Замена переменной в определенном интеграле.

Теорема 1 (внесение множителя под знак дифференциала): Пусть u=j(x) непрер. дифференцируема на пром-ке с концами a и b; пусть f(u) непрер. на множ-ве значений u=j(x) Е(j).

Тогда f(j(x)) j¢ (х)dx= f(u)du

Док-во: если f(u) имеет первообр. F(u), то f(j(x)) j¢ (х) имеет первообр. F(j (x))

f(j(x)) j¢ (х)dx= F(j (x)) |^b_a= F(j (b)) - F(j (a)); f(u)du=F(u) |^j(b)_j(a)= F(j (b)) - F(j (a)) ч.т.д.

Теорема 2 (вынесение множителя из-под знака диф-ла): Пусть х=j(t) непрер. диф-ма на (a, b); j¢ (t)> 0 (=> возрастает) (j¢ (t)< 0); j(a)=a; j(b)=b; пусть f(x) непрер. на пром-ке с концами a и b, тогда

f(х)dх= f(j(t)) j¢ (t)dt

Док-во: g(t)=f(j(t)) j¢ (t); если g(t) имеет первообр. G(t) на (a, b), то f(x) имеет первообр. F(x)=G(j^-1(x)) (сущ-ние j^-1(x) гарантировано монотонностью: j^-1(x)> 0 (< 0)); f(j(t)) j¢ (t)dt= G(t) |^b_a=G(b) – G(a)

f(х)dх=G(j^-1(x)) |^b_a=G(j^-1(b)) - G(j^-1(a))= G(b) - G(a) ч.т.д.

Интегралы от четных, нечетных и периодических функций. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Интегралы от периодических, нечетных и четных ф-ций.

Теорема: Пусть f(x) интегр. на [-a, a], тогда если f(x) четная, то , если нечетная, то .

Если f(x) – непрерывная с периодом T, интегрируемая на некотором отрезке длины Т, то она интегрируема на любом отрезке длины Т.

Док-во:

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

- непр. диф-е ф-ции на

; ; ;

Вычисление площадей плоских фигур (в т.ч. площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде, и площади плоской фигуры в полярной системе координат).

Вычисление площадей плоских фигур.

1) В декартовой системе координат

f(x)-непрерывна

x=a, x=b; отр [a, b] оси оХ

 

 

2) В параметрическом виде.

; ;

разбиваем: ;

3) В полярной системе координат

; ; ; ;

; ;

Вычисление длины дуги с помощью определенного интеграла.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией, где.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как

Тогда длина дуги равна

Из геометрических соображений:

В то же время

Тогда можно показать, что

Т.е.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

где х = j(t) и у = y(t).

Если задана пространственная кривая, и х = j(t), у = y(t) и z = Z(t), то

Если кривая задана в полярных координатах, то

Несобственные интегралы первого рода, их свойства и вычисление.

Исследование на сходимость: признаки сравнения для интегралов от

Неотрицательных функций. Абсолютная и условная сходимость. Главное значение.

Определение НИ-1.

Пусть f(x) определена на и инт на ; , т.е.

Пусть

Если этот lim существует и конечен, то говорят, что НИ-1 сходится. Если не существует или бесконечен, то расходится.

;

Свойтсва НИ-1.

1) Аддитивность

Если сходится, то , ;

2) Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-1.

Формула Нбютона-Лейбница.

Если f(x) непрерывна на и F – какая-то первообразная для ф-ции f(x), то

Интегрирование по частям.

Если U, V – непрер. Диф-мы ф-ции на , то

Исследование на сходимость.

Т1: Пусть ф-ции f(x) и g(x) , тогда если и , то

сходится сходится

расходится пасходится

Предельный признак сравнения для НИ-1.

Т2: Пусть , ; , тогда если конечный , то и сходятся или расходятся одновременно.

При k=1 при

Т3: Если и сходится, то сходится.

Определение: называется абсолютно сходящимся, если сходится .

Если расходится, а сходится, от - неабсолютно (условно) сходящийся.

Главное значении.

Главным значением называется ; VP-Value principul

Если и сходится, то и

Несобственные интегралы второго рода

Определение НИ-2.

f(x) определена на [a, b); ; , т.е.

называется НИ-2 и обозначается Если этот Lim существует и конечен, то говорят, что сходится. Если он не сущ-т или бесконечен, то НИ-2 расходится.

Свойства НИ-2.

{Аналогично НИ-1. }

1) Аддитивность

Если сходится, то , ;

2) Линейность

Если сходится и сходится, то сходится и

Вычисление и преобразование НИ-2.

Формула Ньютона-Лейбница.

f(x) – непрерывна на [a.b); F(X) - некоторая первообразная.

Интегрирование по частям.

Если U(x) и V(x) непр. И диф-мы на [a, b), то

Исследование на сходимость.

{Аналогично НИ-1.}

Главное значении НИ-2.

f(x) определено на

Определение:

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: