Сходящиеся последовательности и их свойства

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что последовательность { Xη - α η } является бесконечно малой. При этом вещественное число а называется ПРЕДЕЛОМ последовательности {Xη }. В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом а=0.

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что для любого положительного вещественного числа ε найдется номер N, обеспеч-ий справедливость нер-ва: | Xη - a | < ε для всех эл-тов Xη с номером n удовлетворяющим условию n≥ N, при этом число а называется ПРЕДЕЛОМ пос-ти {Xη }.

-Последовательность {Xη } называется СХОДЯЩЕЙСЯ, если существует такое вещественное число а, что в любой ε -окрест-и точки а лежат все эл-ты этой пос-ти Xη начиная с некоторого номера (зависящего, конечно от ε ).

-Если пос-ть {Xη } сходится и имеет своим пределом число а , то для ее эл-тов Xη справедливо следующее СПЕЦИАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ : Xη =а +α η , в котором α η – эл-т некоторой бесконечно малой пос-ти.

ЗАМЕЧАНИЕ 1: из определения сходящейся пос-ти и ее предела вытекает, что удаление любого конечного числа эл-тов этой пос-ти не влияет на величину ее предела.

ЗАМЕЧАНИЕ 2: пос-ти не являющиеся сходящимися наз. РАСХОДЯЩИМИСЯ

ТЕОРЕМА 5: сходящаяся пос-ть имеет только 1 предел

ТЕОРЕМА 6: всякая сходящаяся пос-ть ограничена

ТЕОРЕМА 7 (об арифметических операциях над сходящимися пос-тями): сумма {Xη +Yη }, разность {Xη -Yη }, пр-е {Xη *Yη }, частное {Xη \Yη } двух сходящихся пос-тей {Xη } и {Yη } с пределами а и b соответсвенно являются сходящимися последовательностями, имеющие своими пределами а + b, а - b, а * b и а \ b соответсвенно (в случае частного надо отметить что предел b должен быть отличным от нуля и рассматривать его с номера, с кот-ого все Yη отличны от нуля).

ТЕОРЕМА 8 (о предельном переходе под знаком нер-ва): если пос-ть {Xη }сходится к некоторому пределу х и если все эл-ты Xη , по крайней мере начиная с некоторого номера Nо (это тип нуль, а не о), Хη ≥ а, ( соответсвенно Хη ≤ b ), то и предел х удоволетворяет неравенству Х≥ а, (соответсвенно Х≤ b).

СЛЕДСТВИЕ 1: если все эл-ты сход пос-ти {Xη } лежат на сегменте [a, b] то предел и х этой пос-ти лежит на сегменте [a, b].

СЛЕДСТВИЕ 2: если все эл-ты 2-ух сходящихся пос-тей { Xη } и {Yη }, по крайней мере начиная с некот-ого номера, удовол нер-ву Xη ≤ Yη , то и пределы х и у этих пос-тей удоволер нер-ву X≤ Y.

ТЕОРЕМА 10: если { Xη } и {Yη } – две сход-ся пос-ти, имеющие общий предел а, и если эл-ты третьей пос-ти {Zη }, по крайней мере начиная с некоторого номера No, удовол нер-вам Xη ≤ z ≤ Yη то и пос-ть {Zη }сходится к пределу а.

3. Монотонная последовательность, ее свойства. Понятие подпоследовательности и точки. Теорема Больцано-Вейерштрасса

-Пос-ть {Хη }, наз. НЕУБЫВАЮЩЕЙ (сооотв невозраст ), если каждый э-т начиная со второго не меньше (соотв не больше) предыдущего эл-та, т.е. для всех номеров и справедливо нер-во Хη ≤ Хη +1 (имеется в виду η +1) соотв Хη ≥ Хη +1.

-Пос-ть {Хη } наз. МОНОТОННОЙ, если она является либо неубывающей, либо возрастающей.

Если эл-ты неуб-ей (соотв невозраст) пос-ти {Хη } для всех номеров η удовл. строгому нер-ву Хη < Хη +1 (соотв Хη > Хη +1), то эта пос-ть наз ВОЗРАСТАЮЩЕЙ (УБЫВАЮЩЕЙ). Монотонная пос-ть всегда ограничена с одной стороны.

ТЕОРЕМА 10: если пос-ть {Хη } не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу), то она сходится к пределу х, явл-ся точной верхней (нижней) гранью, множества всех ее эл-тов Хη.

Все эл-ты Хη неубыв пос-ти и ограниченной сверху меньше или равны пределу х; невозраст и огранич с низу соотв больше, или равны пределу х.

ПОДПОСПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Рассмотрим произв пос-ть х1, х2, х3 … Xn, … и произвольную возраст. пос-ть целых полож чисел k1, k2, k3 … Kn, … Выберем из пос-ти {Хη } эл-ты с номерами k1, k2, k3 … и расположим их в порядке возрастания указанных номеров. Мы получим при этом новую по-ть Хk1, Xk2, … Xkn…, которую и принято называть ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ.

ТЕОРЕМА 11: если подпоследовательность сводится к пределу а, то любая ее под-ть сводится к тому же приделу. Точка х бесконечной прямой (-оо, + оо ) наз ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКОЙ пос-ти {Хη }, если в любой ε -окрестности точки х лежит бесконечно много эл-тов этой пос-ти.

Точа х бесконечной прямой (-оо, + оо ) наз. ПРЕДЕЛЬНОЙ ТОЧКОЙ пос-ти {Хη }, если из этой пос-ти можно выделить пос-ть сходящуюся к пределу х.

ТЕОРЕМА 12: Всякая сходящаяся пос-ть имеет только 1 предельную точку, совпадающую с ее пределом.

ТЕОРЕМА 13 (ТЕОРЕМА БАЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА): любая ограниченная последовательность имеет хотя бы одну предельную точку, т.е. из любой ограниченной последовательности {Хη } можно выделить сходящуюся последовательность.

 

Фундаментальная последовательность, ее свойства. Критерий Коши сходимости последовательности

Пос-ть называется ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ, если для любого положительного числа ε найдется номер N, обеспечивающий справедливость нер-ва: | X n+p – Xn |< ε для всех номеров n, удоволетв. условию n≥ N, и всех натуральных чисел р.

СВОЙСТВО 1: любая фундаментальная пос-ть является ограниченной.

СВОЙСТВО 2: для любого числа ε > 0 каждый эл-т Хη фундаментальной пос-ти {Хη } с достаточно большим номером n содержит в своей ε -окрестности ( Хn-ε, Xn +ε ) все последующие эл-ты Xn+1, Xn+2, Xn+3 …. этой пос-ти.

ТЕОРЕМА 16 (КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОЙ ПОС-ТИ): для того чтобы последовательность {Хη } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Предел функции в точке по Гейне и по Коши. Эквивалентность определений. Примеры. Правый и левый пределы по Гейне и по Коши. Предел функции при х, стремящемся к бесконечности

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ: число b наз-ся пределом ф-ии у=f(x) в точке а (или при х→ а), если для любой послед-и значений аргумента х1, х2, х3, … Хn, …., сходящаяся к а и состоящая из чисел Хn, отличных от а, соответ. пос-ть значений ф-ии f(x1), f(x2), … f (Xn), сходящихся к числу b.

ПРЕДЕЛ Ф-ИИ ПО КОШИ: число b называется ПРИДЕЛОМ ФУНКЦИИ y=f(x), в точке а (или при х → а), если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента х, удовлетворяющих условию 0< |x-a|< δ, справедливо нер-во: | f(x) –b| < ε.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО (СООТВ ЛЕВОГО) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО ГЕЙНЕ: число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ (соотв. левым) ф-ии y=f(x), в точке a, если для любой посл-ти значений аргумента {Хη }, сходящейся к а и состоящей из чисел больших а (соотв. меньших а), соответствующая пос-ть значений { f(x) } сходится к числу b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРАВОГО ( СООТВ ЛЕВОГО ) ПРЕДЕЛА Ф-ИИ ПО КОШИ: число b называется ПРАВЫМ ПРЕДЕЛОМ (соотв. левым) ф-ии y=f(x), в точке a, если для любого положительного числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента, удовлетв. условию а< x< δ +а (соответ а-δ < x< а) справедливо нер-о|f(x) –b| < ε.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→ оо ПО ГЕЙНЕ: число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→ оо, если для любой бесконечно большой посл-ти значений аргумента {Хη } соответствующая пос-ть значений ф-ии {f(x)} сходится к числу b.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА Ф-ИИ х→ оо ПО КОШИ: число б называется ПРЕДЕЛОМ Ф-ИИ при х→ оо, если для любого полож. числа ε найдется отвечающее ему положительное число δ, такое, что для всех значений аргумента, удовлетв. условию |x|> δ, справедливо нер-во |f(x) –b| < ε.

Критерий Коши существования предела функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: будем говорить, что ф-ция y=f(x) удовлетворяет в точке а условию Коши, если для любого положительного числа ε найдется отвечающая ему положительное число δ, такое, что для любых двух значений аргумента х’ и x”, удволетв. условиям 0< | x’-a |< δ 0< | x’’ - a | < δ, справедливо нер-во |f(x’) – f(x’’) < ε.

КРИТЕРИЙ СУЩ-Я ПРЕДЕЛА ПО КОШИ: для того чтобы ф-я y=f(x) имела в точке а конечный предел, необходимо и достаточно чтобы ф-я y=f(x) удвол в точке а условию Коши.

 

Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Примеры. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой функции

-АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД Ф-МИ, ИМЕЮЩИМИ ПРЕДЕЛ: пусть заданы на одном и том же множ-ве {x} и имеют в точке а пределы, соотв. равные b и c. Тогда ф-ия f(x) + g(x), f(x) - g(x), f(x) * g(x), f(x)\ g(x) имеют в точке а пределы b + c, b – c, b * c, b \ c (в частном b не равно 0 и g(x) не равно 0).

-Ф-я α (х) называется БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ в точке а, если предел в точке сущ-ет и он равен 0

Пример: α (х)=( х-а )ⁿ где n – любое целое полож.

-Ф-я α (х) называется БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЙ в точке а справа (соотв слева) Ф-Й, если для любой сходящейся к а пос-ти {Xn} значений аргумента, все эл-ты кот-ой больше а (соотв-о

меньше а) соответ пос-ть значений ф-ии {A(Xn)} является бесконечно большой пос-тью, все эл-ты которой начинаются с некоторого номера либо полож, либо отриц.

 

⇐ Предыдущая123Следующая ⇒

Поделиться: