Гармонические колебания и их характеристики

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса, называется гармоническими.

или

Здесь – амплитуда величины , наибольшее отклонение от положения равновесия; - циклическая частота; - начальная фаза; – фаза, определяет значение в момент времени .

Колебания характеризуются частотой и периодом .

– время одного полного колебания

– число полных колебаний за единицу времени.

Приведенные выше выражения для являются решением дифференциального уравнения (дифференциальное уравнение гармонических колебаний)

На рис.9 дан график гармонических колебаний:

рис.9

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей прямолинейные гармонические колебания, равна

Потенциальная энергия материальной точки, совершающей гармонические колебания под действием силы упругости

Полная энергия

Пружинный маятник –это груз массойm, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием силы упругости (k – жесткость пружины).

Дифференциальное уравнение колебаний пружины, полученное на основе второго закона Ньютона, имеет вид

Период колебаний пружинного маятника

Формула для периода справедлива в случае, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза.

Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси О, не проходящей через центр масс тела С (рис.10).

рис.10

Малые колебания физического маятника описываются дифференциальным уравнением

или

где – расстояние ОС, – угол отклонения маятника.

– момент инерции тела относительно оси, проходящей через

точку О.

Решение этого уравнения имеет вид:

– приведенная длина маятника

Точка на продолжении прямой ОС, отстоящая от точки подвеса маятника на расстоянии приведенной длины, называется центром качения физического маятника. Точки О и взаимозаменяемы.

Математический маятник – материальная точка массой , подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, колеблющаяся под действием силы тяжести.

Практически приближением такой идеализованной системы являются небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой нити длиной .

Период малых колебаний математического маятника

Приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.

Затухающие колебания – колебания с уменьшающейся амплитудой (рис.11).

рис.11

Амплитуда уменьшается из-за совершения работы по преодолению сил трения.

Если сила трения (сила сопротивления) пропорциональна скорости тела,

– коэффициент трения,

то дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

или

Решение уравнения

Амплитуда затухающих колебаний – .

Коэффициент затухания , циклическая частота колебаний при этом

Характеристики затухающих колебаний – декремент затухания, логарифмический декремент затухания, коэффициент затухания.

Декремент затухания показывает во сколько раз амплитуда колебаний уменьшается за один период Т, т.е.

Натуральный логарифм декремента называется логарифмическим декрементом затухания

– число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Коэффициент затухания – величина, обратная промежутку времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Добротность колебательной системы

Добротность определяется отношением энергии колебательной системы, которую она имеет в момент времени , к убыли энергии за период. Чем выше добротность колебательной системы, тем медленнее затухают колебания.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

– частота колебаний вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

рис.12

На рис.12 изображен график вынужденных колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. При некотором значении , близком к собственной частоте колеблющейся системы , амплитуда резко возрастает, т.е. наблюдается резонанс. Кривая зависимости амплитуды от частоты вынужденных колебаний называется резонансной кривой (см. рис.13).

рис.13

Волны

1. Волновые процессы. Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волновым процессом (волной).

Если колеблющееся тело (камертон, струна, мембрана и т.д.), находится в упругой среде, то оно приводит в колебательное движение соприкасающиеся с ним частицы среды, вследствие чего в прилегающих к этому телу элементах среды возникают периодические деформации (например, сжатия и растяжения). При этих деформациях в среде появляются упругие силы, стремящиеся вернуть элементы среды в исходное состояние. Упругие деформации будут передаваться от одних участков среды к другим, более удаленным от источника колебаний.

Таким образом, периодические деформации, вызванные в каком-нибудь месте упругой среды, будут распространяться в среде с некоторой скоростью. При этом частицы среды, совершают колебательные движения около положений равновесия; от одних участков к другим передается лишь состояние деформации.

Основным свойством волн является перенос энергии без переноса вещества.

Упругие волны бывают продольными и поперечными. В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны, в поперечных – в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. В жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердом теле – как продольные, так и поперечные.

Синусоидальные (гармонические) волны. Упругая волна называется гармонической, если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими. На рис.14 приведен график гармонической волны в момент времени t.

рис.14

Этот график дает зависимость смещения всех частиц среды от расстояния до колеблющегося тела и времени.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называются длиной волны . Ее можно определить по формуле

– период колебаний; – скорость волны.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Фаза волны – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t (одна из волновых поверхностей).

Фазовая скорость – это скорость распространения волнового процесса.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейшем случае они представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу, или совокупность концентрических сфер. Соответственно волна называется плоской или сферической.

Уравнение волны. Распространение волн в однородной изотропной среде описывается дифференциальным уравнением в частных производных

– скорость распространения волны (фазовая скорость);

– определяет смещение частицы среды от положения равновесия.

Частным решение этого уравнения является функция

– волновое число.

Эта функция описывает бегущую гармоническую волну.

Интерференция волн

Наложение в пространстве двух или более когерентных волн, в результате которого наблюдается усиление или ослабление амплитуды результирующей волны, называется интерференцией.

Волны называются когерентными, если разность их фаз остается неизменной во времени.

В качестве примера рассмотрим интерференцию двух когерентных сферических волн, возбуждаемых точечными источниками и , имеющих одинаковые частоту и амплитуду . Напишем уравнения этих волн

и – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки наложения;

и – начальные фазы.

В разных точках пространства будут наблюдаться различные значения суммарной амплитуды колебаний, зависящей от разности хода волн , или разности фаз ( ). Максимум усиления амплитуды происходит, когда разность фаз . Минимальное значение интенсивности наблюдается при

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. На наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол a=30⁰, находится груз массой m₂=2кг. К грузу привязан легкий шнур, перекинутый через блок, укрепленный на вершине наклонной плоскости. К другому концу шнура подвешена гиря массой m₁=20кг. Предоставленная самой себе, система приходит в равноускоренное движение. Определите ускорение грузов и силу давления на ось блока при условии, что коэффициент трения между грузом и плоскостью равен m=0, 1. массу блока не учитывать.

Дано: a=30⁰; m₁=20кг; m₂=2кг; m=0, 1; =const

Найти: F_д –?

Решение:

Укажем внешние силы, действующие на каждое из тел системы. Очевидно, гиря будет опускаться, а груз будет подниматься по наклонной плоскости. Рассмотрим движение гири. На гирю действует сила тяжести и сила натяжения шнура . Поскольку гиря опускается ускоренно, то

На груз действует сила тяжести , сила натяжения шнура , сила трения и нормальная реакция опоры . Выберем систему отсчета – наклонную плоскость и связанную с ней систему координат. Ось О_х направим вдоль наклонной плоскости в сторону движения груза, ось О_у – перпендикулярно наклонной плоскости. Под действием приложенных сил груз массой m₂ ускоренно поднимается по наклонной плоскости, поэтому основное уравнение динамики в проекциях на ось О_х имеет вид:

Так как груз и гиря связаны между собой, то а₁=а₂=а и Т₁=Т₂=Т

Сила трения, равная , отсутствует в направлении, перпендикулярном наклонной плоскости (О_у), поэтому

По условию задачи масса блока не учитывается, поэтому на него действует только две силы натяжения со стороны шнура ( ) и нормальная реакция опоры N₁ со стороны оси. Согласно третьему закону Ньютона блок действует на ось с такой же по модулю силой, но направленной в противоположную сторону. Эту силу нам надо определить.

Под действием приложенных сил блок находится в равновесии: его ускорение равно нулю . Как видно из рис., диагональ параллелограмма равна, построенного на и , равна по модулю

Следовательно

Составим систему уравнений для неизвестных величин: Т, а, N, N₁

Решая эту систему относительно а, N₁ получим

Проверим размерность:

Вычисляем: а=4 м/с²; F_д=202Н

Задача 2. Материальная точка колеблется согласно уравнению , где А=5см, w=p/12 с^-1. Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значение -12мН, потенциальная энергия Е_р точки оказывается равной 0, 15мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу wt.

Дано: ; А=5см=5^.10^-2м; w=p/12с^-1; F=-12мН=-1, 2^.10^-2Н; Е_р=0, 15мДж=1, 5^.10^-3Дж

Найти: t, wt –?

Решение: Материальная точка совершает гармонические колебания под действием силы упругости равной

– коэффициент жесткости.

Потенциальная энергия точки

Составим отношение отсюда время

Фаза к моменту времени

Проверка размерности:

Вычисляем:

Задача 3. Определите, какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти электрон, чтобы его продольные размеры уменьшились в два раза.

Дано:

Найти: U –?

Решение: Согласно специальной теории Эйнштейна,

; – продольный размер в системе отсчета, относительно которой электрон движется со скоростью ; – продольный размер электрона в системе отсчета, связанной с ним. Подставляем значение l

В ускоряющем электрическом поле электрон получает кинетическую энергию, равную

С другой стороны, согласно СТО

Следовательно

Проверяем размерность

Вычисляем:

Задача 4. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью n=10м/с. Амплитуда колебаний точек шнура А=5см., период колебаний Т=1с. Запишите уравнение волны и определите: 1) длину волны; 2) фазу колебаний, смещение, скорость и ускорение точки, расположенной на расстоянии х₁=9м от источника колебаний в момент времени t₁=2, 5с.

Дано: n=10м/с; А=5см=0, 05м; Т=1с; х₁=9м; t₁=2, 5с.

Найти:

Решение: Запишем уравнение волны

Круговая частота и длина волны связаны с периодом , их выражение для w подставляем в уравнение волны

Аргумент косинуса в момент времени есть фаза колебаний в этот момент: .

Смещение в момент

Производная от по времени есть скорость точки

и в момент на расстоянии –

Берем еще раз производную от скорости и находим ускорение этой точки

Проверка размерности:

Вычисляем:

Задача 5. После упругого столкновения частицы 1 с покоившейся частицей 2 обе частицы разлетелись симметрично относительно первоначального направления движения частицы 1, и угол между их направлениями разлета . Найти отношение масс этих частиц.

Дано: ,

Найти: –?

Решение:

Обозначим скорости после столкновения через

Из уравнения следует, что скорость второго тела

Возведем в квадрат первое уравнение системы, предварительно разделив его на массу , а второе разделим на .

Решаем систему и получаем следующее уравнение:

так как , то ,

откуда .

Вычисляем:

Ответ: .

Задача 6. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1, 5кг^.м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t=1мин уменьшил частоту своего вращения с n₀=240об/мин до n₁=120об/мин. Определите:

1) угловое ускорение маховика ε; 2) момент силы торможения; 3) работу торможения

Дано: J=1, 5кг^.м²; t=1мин=60с; n₀=240об/мин=4об/с; n₁=120об/мин=2об/с

Найти: ε ; М; А –?

Решение: Угловая скорость при равнозамедленном движении (1)