Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления хотя бы 1 события

Часто интересует вероятность появления события А, после того, как некоторое событие В произошло. Такую вероятность называют условной и обозначают P(A/B).

Опред 1 У словной вероятностью события А при условии, что событие В уже произошло называется

P(A/B)= , P(B)> 0

Аналогично, условной вероятностью события B при условии, что событие A уже произошло называется

P(B/A)= , P(A)> 0

Из формул следует теорема умножения: P(AB)= =

Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из событий на условную вероятность второго, при условии, что первое уже произошло.

Распространим теорему умножения на конечное число событий

P(A₁A₂A_k)=P(A₁)P(A₂/A₁)*…*P(A_k/A₁A_2,,, A_k-1)

Опред 2 События А и В называются независимыми, если вероятность произведения равна произведению вероятности этих событий.

P(AB)=P(A)P(B)

Для независимых событий условные и безусловные вероятности совпадают. P(A/B)=P(A)

Для конечного числа независимых событий вероятность произведения равна произведению вероятностей. P(A₁A₂…A_k)=P(A₁)P(A₂)…P(A_K)

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из событий А1, А2, ..., Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р (A) = 1 — q1q2... qn.

Доказательство

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А1, А2, ..., Аn имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ.

Формула полной вероятности. Формулы Байеса

Пусть событие А может произойти только с одним из n несовместных событий H₁…H_n, образующих полную группу, т.е. Н_i * Н_j= Ø, i j, Н₁+… +Н_n=Ω.

События А*H_i и A*H_j являются несовместными.

Применяя теорему умножения к каждому слагаемому получим формулу полной вероятности.

События H₁, H₂, …, H_n часто называют гипотезами.

Иногда интересует как перераспределяется вероятность гипотез, после того как событие А произошло

По теореме умножения вероятность произведения этих двух событий равна

Подставляя в знаменатель формулу полной вероятности получим формулу Байеса:

 

Повторные независимые испытания. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число появления события

Пусть производится последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможно только 2 исхода. Событие А или появится или не появится. Обозначим вероятность появления события А – p, не появления – q.

Под элементарным событием в схеме Бернулли принимается последовательность наступления или ненаступления события А в n испытаниях

А={1}, ={0}. Тогда элементарный исход имеет вид (1, 0, …, 1)

Найдем вероятность того, что в n испытаниях событие появится ровно m раз.

Для произвольных m и n вероятность одного элементарного исхода равна p^mq^n-m . Число таких элементарных исходов равно числу способов разместить m единиц по n местам, а это по определению число сочетаний m элементов по n. Получим формулу Бернулли

Часто интересует появление события А не ровно m раз, а от k₁ до k_2.

 

Повторные независимые испытания. Формула Пуассона

При больших n применение формулы Бернулли затруднительно из-за сложности вычисления факториалов. В этом случае используются приближенные формулы для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие появится m раз.

Рассмотрим 2 случая:

P – конечно

2. P― ›0 или P― ›1

Теорема Пуассона. Если в схеме Бернулли a , так что np = a (т.е. конечно), то (a< =10).

Замечания.

1. a = np – среднее число появления события a в n испытаниях.

2. a< =10.

 

Повторные независимые испытания. Локальная и интегральная теорема Лапласа

Локальная предельная теорема Муавра-Лапласса. Если m , а p – конечное число из интервала (0, 1), то для каждого c> 0 и < c, где справедливо , где

- плотность нормального распределения.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласса. Если n , a p – конечное число из интервала (0, 1), то равномерно по всем a и b справедливо

Замечания.

1. Функция Муавра-Лапласса нечетная, поэтому = -

2. Функция асимптотическая при z она быстро стремиться к 0.5.

(при z 5).

 

 

⇐ Предыдущая12345Следующая ⇒

Поделиться: