Момент импульса и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений просматрива­ется аналогия между ними, только во вра­щательном движении вместо силы «вы­ступает» ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом импульса тела? Ею является момент импульса тела относительно оси.

Моментом импульса (количества дви­жения) материальной точки А относитель­но неподвижной точки О называется физи­ческая величина, определяемая векторным произведением:

L = [ rp | = [ r m v ],

где r — радиус-вектор, проведенный из точки О в точку A; p = m v — импульс ма­териальной точки (рис.28); L —псевдо­вектор, его направление совпадает с на­правлением поступательного движения правого винта при его вращении от r к p. Модуль вектора момента импульса

L = rpsinalfa=mvrsinalfa=pl,

где a — угол между векторами r и p, l — плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относительно не­подвижной оси z называется скалярная величина L_z, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О дан­ной оси. Значение момента импульса L_z не зависит от положения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого те­ла вокруг неподвижной оси z каждая от­дельная точка тела движется по окружно­сти постоянного радиуса r_i с некоторой

скоростью v_i. скорость v_i; и импульс m_iv_i

перпендикулярны этому радиусу, т. е. ра­диус является плечом вектора m_i v _i. Поэто­му можем записать, что момент импульса отдельной частицы

L_iz = т_iv_ir_i (19.1)

и направлен по оси в сторону, определяе­мую правилом правого винта.

Момент импульса твердого тела отно­сительно оси есть сумма моментов импуль­са отдельных частиц:

Используя формулу (17.1) v_i = wr_i, получим

т. е.

L_z = J_zw. (19.2)

Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведе­нию момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость.

Продифференцируем уравнение (19.2) по времени:

т. е.

dL_z/dt= M_z

Это выражение — еще одна форма урав­нения (закона) динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси.

Можно показать, что имеет место век­торное равенство

d L /dt= М. (19.3)

В замкнутой системе момент внешних сил М =0 и d L /dt=0, откуда

L = const. (19.4)

Выражение (19.4) представляет собой закон сохранения момента импульса: мо­мент импульса замкнутой системы сохра­няется, т. е. не изменяется с течением времени.

Закон сохранения момента импуль­са — фундаментальный закон природы, Он связан со свойством симметрии про­странства — его изотропностью, т. е. с ин-

вариантностью физических законов отно­сительно выбора направления осей коор­динат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в простран­стве на любой угол).

Продемонстрировать закон сохране­ния момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского. Пусть человек, сидя­щий на скамье, которая без трения враща­ется вокруг вертикальной оси, и держа­щий в вытянутых руках гантели (рис. 29), приведен во вращение с угловой скоро­стью w₁. Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы умень­шится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы со­храняется и угловая скорость вращения w₂ возрастает. Аналогично, гимнаст во время прыжка через голову поджимает к тулови­щу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

. Вращением твер­дого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором все его точки, лежащие на некоторой прямой, называемой осью вращения, все время остаются неподвижными.

 

момент инерции сплошного цилиндра

но так как pR²h — объем цилиндра, то его масса m=pR²hr, а момент инерции

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции Jc относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями:

Основной закон динамики материальной точки при вращательном движении можно сформулировать следующим образом:

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: