Функциональный аналог теоремы о двустороннем ограничении. Первый и второй замечательные пределы

Функциональный аналог теоремы о двустороннем ограничении.

Теорема. Если в некоторой проколотой сигма-окрестности точки а заданы три ф-ии f(x), h(x) и g(x), две из которых f(x) и h(x) имеют в точке а общий предел b, и если всюду в указанной проколотой сигма-окрестности точки а справедливы неравенства f(x)≤ h(x)≤ g(x), то и ф-я h(x) имеет в точке а предел, равный b.

Первый замечательный предел

Теорема: предел ф-ии h(x)= sin x/x в точке х=0 существует и равен единице.

Второй замечательный предел

Теорема: предел ф-ии f(x)= ((1+x) все в степени 1/x) в точке х=0 существует и равен е.

 

 

Классификация точек разрыва функции. Первая теорема Вейерштрасса

Классификация точек разрыва ф-ии:

1) Точка а наз-ся точкой устранимого разрыва ф-ии f(x), если предел этой ф-ии в точке а существует, но не равен ее частному значению f(a) в этой точке.

2) Точка а наз-ся точкой разрыва первого рода ф-ии f(x), если ф-я f(x) имеет в этой точке конечные, но не равные друг другу правый и левый пределы.

3) Точка а наз-ся точкой разрыва второго рода ф-ии f(x), если хотя бы один из двух односторонних пределов ф-ии f(x) в этой точке либо не существует, либо является бесконечным.

Первая теорема Вейерштрасса: если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она ограничена на этом сегменте.

Точная верхняя и точная нижняя грани функции на сегменте. Вторая теорема Вейерштрасса. Равномерная непрерывность, теорема Кантора

Точная верхняя и точная нижняя грани ф-ии на сегменте

Множество {f(x)} всех значений непрерывной на сегменте [a, b] ф-ии f(x) ограничено и сверху, и снизу. Поэтому у этого множества существуют точная верхняя грань М и точная нижняя грань м. Числа М и м принято называть соот-но точной верхней и точной нижней гранями ф-ии f(x) на сегменте [a, b] и обозначать символами M=sup(на сегменте a, b) f(x), m=inf(на сегменте [a, b]) f (x).

Теорема: если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то среди ее значений на этом сегменте имеются значения, равные ее точной верхней грани М и ее точной нижней грани м (т.е. на сегменте[a, b], существуют такие точки х1 и х2, что f(x1)=M, f(x2)=m).

Равномерная непрерывность.

Ф-я f(x) наз-ся равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого положительного числа ипсилон найдется отвечающее ему положительное число сигма, обеспечивающее справедливость неравенства │ f(x штрих) – f(x двойной штрих )│ < ипсилон. Для любых двух точек х(штрих) и х(двойной штрих) множества {x}, удовлетворяющих условию:

│ х(штрих)- х(двойной штрих)│ < сигма.

Теорема Кантора: если ф-я f(x) непрерывна на сегменте [a, b], то она и равномерно непрерывна на этом сегменте.

 

Приращение функции и приращение аргумента. Разностная форма условия непрерывности. Производная функция в точке. Физический и геометрический смыслы

Приращение ф-ии и приращение аргумента

Пусть ф-я y=f(x) определена на некотором интервале (a, b). Фиксируем любое значение х из указанного интервала и зададим аргументу в точке х произвольное приращение дельта х, такое, что значение х + дельта х также принадлежит интервалу (a, b). Приращением ф-ии y=f(x) в точке х, соответствующим приращению аргумента дельта х, назовем число дельта у=f(x+дельта x)-f(x).

Имеет место следующее утверждение – так называемая разностная форма условия непрерывности: ф-я y=f(x) непрерывна в точке х, если приращение дельта у этой ф-ии в точке х, соответ-ее приращению аргумента дельта х, явл-ся бесконечно малым при дельта х→ 0, т.е. если lim∆ y=lim[f(x+∆ x)-f(x)] =0 ∆ x→ 0 ∆ x→ 0. Производная ф-ии в точке

Производной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся пределом при ∆ х→ 0 разностного отношения (при условии, что этот предел существует).

F(штрих) (х)= lim ∆ y/∆ x=lim f(x+∆ x)-f(x)/∆ x ∆ x→ 0 ∆ x→ 0.

Физический и геометрический смысл Предположим, что ф-я y=f(x) описывает закон движения материальной точки по прямой линии (т.е. зависимость от х пути у, пройденного точкой от начала отсчета за время х). Тогда разностное отношение определяет среднюю скорость точки за промежуток времени от х до х+∆ х. В таком случае производная f(штрих)(x), т.е. предел разностного отношения при ∆ х→ 0, определяет мгновенную скорость точки в момент времени х. Итак, производная ф-ии, описывающей закон движения, определяет мгновенную скорость точки. Физические приложения понятия производной используются не только в механике, но и в других разделах физики.

Геометрический смысл. Если сущ-т предельное положение секущей MP при стремлении точки Р графика ф-ии к точке М(или, что то же самое, при стремлении ∆ х к нулю), то это предельное положение наз-ся касательной к графику ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке М этого графика.

 

17) Правая и левая производные в точке. Определение дифференцируемости. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости. Дифференцируемость и непрерывность. Дифференциал функции в точке, инвариантность его формы

-Правой (соот-но левой ) п роизводной ф-ии y=f(x) в данной фиксированной точке х наз-ся правый (соот-но левый) предел разностного отношения в точке ∆ х=0 (при условии, что этот предел существует).

-Ф-я y=f(x) наз-ся дифференцируемой в данной точке х, если приращение ∆ у этой ф-ии в точке х, соответ-ее приращению аргумента ∆ х, может быть представлено в виде ∆ у=А*∆ х+альфа*∆ х, где А- некоторое число, не зависящее от ∆ х, а альфа- ф-я аргумента ∆ х, являющееся бесконечно малой при ∆ х→ 0.

Теорема: для того чтобы ф-я y=f(x) являлась дифференцируемой в данной точке х, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Формула представления для дифференциала ф-ии y=f(x) dy= fштрих(x)dx явл-ся универсальным и остается справедливым не только в случае, когда аргумент х явл-ся независимой переменной, но и в случае, когда аргумент х сам явл-ся дифференцируемой ф-ей вида х=фи(t) некоторой незав-ой переменной t. Это свойство дифференциала ф-ии наз-ся инвариантностью его формы.

 

Дифференцирование сложной и обратной функций. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного двух функций. Таблица производных простейших элементарных функций

-Дифференцирование сложной и обратной ф-ий

Теорема: пусть ф-я х=фи(t) дифференцируема в точке t, а ф-я y=f(x) дифференцируема в соот-щей точке х=фи(t). Тогда сложная ф-я у=f[фи(t)] дифференцируема в указанной точке t, причем для ее производной в этой точке справедлива формула {f[фи(t)]} штрих = f штрих (x) фи штрих (t)=f штрих [фи (t)]фи штрих (t).

-Обратная ф-я. Пусть ф-я y=f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, эта ф-я дифференцируема в указанной точке х, и ее производная в этой точке f штрих (x) отлична от нуля. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-я х=f (в степени минус 1)(у), причем указанная обратная ф-я дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула {f(в степени -1)(y)}штрих= 1/f штрих(x).

- Дифф-е суммы, разности, произведения и частного ф-й

Теорема: если каждая из ф-й u (х) и v (x) дифференцируема в данной точке х, то сумма, разность, произведение и частное этих ф-й (частное при условии, что значение v(x)не равно 0) также дифференцируемы в этой точке.

1) (с)’=0

2) X’=1

3) (Sin x)’=Cos x

4) (Cos x)= -Sin x

5) (tg x)’= 1/cos x

6) (ctg x)’= -1/sin x

7) (u+-v)’=u’+v’

8) (eu)’=e*u’

9) (uv)’=u’v+v’u

10) (u/v)’= u’v-uv’/v в квадрате

 

Производные и дифференциалы высших порядков. Примеры. Производная функции, заданной параметрически

-Производные и дифференциалы высших порядков.

Производная f’(x) ф-ии y=f(x), определенной и дифференц-ой на интервале (a, b), представляет собой ф-ю, также определенную на интервале (a, b). Может случиться, что эта ф-я f’(x) сама явл-ся дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a, b), т.е. имеет в этой точке производную. Тогда указанную производную наз-т второй производной (или производной второго порядка) ф-и y=f(x) в точке х и обозначают символом f(с индексом 2) (х) или у(с индексом 2) (х) (иногда используют символы f(двойной штрих)(х) или y(двойной штрих)(х).

-Заданная параметрически. Пусть х и у заданы как ф-ии некоторого параметра t: x=фи(t), у=₩ (t). Предположим, что ф-и(t) и =₩ (t) имеют нужное число производных по переменной t в рассмат-ой области изменения этой переменной. Кроме того, предположим, что ф-я: x=фи(t) в окрестности рассматриваемой точки имеет обратную ф-ю t=фи (в степени -1)(x). Последнее предположение дает нам возможность рассматривать у как ф-ю аргумента х.

⇐ Предыдущая123

Поделиться: