нулю, применимо правило Лопита­ля.

Ответ: 10

г) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо про­вести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряжённых выражений , и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

/ так как функция непрерывна в точке х=2 , подставляем х=2 / =

Ответ:

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо х показывает, что пре­дел числителя и предел знаменателя при х→ 0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость . Для того, чтобы раскрыть неопре­деленность можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной ; при этом . Так как у=0 при х=0, то у→ 0 .

.

Используем теперь тригонометрическую формулу

= / применяем первый замечательный предел /

Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

/ подставляем x = 0, cos0 = 1 / Ответ:

 

е)

Решение:

= / замена переменной так как / =

/

= / предел произведения равен произведению пределов / /

= / используем второй замечательный предел /

Предел вычислен подстановкой

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность . Ответ: .

 

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функции а) – г):

 

а) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции :

. Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу и, подставляя , получаем Ответ: .

 

б) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции .

Так как , где , то по таблице производных сложных функций (таблица 2 пункт 2.) находим:

.

Теперь вычисляем производную функцию у(х), пользуясь формулой производной отношения:

 

Ответ:

 

в) Вычислить производную .

Анализ задачи. Функция представляет собой произведение трех функций . Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

Следовательно,

Решение.

.

Ответ:

г) Вычислить производную функцию

Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством , представим у(х) в виде . Так как , то и поэтому . В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой , читая ее слева на право.

Ответ: .

 

ЗАДАЧА 3. Исследовать функции и построить их графики:

а) исследовать функцию

Решение.

1) Так как - многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся – числовая прямая:

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ; ; ; .

3) Заметим, что при и при поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена , который неограниченно возрастает при и неограниченно убывает при . Поэтому .

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

4) – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение

.

 

(в вариантах 5-7 контрольной работы корни уравнения у(х) =0 находятся подбором. Если Вам достался один из этих вариантов, попробуйте подставить числа .

5) Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции , , и решаем уравнение , критические точки . Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

; ; ;

 

		- 4		-1
	+		-		+
	k	максимум	m	минимум	k

 

Итак, функция возрастает при и при и убывает при ; локальный минимум – , локальный максимум – .

6) используя пункт 3) получаем, что множество значений функции – вся числовая прямая, .

7) Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем ее к нулю:

Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков и

;

мах=1, 6               x1   -4     -1         min=-1, 1

max ≈ 10.3                                                         min   6.59                                                                     -4 -1

Рис. 1. Графики функций 3.а) и 3.б)

 

	-		+
	выпуклость вверх	перегиб	выпуклость вниз

 

Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: , тангенс угла наклона ³ (угол наклона α равен ) равен значению производной в данной точке . При построении касательной откладываем 2, 0 см от точки А (-2, 5; 0, 25) по оси Ох вправо и 2, 7 см вдоль оси Оу вниз и получаем точку В (-2, 5+2; 0, 25-2, 7), В(-0, 5; -2, 45). Проводим через точки А и В прямую ( АВ ). График функции у(х) должен касаться прямой ( АВ ) в точке А.

8) На этом исследование функции закончено и остается лишь вычислить ее значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.

б) Исследовать функцию .

Решение.

1). Так как и , то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ;

3)

/ замена у = -х /

.

4) Так как , то – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение у (х) = 0, т.е. . Так как любая степень числа е положительная, мы можем разделить на обе части уравнения: ; D=81-4*22=-7< 0.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней. Иначе говоря, график функции не пересекает ось Ох и поэтому, в силу своей непрерывности, функция у(х) не меняет своего знака на протяжении всей числовой оси. Отсюда вытекает, что у(х)> 0 для всех действительных

чисел х, поскольку у(0)> 0.

5) Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

Для определения критических точек функции решим уравнение

критические точки –

 

		- 4		-1
	+		-		+
	m	минимум	k	максимум	m

 

Локальный минимум – локальный максимум –

6) Используя пункты 3) -5), получаем, что

7) Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

		-3
	+		-		+
	вып. вниз	перегиб	вып. вверх	перегиб	вып. вниз

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

, и построить касательные графику функции в этих точках.

8) Так как функция определена на всей числовой оси и функция имеет правую горизонтальную асимптоту

9) Строим график функции.

 

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) –г):

а) .

Решение. Решение данной задачи требует знания формулы дифференциала функции . Используя тригонометрическую формулу , получаем:

Пусть . Тогда , и следовательно, по формуле дифференциала. Отсюда .

Последнее равенство получено формулам таблицы интегралов:

(1)

Ответ:

б)

Решение. Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за функцию Тогда (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем).

По формуле находим производную второго сомножителя

 

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям, получаем:

Ответ:

 

в)

Решение. Так как корнями знаменателя является и , то по формуле , знаменатели раскладываются на множители.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

(2) .

Подставляя в последнее равенство находим, что .

Поставляя в равенство (2), находим, что .

Таким образом, .

Итак, .

Здесь мы воспользовались формулой (1).

Ответ: .

 

г) .

Анализ задачи. Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного двучлена отрицателен, , справедливо равенство:

.

 

Решение. Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя и рассмотрим функцию . Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя и заметим, что ; . Отсюда,

Вычислим получившиеся интегралы по–отдельности.

1) .

2)

.

Подставляя полученные выражения, окончательно получаем следующий ответ:

.

 

ЗАДАЧА 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Изобразите эту фигуру на координатной оси.

Решение. Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Вычисляем производную функции и находим координаты вершины параболы С.

; ; .

 

у = х2 + 3х + 1	у		у = х + 4
					В
А
	-3	С				х

Рис. к задаче 5

 

Найдем точки пересечения графиков функций: .

,

Заметим, что графиком функции является прямая, которую можно построить по двум точкам А (-3; 1) и В (1; 5).

Пусть S – площадь фигуры АВС, ограниченной графиками функций. Так как при , то

Ответ: .

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

(3)

где - заданные функции называются дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными.

Для решения уравнения такого вида необходимо сделать следующее:

1) Разделить переменные, т.е. преобразовать уравнение к виду

(4)

2) Проинтегрировать обе части уравнения (4)

(5)

где - первообразная функции , - первообразная функции , - произвольная постоянная.

3) Разрешить, если это возможно, уравнение (5) относительно (и найти область определения решения): .

4) Добавить к решению (5) все функции вида (горизонтальные прямые), где число - один из корней уравнения .

Описанный метод решения можно схематично представить в виде формулы:

 

ЗАДАЧА 6. Найти общее решение дифференциального уравнения . Построить графики двух частных решений этого уравнения.

Решение.

1) Преобразуем уравнение к виду .

2) .

Равенство показывает, что С > 0. Положим , где R > 0 – другая произвольная постоянная. Тогда .

3) Разрешим, предыдущее уравнение относительно и найдем область определения решения: или , , где R > 0. Графики решений – дуги концентрических окружностей произвольного радиуса с центром в начале координат (см. рис.).

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: