Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения, правило умножения и правило сложения

При решении задач по формуле классической вероятности часто применяют формулы комбинаторики.

1. Перестановками называются комбинации составленные из одних и тех же элементов, которые отличаются только порядком их расположения. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле P_{n =} n!

2. Размещениями называются комбинации, составленные из n элементов по m, которые различаются либо составом элементов, либо порядком их следования. Число размещений из n элементов по n вычисляется по формуле

3. Сочетанием называется комбинации, состоящие из n элементов по m, которые различаются только составом элементов. Число сочетаний из n элементов по m вычисляется по формуле:

Свойство сочетаний.

1. C_n⁰=1, 0! =1

2. C_n¹= n,

 

Действия над событиями. Соотношения между событиями

Дадим определения действиям над событиями:

1. Если при появлении события А происходит и событие B, то говорят, что событие А влечет за собой событие В и обозначают А B.

2. Если А B, и В А, то говорят, что события А и В равновозможны и обозначают А=В.

3. Событие, состоящее в том, что появится, хотя бы одно из событий А или В называют суммой событий. А+В

4. Событие, состоящее в том, что события А и В появятся одновременно называют произведением событий А

5.Событие, состоящее в том, что А произойдет, а В не произойдет называется разностью А-В.

6.Событие, состоящее в том, что А произойдет, а не произойдет называется противоположным.

7.Событие называется достоверным, если оно с необходимостью (точно) происходит и обозначается Ω (омега).

8.Событие называется невозможным, если оно с необходимостью не происходит и обозначается Ø.

9.События А и называются противоположными, если их одновременное появление невозможно и в сумме они дают пространство элементарных событий. А * = Ø. А + =Ω.

10. События А и В называются несовместными если их одновременное появление невозможно. А * В= Ø.

11. События В₁, ..., В_n образуют полную группу, если любые 2 из них одновременно появится не могут и в сумме они дают пространство элементарных событий.

В_i * B_j= Ø, i j.

B₁+… B_n=Ω.

 

 

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Теорема. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Доказательство. Докажем эту теорему для случая суммы двух несовместных событий и .

Пусть событию и благоприятствуют m1 элементарных исходов, а событию A2 – m2 исходов. Так как события A1 и A2 по условию теоремы несовместны, то событию A1+A2 благоприятствуют m1+m2 элементарных исходов из общего числа n исходов. Следовательно,

где — вероятность события A1; — вероятность события A2.

 

 

Теорема сложения вероятностей совместных событий.

если два события А и В - несовместные, то А + В - событие, состоящее в появлении одного из этих событии, безразлично какого.

Теорема сложения вероятностей Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления.

Р(А)+Р(В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)

 

Частота события и ее свойства. Статистическое определение вероятности.

Стат вероятностью события А наз-ся относительная частота появления этого события в n произведённых испытаниях P(A)=w(A)=m\n, где P(A) -стат вер соб А; w(A) – относительная частота соб А; m – число испытаний в кот появилось соб А; n – общее число испытаний.

Стат-ое определение вер-ти применимо к тем событиям с неопределённым исходом, кот обладают свойствами:

1) Расм-ые события д\б исходами только тех испытаний, кот м\б воспроизведены неограниченное число раз при одном и том же комплексе условий. (появление войн, иск шедевров – бессмысленно)

2) События должны обладать стат-й устойчивостью, те в различных сериях испытаний относит частота события изменяется незначительно, колеблясь ок постоянного числа.

3) Число испытаний, в рез-те кот появл соб А д\б достаточно велико, тк только в этом случае можно считать вер соб А приближённо равной её частоте.

Свойства вер, вытекающие из классического определения сохраняются и при статистическом опр-ии вер-ти: 1) Вер-ть любого соб заключена между 0 и 1, 0≤ P(A)≤ 1 2) Вер-ть достоверного соб =1; 3) Вер-ть невозможного соб =0.

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: