Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Формах. Действия над комплексными числами, извлечение корня из
Комплексного числа. Формула Эйлера. Число z=x+iy, где x, y называется комплексным числом. Число i называется мнимой единицей, x-действительная часть, y-мнимая часть. Комплексное число z=x-iy называется сопряженным комплексному числу z. Модулем комплексного числа z=x+iy называется |z|= Представление комплексного числа с помощью формулы z=x+iy называется алгебраической формой комплексного числа. Тригонометрические и показательные формы комплексного числа. Обозначаются через угол , угол между осью OX и радиус вектором, изображающим число z. Множество углов вида обозначается argz. argz =
Представление комплексного числа формулой называется показательной формой комплексного числа. 1.Сложение 2.Вычитание 3. Умножение z1*z2 = r1*r2(cos( 1+ 2) + isin( 1+ 2) 4.Деление
- Формула Муавра (! ) - Формула Эйлера
Многочлены и их делимость. Теорема Безу. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена на множители. Критерий тождественности двух Многочленов. Многочлены. Многочлен (полином) относительно переменной z - это 2z4-5z3+2z=(z2-1)(2 z2-5z+2)+(-3z-2) Qm(z) Tk(z) Rc(z) Значит Pn(z) = Qm(z) Tk(z) + Rc(z) (*), где m< =n m+k=n, l< n; Если Rc(z) = 0, то Pn(z) делится на Qm(z). Назовем компл. число z1 корнем многочл. Pn(z), если Pn(z1). Теор. БЕЗУ: многочлен не нулевой степени Pn(z) делится на двучлен z-z1, тогда и только тогда, когда z1 является корнем Pn(z). Запишем (*) для Pn(z) и z-z1: Pn(z) = (z-z1)Tn-1(z)+ Rc(z) => z: =z1. Основная теорема алгебры(Гаусса): всякий многочлен Pn(z) не нулевой степени имеет по крайней мере 1 комплексный корень. Компл. число z1 наз. корнем кратности к1 многочл. Pn(z), если Pn(z) = (z-z1)к1Тn-k1(z) Следствие: Многочл. Pn(z) имеет n комлексных корней с учетом их кратности: Pn(z) = an(z-z1)к1(z-z2)к2… Пусть z1 – корень Pn(z) с действ. коэф-ми, тогда корень Pn(z) Pn( )= = =0 Комплексно-сопряж. корни входят в разложение многочлена парами. (z-z1)(z- )=z2+p1z+q1 Pn(x) – с действ. коэф. Pn(x)=an(x-x1)k1(x-x2)k2*…*(x-xl)kl(x2+p1x+q1)R1(x2+p2x+q2)R2*…*(x2+pmx+qm)Rm x1, x2, …, xn – действ. корни k1, k2, …, kn – их кратности P1, P2, …, Pn, q1, q2, …, qn – действ. числа k1+k2+…+kl+2R1+2R2+…+2Rm = n Два многочлена одинаковой степени тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях.
Рациональные дроби и их разложение на сумму простейших дробей. Методы нахождения коэффициентов разложения. Опр. , где Pn(z), Qm(z) – многочлены, наз. рациональной дробью. n> =m – дробь неправильная; n< m – правильная. Разложение правильной рац. дроби с комплексными коэф. на сумму простейших дробей. Если - правильная дробь, то , где z1, z2, …, zl – разл. компл. корни k1, k2, …, kl – их кратности то сущ. Такие компл. числа Aik, где i=1, 2, …, l; k=1, 2, …, ki, то тогда Разложение простой рац. дроби с действ. коэф. на сумму простейших дробей с действ. коэф. Пусть - правильная дробь, x1, x2, …, xl – разл. компл. корни k1, k2, …, kl – их кратности pi2-4qi< 0 для i=1…s R1, R2, …, Rs – кратности пар корней, тогда Метод неопределённых коэффициентов. Метод частных значений.
Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Понятие первообразной ф-ции и неопределенного интеграла. Пусть ф-ция f(x) определена на X. Ф-ция F(x) – первообразная для f(x) на X, если F’(x)=f(x) для любого x? X. F(x) – первообразная, F(x)+C – первообразная. для ; Совокупность всех первообразных F(x)+C для ф-ции f(x), определенное на X, называется неопределенным интегралом от ф-ции f(x) на X и обозначается ; Основные свойства неопределенного интеграла. 1). 2). 3). 4).
Замена переменной в неопределенном интеграле. Теорема: Пусть определена и диф-ма на X. U- множество значений ф-ции . Для f(U) существует F(U) на U. Тогда для g(x) на X сущ-т первообразная , т.е. Док-во: На практике:
Интегрирование по частям. Основные классы функций, интегрируемых по Частям. Т. Пусть функции U(x) и V(x) непрерывны на некотором промежутке X, дифферинциируемы в его внутренних точках и на Х существует , тогда На Х существует , причем = u(x)v(x)- , или ; Док-во: d(uv)=vdu+udv; Интегрирование рациональных функций. Интеграл от многочлена – легко и просто. Правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей. Типы дробей: 1) , 2) , 3) , 4) 1) 2) 3)
4)
- рекуррентная формула
Вывод: интеграл от любой рациональной ф-ции выражается элементарной ф-цией ln, arctg, степенная. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 422; Нарушение авторского права страницы