Интегралы по ориентированной фигуре от векторной функции и их свойства.

Интеграл по ориентированной фигуре от векторной ф-ции.

Векторная ф-ция 3х переменных x, y, z, определенной на фигуре Ф. Ф-ции P, Q, R называются координатами . Фигура Ф называется ориентированной, если в каждой ее точке М задан некоторый вектор , характеризующий эту фигуру. Диния называется ориентированной, если на ней выбрано направление перемещения.

Гладкая поверхность называется двусторонняя, если нормаль к ней при обходе по замкнутому контуру, лежащему на поверхности и не имеющему общих точек с ее границей, возвращается к своему первоначальному положению.

1). ; 2). ; 3). ; 4).

5). ; n-я интегральная сумма для векторной ф-ции a(M) по ориентированной с помощью вектора P (n) фигуре Ф.; 6). (*)

Если (*) существует, конечен и не зависит от способа построения интегральной суммы , то он называется интегралом по орентированной фигуре Ф от векторной ф-ции a (M).

 

 

P(x, y, z) Q(x, y, z) R(x, y, z) a =(P, Q, R)

Если ф-ции P, Q, R непрерывны на гладкой, ограниченной, содержащей граничные точки ориентированной фигуре Ф, то интеграл существует.

Частные случаи интегралов по ориентированной фигуре.

Свойства интеграла по фигуре от векторной ф-ции.

1). ; 2). , c=const

3). ; 4).

 

Криволинейный интеграл второго рода, его механический смысл, скалярная

Форма и вычисление.

Механический смысл КРИ-2:

(М) – вектор силы; L=AB; Работа силы по перемещению вдоль L. Если (М) – переменная сила, а AB – кривая, то: - настолько малы, что перемещение на кусочек по направлению совпадает с единичным касательным вектором. -произвольная точка. ( ) – постоянная сила. =( ( ), )=( ( ), )

!!! С механической точки зрения КРИ-2 представляет собой работу силы вдоль линии L.

Скалярная форма КРИ-2

Вычисление КРИ-2

,

Вывод: в общем случае КРИ-2 зависит от пути интегрирования.

Формула Грина.

Область наз. односвязной если в ней любой замкнутый контур может быть стянут в точку с помощью непрерывной деформации, при к-й не границы области не пересекаютя.

Область D наз. односвяз., если каков бы ни был замкн. контур l, лежащий внутри этой области, ограниченная этим контуром конечн. часть пл-ти целиком принадл. D.

Порстая область: замкн. пл-ть D (обл. вместе с её границами) – её можно разбить на конечное число как y- так и x- трапецивидных областей.

Например: круг, прямоугольник, кольцо.

Теор. Грина: пусть P(x, y), Q(x, y) и и непрерывны в простой области D тогда

где L – граница области D, к-я обходится в положительном направлении.

Док-во

Предположим D – односвяз. область, огр. L – полож. ориентир. Предположим, что оюл. D такова, что прямые параллельн. осям пересекают ее не более, чем в 2-х точках.

Для I₂ – аналогично.

Формула Грина имеет место для любой простой области.

Если контур обходится в обратном направлении, то перед двойным интегралом ставится «-».

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути. Интегрирование полных дифференциалов.

Условие независимости КРИ-2 от пути. Интегрирование полных дифференциалов.

Пусть ф-ции P(x, y), Q(x, y) и их частные производные dP/dy, dQ/dx непрерывны, замкнуты, ограничены односвязной областью Д, тогда следующие 4 условия эквивалентны:

1) , где L – любой замкнутый контур Д.

2) не зависит от пути AB.

3) Pdx+Qdy=dU, U – однозначная ф-ция, определенная в области Д. \

4) dP/dy=dQ/dx в области Д.

Доказательство:

где .

Т.к. у ф-ции U существуют непрерывные частные произодные, то она дифиренцируема.

 

Нахождение ф-ции по ее полному дифференциалу.

Первый способ:

U(x, y)-?; dU=Pdx+Qdy; Pdx+Qdy*dQ/dx=dP/dy

 

Второй способ: ;

{ ; };

не зависит от пути

Поверхностный интеграл второго рода, его физический смысл, скалярная

Форма и вычисление.

Физический смысл ПОВИ-2 – поток жидкости через пов-ть в единицу времени.

M (x, y, z) – вектор скорости жидкости. a (M) = P(x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R(x, y, z) k

1) ; 2)

3) ; 4)

5)

ПОВИ-2 есть поток жидкости (поток векторного поля a(M)) через ориентированную поверхность .

 

Скалярная форма ПОВИ-2. ; ПОВИ-1 для ;

ПОВИ-2 для P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) x, y, z-пректируемое

E, F(x, y, z)=0; x=x(y, z); y=y(x, z): z=z(x, y)

Замечания: если прямая, параллельная к-л из координатных осей пересекает поверхность более чем в одной точке, то пов-ть следует разбить на несколько пов-тей и воспользоваться свойством аддитивности ПОВИ-2.

- ПОВИ-2

 

Формула Астроградского. Пусть V-ограниченая область, граница которой состоит из конечного числа кусочно-гладких поверхностей. Пусть ф-ции P, Q, R и их частные производные dP/dx; dQ/dy; dR/dz непрерывны в замкнутой области V, тогда справедливо следуещее равенство:

ПОВИ-2 берется по внешней стороне пов-ти , ограниченной областью V.

Если пов-ть не замкнутая, но ее можно замкнуть простыми пов-ми, то дополнить, применить формулу Астроградского к замкнутой пов-ти, вычислить ПОВИ-2 по простым дополняющим пов-м и из интеграла по замкнутой пов-ти вычесть результат для дополнительных пов-тей.

 

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: