Четырехмерные векторы и тензоры в псевдоевклидовом пространстве

 

2. Многомерный вектор

Квадрат радиус-вектора определяется как

 

x₁² + x₂² + … + x_n² = S x_i² (1)

Если ввести тензор вида

g_ij = d_ik = - метрический тензор. (2)

 

то(1) записываем в виде

для i, k =1, n

S g_ik x_i x_k (3)

В специальной теории относительности и электродинамике уравнения приобретают простой вид, если их представить в виде соотношений между векторами и тензорами в четырехмерном пространстве, метрика которого определяется тензором

 

 

Лекция №8

 

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

Индексы пробегают значения μ, ν = 0, 1, 2, 3

Индексы латинские ijk – латинские для векторов в обычном з-х мерном пространстве(в пространстве с эвклидовой метрикой)

(x_o, x_1, x₂, x₃) – 4-прстранство

Обозначения

x_o = ct; x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z

действие матричного оператора на вектор- в результате вектор

- вектор четырехмерного пространства

Выражение для результирующего вектора имеет вид

r = ct – x – y – z

алгебраическая запись действия матричного оператора

x= ^/ = ct^/ - x₁^/ - x₂^/ - x₃^/

Любой вектор можно преобразовать, записывая матрицу преобразования.

Определение квадрата радиуса-вектора в 4- пространстве

- инвариант

- матрица прямого преобразования(обратное-матрица с чертой)

- прямое преобразование (8)

- обратное преобразование

Используя свойство инвариантности квадрата 4-радиус-вектора (интервала) запишем

подставим из(8)

(11)

 

(12)

после преобразований получим условие для линейного преобразования

(13)

Учитывая, что в отличны от нуля только диагональные члены

(13) препишем в упрощенной форме

m, n= 0, 1, 2, 3 (14)

 

например при m, n= 0, 1- при m, n= 0, 2-при m=1, n=2

 

(15)

(16)

1, 2 – следствия из условия неинвариантности

Связь между прямым и обратным преобразованием:

; -прямое преобразование (17)

-обратное преобразование

 

где =1 коэффициент - символ Кронекера - единичная матрица

 

(18)

 

Компоненту можно представить в виде

 

Тогда можно записать

m, n= 0, 1, 2, 3 (20)

 

Система справедлива(удовлетворяется) если положить

1)

2) (21)

3)

4)

i, k = 1, 2, 3,

например, при m=n= 0 уравнение(20) выглядит в виде

(22)

 

С учетом (21)

a₀₀a₀₀ -∑ ₁³ a_i0a_i0 =1 (23)

 

что аналогично (15)

При m=1, n= 2

 

∑ ₁³ a_1ρ a_{ρ 2} =0 (24)

 

Откуда с учетом (21)

-a₁₀a₀₂ +∑ ₁³ a_i1a_i2 =0 - что похоже на (16)

 

Условие (21) можно записать в виде

При m=0, n= 0

a'₀₀ = a₀₀ (g₀₀ =g₀₀=1)

При m=0, n= i ≠ 0 как и при m=i≠ 0, n= 0

будет выполняться

g_{μ μ} =-g_{ν ν} , т.е. -1

Поэтому

a'_0i = -a_i0

и

a'_i0 = -a_0i

 

А при m = i ≠ 0, n= k ≠ 0

 

Оба множителя равны -1

g_{μ μ} =g_{ν ν} = -1

 

так, что

a'_ik = a_ki

 

(что в (21))

В теории относительности рассматриваются преобразования, когда координаты x₂=y, x₃ =z остаются неизменными(выбор координат специально по движению вдоль оси x, когда переменными остаются время t и x)

Очевидно, что матрица преобразования, имеет вид

 

Обратное преобразование имеет вид, аналогичный

В системах отсчета K и K' матрицы отличаются на некий параметр р(например, поворот или относительная скорость V). В пределе при p-> 0 матрицы совпадут

lim_{p-> 0} a₀₀ =lim _{p-> 0}a₁₁ =1

lim_{p-> 0} a₀₁ =lim _{p-> 0}a₁₀ =0

Записав(14) для m=0, n= 0

a²₀₀ - a²₁₀ =1 (28)

Для обратного преобразования

a'²₀₀ - a'²₁₀ =1

С учетом взаимосвязи прямого и обратного преобразования(21)

a²₀₀ - a²₀₁ =1 (30)

 

Из (28) и (30) следует

 

a²_{10 =} a²₀₁

 

и извлекая корень

a_{10 =} _+ a₀₁

 

Теперь(14) при m=0, n= 1 получим

 

a₀₀ a₀₁ - a₁₀ a₁₁ =0,

 

откуда при

a_{10 =} a₀₁

1. a₀₀ = a₁₁

2. a₀₀ = -a₁₁, если a₀₁ = a₁₀

a₀₀ = a₁₁

a_{10 =} - a₀₁

 

Учитывая, что справедливы соотношения

 

lim_{p-> 0} a₀₀ =lim _{p-> 0}a₁₁ =1

 

то справедлив первый вариант. Тогда следует считать

a₀₀ = a₁₁=γ ₀

a₀₁ = a₁₀=γ ₁

 

_{Тогда (26) перепишем в виде}

 

Отсюда следует:

 

 

,

причем

 

 

Поскольку

,

только один коэффициент является независимым.

Коэффициенты обратного преобразования связаны соотношениями(21)

 

a'₀₀ = a₀₀=γ ₀

a'₀₁ = -a₁₀=γ ₁

 

 

То есть координата x меняются; y, z – const

Тогда матрица обратного преобразования может быть представлена в виде

 

 

Таким образом, рассмотрены основные свойства преобразований 4-вектров, которые используются при формировании математического аппарата преобразований основных показателей(уравнений движения) для движущихся систем-преобразования Лоренца

Преобразования Лоренца

Интервал инвариантен при геометрических преобразованиях в 4-пространстве, т.е. подобен модулю вектора в евклидовом пространстве

 

x_o = ct; x₁ = x; x₂ = y; x₃ = z

 

Квадрат интервала

 

ds² = c²d t² – dx² – dy² – dz² = c²d t² - dl²

 

dl² = dx² + dy² + dz² – inv (инвариантв евклидовом пространстве) – модуль разности векторов точек.

x_o; x₁; x₂; x₃ –координаты –компоненты 4-радиуса-вектора мировой точки.

пространство, где события изображаются мировой точкой с такими координатами, обладает псевдоевклидовой метрикой, определяемой тензором

 

Пространство, свойства которого определяются тензором(4) называется псевдоэвклидовым

 

- метрика «псевдоевклидового» пространства (4)

 

Преобразование компонент 4-радиус-вектора осуществляется по формуле

где матрица преобразования

,

причем

 

Поскольку , только один коэффициент является независимым.

Рассмотрим системы отсчета обеих К и К' систем отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью v.

Преобразование нулевого вектора

Для преобразованных величин получаем

 

или

для нулевой координаты x' =0, x=vt:

из получаем, что

; ; ;

 

- коэффициент преобразования Лоренца

;

;

Подстановка в формулу преобразования координат 4-вектора дает

; ; где

Формулы обратного преобразования получаются аналогично с учетом, того что перед коэффициентом стоит знак плюс.

 

Переходя к обычным обозначениям для прямого преобразования

;

; y^/ = y; z^/ = z;

Обратные преобразования реальных координат

; ;

Преобразования Лоренца оставляют интервал инвариантным(проверить!!! ) Сокращение размеров и вариация объема

;

Все эти преобразования осуществляются при изменении одной координаты х.

Преобразование скорости

дифференцируя формулу прямогопреобразования

;

- преобразование скоростей

;

Обратные преобразования получаются аналогично

Геометрический смысл преобразования Лоренца

Это линейное преобразование напоминает преобразование поворота в трехмерном евклидовом пространстве. Это преобразование, характеризующее поворот плоскости xy на угол φ в обычном пространстве выглядит в виде

При таком, сравнении получим, что

Очевидно не существует действительного угла , который удовлетворял бы этим соотношениям. Однако, как легко видеть, существует чисто мнимый угол , для которого приведенные соотношения будут выполняться. Действительно,

Поэтому, как следствие вышеприведенных соотношений, получаем формулы

Данные соотношения разрешимы, так как, согласно им,

Как видим, значение мнимого угла , определяется значением отношения скоростей . Введем теперь действительную временную координату , для которой , или

Тогда формулы преобразования Лоренца примут вид

Это формулы так называемого гиперболического поворота

 

Преобразование динамики (уравнения Ньютона) для четырехмерного пространства:

; i = 1, 2, 3 – для евклидового пространства

В случае релятивистской механики уравнения движения записываются для вектора скорости, полученного после преобразований с учетом инвариантности

Четырехмерное обобщение имеет вид

где m = 0, 1, 2, 3 – релятивистская динамика

Здесь время является собственным временем наблюдателя. Масса-инвариантная величина, характеризующая инертные свойства частицы. Аналог силы-сила Минковского должна быть определена т.о., чтобы при малых скоростях она переходила в обычное уравнение движения.

В нерелятивистской механике dl, dt являются inv поэтому v=dr/dt – скорость, а ускорение a=dv/dt

Релятивистские dl и dt ≠ inv

inv является интервал ds, связанный с dl и dt. При этом

ds² = c² dt²-dl²

Основная задача найти 4-х мерные аналоги 3-вектора –четырехмерную скорость частицы v и ускорение a.

Родственное dt - собственное время dτ =ds/c→ inv

 

; -свойства 4-вектора для четырехмерной скорости частицы

Для ускорения имеем формулу

Нулевая компонента скорости

;

Остальные компоненты скорости

Векторная запись имеет вид

При скоростях много меньших скорости света получаем обычную скорость.

закон Ньютона для нулевой компоненты запишем

 

Для остальных компонент

, где i = 1, 2, 3 – сила Минковского

Сила Минковского связана с Ньютоновской силой соотношением

Иначе закон движения можно записать

Для квадрата 4-вектора справедливо соотношение

где

Для определения временной компоненты силы Минковского умножим уравнение движения на скорость.

Домножая уравнение движения на вектор скорости

Просуммируем

, то есть вектор скорости перпендикулярен направлению. Здесь учтено

,

Подставляем выражение для скорости и силы Минковского и, расписывая сумму, получим

Откуда

Тогда вектор силы Минковского будет представлен компонентами

Скалярное произведение силы на скорость- есть работа совершенная частицей в единицу времени, равная изменению энергии частицы

Интегрируя данное уравнение, получим

, где const = 0;

Константу определил Эйнштейн и экспериментально подтвердил

Для снеподвижного тела справедливо выражение для энергии

E=mc² – уравнение Эйнштейна.

Это уравнение выражает энергию покоя частицы.

∆ m = ∆ E/c²

Покоящийся электрон и позитрон испускают два γ -кванта с суммарной энергией равной сумме энергий покоя электрона и позитрона.

Импульс и энергия частицы

Представление4- импульса:

;

Подставим выражение для скорости

; ;

Сопоставим выражения для энергии и для нулевой компоненты импульса и можем записать

;

Тогда компонентное предсталение 4-вектора импульса будет иметь вид

Если определить квадрат импульса, то

С другой стороны,

 

 

Откуда

Здесь квадрат 4-импульса как и квадрат любого вектора является инвариантом

Разность между полной энергией и энергией покоя равна кинетической энергии частицы

 

при малых разложение в ряд Тейлора

Тогда приближенное выражение для кинетической энергии запишем

Что совпадает с классической теорией без релятивизма

Полная энергия выражается через импульс функцией Гамильтона

Гамильтониан для свободной частицы

H=√ E² = E=c√ (p² + m²c²)

Для частицы во внешнем поле гамильтониан имеет вид

H=c√ (p² + m²c²) + U

где U – потенциальная энергия частицы в поле

Зависимость массы тела от скорости

Зависимость свойств пространства и времени от движения системы отсчета приводит к тому, что сохраняющейся при любых взаимодействиях тел является величина

,

называемая релятивистским импульсом, а не классический импульс.

Классический закон сложения скоростей и классический закон сохранения импульса являются частными случаями универсальных релятивистских законов и выполняются только при значениях скоростей, значительно меньших скорости света в вакууме.

Релятивистский импульс тела можно рассматривать как произведение релятивистской массы т тела на скорость его движения. Релятивистская масса т тела возрастает с увеличением скорости по закону

,

где — масса покоя тела, — скорость его движения.

Возрастание массы тела с увеличением скорости приводит к тому, что ни одно тело с массой покоя, не равной нулю, не может достигнуть скорости, равной скорости света в вакууме, или превысить эту скорость. Скорость , большая , приводит для обычных частиц к мнимой массе и мнимому импульсу, что физически бессмысленно. Зависимость массы от скорости начинает сказываться лишь при скоростях, весьма близких к (См рисунок №2). Приведённые в этом пункте формулы неприменимы к фотону, так как у него отсутствует масса покоя ( ). Фотон всегда движется со скоростью, равной скорости света в вакууме, и является ультрарелятивистской частицей. Тем не менее, отсюда не следует постоянство скорости света во всех веществах.

При выражение для импульса переходит в то, которое используется в механике Ньютона , где под понимается масса покоя ( ), ибо при различие и несущественно.

Рисунок №2

Закон взаимосвязи массы и энергии

 

Полная энергия Е тела (или частицы) пропорциональна релятивистской массе (закон взаимосвязи массы и энергии):

,

где с - скорость света в вакууме. Релятивистская масса зависит от скорости , с которой тело (частица) движется в данной системе отсчета. Поэтому полная энергия различна в разных системах отсчета.

Наименьшей энергией тело (частица) обладает в системе отсчета, относительно которой оно покоится ( ). Энергия называется собственной энергией или энергией покоя тела (частицы):

.

Энергия покоя тела является его внутренней энергией Она состоит из суммы энергий покоя всех частиц тела , кинетической энергии всех частиц относительно общего центра масс и потенциальной энергии их взаимодействия. Поэтому

и

где — масса покоя - й частицы.

В релятивистской механике несправедлив закон сохранения массы покоя. Например, масса покоя атомного ядра меньше, чем сумма собственных масс частиц, входящих в ядро. Наоборот масса покоя частицы, способной к самопроизвольному распаду, больше суммы собственных масс продуктов распада и :

.

Несохранение массы покоя не означает нарушения закона сохранения массы вообще. В теории относительности справедлив закон сохранения релятивистской массы. Он вытекает из формулы закона взаимосвязи массы и энергии . В изолированной системе тел сохраняется полная энергия. Следовательно, сохраняется и релятивистская масса. В теории относительности законы сохранения энергии и релятивистской массы взаимосвязаны и представляют собой единый закон сохранения массы и энергии. Однако изэтого закона отнюдь не следует возможность преобразования массы в энергию и обратно. Масса и энергия представляют собой два качественно различных свойства материи, отнюдь не “эквивалентных” друг другу. Ни один из известных опытных фактов не дает оснований для вывода о “переходе массы в энергию”. Превращение энергии системы из одной формы в другую сопровождается превращением массы. Например, в явлении рождения и уничтожения пары электрон — позитрон, в полном соответствии с законом сохранения релятивистской массы и энергии, масса не переходит в энергию. Масса покоя частиц (электрона и позитрона) преобразуется в массу фотонов, то есть в массу электромагнитного поля.

Гипотеза Эйнштейна о существовании собственной энергии тела подтверждается многочисленными экспериментами. На основе использования закона взаимосвязи массы и энергии ведутся расчеты выхода энергии в различных ядерных энергетических установках.

 

 

⇐ Предыдущая19202122232425262728Следующая ⇒

Поделиться: