Числовая последовательность. Сумма, разность, произведение и частное двух последовательностей. Ограниченные и неограниченные, бесконечно большие и бесконечно малые последовательности, их свойства

Стр 1 из 3Следующая ⇒

а) Чистовая последовательность

Если каждому значению n из натурального ряда чисел 1, 2, …, n, … ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число Xn, то множество занумерованных чисел Х1, х2, …., Хn, …. мы и будем называть ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ или просто ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ

б) Сумма, разность, произведение и частное двух последовательностей

Назовем пос-ть х1 + у1, х2 + у2, …. Хn + Yn, … суммой последовательностей х1, х2 …. Хn, …. и у1, у2 …. Yn ….

Х1 – у1, х2 – у2, … Хn – Yn, …. – разностью тех же последовательностей

Х1 * у1, х2 * у2, … Хn * Yn, …. – суммой тех же последовательностей

Х1 \ у1, х2 \ у2, … Хn \ Yn, …. – частным тех же последовательностей ( конечно при опред-ии частного пос-тей необходимо требовать, чтобы все элементы последовательности у1, у2 …. Yn…. были отличны от нуля. Однако весьма часто возникает ситуация, когда у пос-ти {Yn} может обращаться в нуль только конечное число первых эл-тов и мы можем рассм-ть частное { Xn \Yn }, с того номера, начиная с которого все эт-ны {Yn} отличны от нуля )

в) Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ СВЕРХУ ( и соответственно ОГРАНИЧЕННОЙ СНИЗУ ), если существует вещественное число M ( и соответственно m ), обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn, нер-ва Xn ≤ M ( и соотв-но Xn ≥ m ). При этом число M ( соотв-но m ) назывется верхней гранью ( соот. Нижней гранью ) этой последовательности, а Ур-е Xn ≤ M ( и соотв-но Xn ≥ m ) называется условием ограниченности этой пос-ти сверху ( соотв. снизу ). Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ С ДВУХ СТОРОН или просто ОГРАНИЧЕННОЙ если она ограничена и сверху и снизу, т.е. существуют вещественные числа M и n, обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn, нер-ва m≤ Xn ≤ M стоящие в нер-вах числа M и n называются соотв-но нижней и верхней гранями пос-ти {Xn}, а нер-во m≤ Xn ≤ M – условием ее ограниченности.

Другое определение пос-ти:

-Последовательность {Xn} называется ОГРАНИЧЕННОЙ, если сущ. Положительное вещественное число А, обеспечивающее справедливость всех эл-тов Xn, нер-ва |Xn| ≤ A

-Последовательность {Xn} называется НЕОГРАНИЧЕННОЙ если для любого полож вещественного числа А, найдется хотя бы 1 эл-т Хn, удовол нер-ву |Xn| > A. C точки зрения этого опред. каждая пос-ть, ограниченная только сверху или только снизу является неограниченной.

-Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ, если для любого полож. вещественного числа А, найдется номер N обеспечивающее справедливость, нер-ва |Xn| > A

Для всех эл-тов Xn c номерами n, удоволетвл. условию n≥ N. Все бесконечно большие пос-ти являются неограниченными. Последовательность {Xn} называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ, если для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N, обеспечивающий справедливость, нер-ва | α n | < ε. Для всех этементов α n с номерами n, удвол. условию n≥ N.

Г) Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

Теорема 1: сумма { α η + β η } и разность {α η - β η }двух бесконечно малых последовательностей {α η } и {β η } являются бесконечно малыми последовательностями. Следствие из теоремы 1: Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2: произведение { Xη * α η } ограниченной последовательности {Xη } на бесконечно малую последовательность {α η } является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3: всякая бесконечно малая последовательность {α η } является ограниченной.

Следствие из теоремы 2 и 3: произведение двух ( а потому и любого конечного числа ) бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 4: если {yη } – бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера n определено от частного { 1/ yη }последовательностей 1, 1, 1 …. И y1, y2, y3 …, которое является бесконечно малой последовательностью.

Сходящиеся последовательности и их свойства

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что последовательность { Xη - α η } является бесконечно малой. При этом вещественное число а называется ПРЕДЕЛОМ последовательности {Xη }. В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом а=0.

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N, обеспеч-ий справедливость нер-ва: | Xη - a | < ε для всех эл-тов Xη с номером n удовлетворяющим условию n≥ N, при этом число а называется ПРЕДЕЛОМ пос-ти {Xη }.

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что в любой ε -окрест-и точки а лежат все эл-ты этой пос-ти Xη начиная с некоторого номера (зависящего, конечно от ε ).

-Если пос-ть {Xη } сходится и имеет своим пределом число а , то для ее эл-тов Xη справедливо следующее СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ : Xη =а +α η , в котором α η – эл-т некоторой бесконечно малой пос-ти.

ЗАМЕЧАНИЕ 1: из определения сходящейся пос-ти и ее предела вытекает, что удаление любого конечного числа эл-тов этой пос-ти не влияет на величину ее предела.

ЗАМЕЧАНИЕ 2: пос-ти не являющиеся сходящимися наз. РАСХОДЯЩИМИСЯ

ТЕОРЕМА 5: сходящаяся пос-ть имеет только 1 предел

ТЕОРЕМА 6: всякая сходящаяся пос-ть ограничена

ТЕОРЕМА 7 (об арифметических операциях над сходящимися пос-тями): сумма {Xη +Yη }, разность {Xη -Yη }, пр-е {Xη *Yη }, частное {Xη \Yη } двух сходящихся пос-тей {Xη } и {Yη } с пределами а и b соответсвенно являются сходящимися последовательностями, имеющие своими пределами а + b, а - b, а * b и а \ b соответсвенно (в случае частного надо отметить что предел b должен быть отличным от нуля и рассматривать его с номера, с кот-ого все Yη отличны от нуля).

ТЕОРЕМА 8 (о предельном переходе под знаком нер-ва): если пос-ть {Xη }сходится к некоторому пределу х и если все эл-ты Xη , по крайней мере начиная с некоторого номера Nо (это тип нуль, а не о), Хη ≥ а, ( соответсвенно Хη ≤ b ), то и предел х удоволетворяет неравенству Х≥ а, (соответсвенно Х≤ b).

СЛЕДСТВИЕ 1: если все эл-ты сход пос-ти {Xη } лежат на сегменте [a, b] то предел и х этой пос-ти лежит на сегменте [a, b].

СЛЕДСТВИЕ 2: если все эл-ты 2-ух сходящихся пос-тей { Xη } и {Yη }, по крайней мере начиная с некот-ого номера, удовол нер-ву Xη ≤ Yη , то и пределы х и у этих пос-тей удоволер нер-ву X≤ Y.

ТЕОРЕМА 10: если { Xη } и {Yη } – две сход-ся пос-ти, имеющие общий предел а, и если эл-ты третьей пос-ти {Zη }, по крайней мере начиная с некоторого номера No, удовол нер-вам Xη ≤ z ≤ Yη то и пос-ть {Zη }сходится к пределу а.

3. Монотонная последовательность, ее свойства. Понятие подпоследовательности и точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса

-Пос-ть {Хη }, наз. НЕУБЫВАЮЩЕЙ (сооотв невозраст ), если каждый э-т начиная со второго не меньше (соотв не больше) предыдущего эл-та, т.е. для всех номеров и справедливо нер-во Хη ≤ Хη +1 (имеется в виду η +1) соотв Хη ≥ Хη +1.

-Пос-ть {Хη } наз. МОНОТОННОЙ, если она является либо неубывающей, либо возрастающей.

Если эл-ты неуб-ей (соотв невозраст) пос-ти {Хη } для всех номеров η удовл. строгому нер-ву Хη < Хη +1 (соотв Хη > Хη +1), то эта пос-ть наз ВОЗРАСТАЮЩЕЙ (УБЫВАЮЩЕЙ). Монотонная пос-ть всегда ограничена с одной стороны.

ТЕОРЕМА 10: если пос-ть {Хη } не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она сходится к пределу х, явл-ся точной верхней (нижней) гранью, множества всех ее эл-тов Хη.

Все эл-ты Хη неубыв пос-ти и ограниченной сверху меньше или равны пределу х; невозраст и огранич с низу соотв больше, или равны пределу х.

Предел функции в точке по Гейне и по Коши. Эквивалентность определений. Примеры. Правый и левый пределы по Гейне и по Коши. Предел функции при х, стремящемся к бесконечности

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ: число b наз-ся пределом ф-ии у=f(x) в точке а (или при х→ а), если для любой послед-и значений аргумента х1, х2, х3, … Хn, …., сходящаяся к а и состоящая из чисел Хn, отличных от а, соответ. пос-ть значений ф-ии f(x1), f(x2), … f (Xn), сходящихся к числу b.

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО КОШИ: число b называется ПРИДЕЛОМ ФУНКЦИИ y=f(x), в точке а (или при х → а), если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0< |x-a|< δ, справедливо нер-во: | f(x) –b| < ε.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО (СООТВ ЛЕВОГО) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ: число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ (соотв. левым) ф-ии y=f(x), в точке a, если для любой посл-ти значений аргумента {Хη }, сходящейся к а и состоящей из чисел больших а (соотв. меньших а), соответствующая пос-ть значений { f(x) } сходится к числу b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО ( СООТВ ЛЕВОГО ) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО КОШИ: число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ (соотв. левым) ф-ии y=f(x), в точке a, если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента, удовлетв. условию а< x< δ +а (соответ а-δ < x< а) справедливо нер-о|f(x) –b| < ε.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→ оо ПО ГЕЙНЕ: число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→ оо, если для любой бесконечно большой посл-ти значений аргумента {Хη } соответствующая пос-ть значений ф-ии {f(x)} сходится к числу b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→ оо ПО КОШИ: число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→ оо, если для любого полож. числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента, удовлетв. условию |x|> δ, справедливо нер-во |f(x) –b| < ε.

Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Примеры. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции

-АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД Ф-МИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ: пусть заданы на одном и том же множ-ве {x} и имеют в точке а пределы, соотв. равные b и c. Тогда ф-ия f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x), f(x)\ g(x) имеют в точке а пределы b + c, b – c, b * c, b \ c (в частном b не равно 0 и g(x) не равно 0).

-Ф-я α (х) называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ в точке а, если предел в точке сущ-ет и он равен 0

Пример: α (х)=( х-а )ⁿ где n – любое целое полож.

-Ф-я α (х) называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ в точке а справа (соотв слева) Ф-Й, если для любой сходящейся к а пос-ти {Xn} значений аргумента, все эл-ты кот-ой больше а (соотв-о

меньше а) соответ пос-ть значений ф-ии {A(Xn)} является бесконечно большой пос-тью, все эл-ты которой начинаются с некоторого номера либо полож, либо отриц.

Необходимое и достаточное условие непрерывности не сегменте строго монотонной функции. Условие существования для функции строго монотонной и непрерывной обратной функции. Сложная функция и ее непрерывность

Первый замечательный предел

Теорема: предел ф-ии h(x)= sin x/x в точке х=0 существует и равен единице.

Второй замечательный предел

Теорема: предел ф-ии f(x)= ((1+x) все в степени 1/x) в точке х=0 существует и равен е.

Равномерная непрерывность.

Ф-я f(x) наз-ся равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого положительного числа ипсилон найдется отвечающее ему положительное число сигма, обеспечивающее справедливость неравенства │ f(x штрих) – f(x двойной штрих )│ < ипсилон. Для любых двух точек х(штрих) и х(двойной штрих) множества {x}, удовлетворяющих условию:

│ х(штрих)- х(двойной штрих)│ < сигма.

Теорема Кантора: если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.

Дифференцирование сложной и обратной функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных простейших элементарных функций

-Дифференцирование сложной и обратной ф-ий

Теорема: пусть ф-я х=фи(t) дифференцируема в точке t, а ф-я y=f(x) дифференцируема в соот-щей точке х=фи(t). Тогда сложная ф-я у=f[фи(t)] дифференцируема в указанной точке t, причем для ее производной в этой точке справедлива формула {f[фи(t)]} штрих = f штрих (x) фи штрих (t)=f штрих [фи (t)]фи штрих (t).

-Обратная ф-я. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта ф-я дифференцируема в указанной точке х, и ее производная в этой точке f штрих (x) отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-я х=f (в степени минус 1)(у), причем указанная обратная ф-я дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула {f(в степени -1)(y)}штрих= 1/f штрих(x).

- Дифф-е суммы, разности, произведения и частного ф-й

Теорема: если каждая из ф-й u (х) и v (x) дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих ф-й (частное при условии, что значение v(x)не равно 0) также дифференцируемы в этой точке.

1) (с)’=0

2) X’=1

3) (Sin x)’=Cos x

4) (Cos x)= -Sin x

5) (tg x)’= 1/cos x

6) (ctg x)’= -1/sin x

7) (u+-v)’=u’+v’

8) (eu)’=e*u’

9) (uv)’=u’v+v’u

10) (u/v)’= u’v-uv’/v в квадрате

Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры. Производная функции, заданной параметрически

-Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная f’(x) ф-ии y=f(x), определенной и дифференц-ой на интервале (a, b), представляет собой ф-ю, также определенную на интервале (a, b). Может случиться, что эта ф-я f’(x) сама явл-ся дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a, b), т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную наз-т второй производной (или производной второго порядка) ф-и y=f(x) в точке х и обозначают символом f(с индексом 2) (х) или у(с индексом 2) (х) (иногда используют символы f(двойной штрих)(х) или y(двойной штрих)(х).

-Заданная параметрически. Пусть х и у заданы как ф-ии некоторого параметра t: x=фи(t), у=₩ (t). Предположим, что ф-и(t) и =₩ (t) имеют нужное число производных по переменной t в рассмат-ой области изменения этой переменной. Кроме того, предположим, что ф-я: x=фи(t) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную ф-ю t=фи (в степени -1)(x). Последнее предположение дает нам возможность рассматривать у как ф-ю аргумента х.

Первое и второе достаточные условия экстремума. Примеры

1. Пусть точка С является точкой возможного экстремума f(х) и пусть f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С. Тогда, в пределах указанной окрестности, f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С отрицательна (положительна) справа от точки С, то f(х) имеет в точке локальный максимум (минимум). Если же f ’(x) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке нет.

2) Пусть f(х) имеет в данной точке С возможного экстремума конечную вторую производную. Тогда f(х) имеет в точке С локальный максимум, если f ”(C)< 0, и локальный минимум, если f ”(C)> 0.

Экстремум функции, не дифференцируемой в данной точке. Общая схема отыскания экстремумов. Примеры

Пусть функция f(х) дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки С, за исключением, быть может, самой точки С, и непрерывна в точке С. Тогда, если в пределах указанной окрестности f ’(х) положительна (отрицательна) слева от точки С и отрицательна (положительна) справа от точки С, f(х) имеет в точке С локальный максимум (локальный минимум). Если же f ’(х) имеет один и тот же знак слева и справа от точки С, то экстремума в точке С нет.