Теоремы Чебышева и Бернулли. Центральная предельная теорема

Если X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых случайных величин, имеющих конечные дисперсии, ограниченные одним и тем же числом С, то для любого С> 0 выполняется

Доказательство.Введем в рассмотрение случайную величину – среднее арифметическое случайных величин

Найдем матожидание

И дисперсию

Следовательно – дисперсия конечная. Тогда к применим неравенство Чебышева

Переходя к пределу получим

А так как вероятность не может быть больше 1, то предел равен 1.

Следствием теоремы Чебышева является теорема Бернулли.

Пусть - число появления события А в n испытаниях в схеме Бернулли, и p – вероятность появления А в одном испытании. Тогда для любого справедливо -частота появления события.

Пусть , где - число появления события А в i-ом испытании.

Дисперсия любой величины равна произведению pq, так как p+q=1, то p*q не превышает ¼, и следовательно дисперсии всех величин ограничены числом c=1/4

Применим теорему Чебышева

так как матожидание равно вероятности наступления события.

Так как равна относительной частоте появления события А (m/n)(каждая величина _{1, 2}, _n при появлении события в соответствующем испытании равна 1 и поэтому их суму равна m), то окончательно получим .

Пусть - последовательность независимых случайных величин. Обозначим через их сумму.

x	X1	X2	…	Xn
n	N1	N2	…	Nn

Говорят, что к последовательности применима центральная предельная теорема, если

По определению F(x)=P(

Суть ЦТП Если число случайных величин неограниченно растет, то их сумма стремится к нормальному распределению независимо от того как распределены слагаемые.

В природе все имеет нормальное распределение.

Частным случаем ЦПТ является интегральная теорема Муавра-Лапласса. Если в ней подставить , а вместо b=x, то

Цепи Маркова. Применение Марковских цепей в экономике

Теорема. Если сл\в Х примет только неотриц знач и имеет мат\ожидание, то для любого положительного числа А верно неравенство: . Доказательство для дискретной сл\в Х: Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений будет не больше числаА, а др часть будут больше А, т.е

Запишем выражение для м\о M(X): , где

- вер-ти т\ч сл\в Х примет значения . Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: . Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом, получим неравенство: или . Сумма вер-тей в левой части представляет сумму вер-ей событий , т.е вер-ть соб Х> А. Поэтому . Т.к события и противоположные, то заменяя выражением , придём к др форме неравенства Маркова: . Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.

 

Выборочный метод. Основные понятия. Полигон и распределения. Эмпирическая функция распределения.

Выборка Пусть изучается некоторые количественный признак Х (напр., рост стоимости товаров) и пусть для его изучения имеется некоторая совокупность объектов. Иногда исследуются все объекты совокупности, иногда только их часть.

Совокупность объектов, взятых для исследования, называется выборочной или выборкой. Совокупность объектов, из которых взята выборка, называется генеральной. Число объектов совокупности называется объемом.

Чтобы выборка хорошо отражала генеральную совокупность, она должна быть случайной.

Пусть имеется выборка и в ней

Возможные значения x_i – варианты, n_i – их частоты.

n_i/n =w_i– относительные частоты.

Перечень вариантов, записанных в возрастающем порядке и соответствующим их частот, называется статистическим распределением выборки или вариационным рядом.

1. Выборочным средним называется среднее арифметическое значение выборки

2. Выборочная дисперсия D_B=

3. Выборочным средним отклонением

4. Размах варьирования R=x_max-x_min

D, R, - характеристики рассеяния (разброса).

5. Модой называется варианта, которая имеет наибольшую частоту.

6. Медианой называют варианту, которая делит вариационный ряд на 2 части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно, то m_e=x_k+1; при четном m_e=(x_k+x_k+1)/2.

Для нормального распределения мода и медиана совпадают.

7. Начальным моментом порядка k называется среднее арифметическое вариант, в степени k.

8. Центральным эмпирическим моментом порядка k называется среднее отклонение в степени k

M₁=0; M₂=D_B

9. Асимметрией называется

Для нормального распределения равна 0.

10. Эксцессом называется

Для нормального распределения равна 0.

Эксцесс показывает островершинность кривой по сравнению с нормальным распределением.

Эмпирическая функция распределения. Также как и в теории вероятности для описания изучаемого признака вводится функция распределения. Пусть Х – изучаемый признак, .

Эмпирической функцией распределения называется функция, определяющая для каждого значения x относительную частоту события x< X

n_x-число вариант меньших x

n- объем выборки

n_x /n – относительная частота события

В отличие от эмпирической функции распределения выборки функцию распределения F(x) генеральной совокупности называют теоретической ф-ей распределения.

Свойства:

1. для любого x функция распределения 0

2. F(x) –неубывающая функция.

Если a=min{x_i}, то для каждого x< =a F_n(x)=0

Если b=min{x_i}, то для каждого x> b F_n(x)=1

На основе закона больших чисел можно показать, что при эмпирическая функция распределения стремится по вероятности к теоретической.

Следовательно эмпирическая функция распределения служит для оценки вида теоретической ф-и распределения.

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁); (x₂, n₂); …; (x_k, n_k)

Для изучения непрерывного признака строятся гистограмма. Для этого интервал (a; b) делится на несколько частичных интервалов одинаковой длины h.

Затем подсчитываем число вариантов попавших в каждый интервал.

Гистограмма – фигура состоящая из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы h, а высоты n_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы – n.

Аналогично строится гистограмма относительных частот. При этом вдоль оси y откладывается w_i/h.

Тогда площадь i-го прямоугольника равна

А площадь всей гистограммы –

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: