Теорема Гаусса для поля в вакууме. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Поток вектора напряженности

 

 

Теорема Гаусса

Поток вектора напряжённости электрического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, деленных на ε _0.

Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости.

Бесконечная плоскость заряжена с постоянной поверхностной плоскостью +ϭ (ϭ = dQ/dS – заряд, приходящийся на единицу поверхности). Линии напряженности перпендикулярны рассматриваемой плоскости и направлены от нее в обе стороны. В качестве замкнутой поверхности мысленно построим цилиндр, основания которого параллельны заряженной плоскости, а ось перпендикулярна ей. Так как образующие цилиндра параллельны линиям напряженности (cosα = 0), то поток вектора напряженности сквозь боковую поверхность цилиндра равен нулю, а полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания (площади оснований равны и для основания Еn совпадает с Е), т. е. равен 2ES. Заряд, заключенный внутри построенной цилиндрической поверхности, равен ϭ S. Согласно теореме Гаусса , откуда

E = ϭ /(2Ɛ o)

Из формулы вытекает, что Е не зависит от длины цилиндра, т. е. напряженность поля на любых расстояниях одинакова по модулю, иными словами, поле равномерно заряженоой плоскости однородно.

 

Потенциальная энергия заряда. Потенциал. Потенциал для точечного заряда. Работа перемещения заряда в поле. Разность потенциалов. Принцип суперпозиции электростатических полей. Эквипотенциальные поверхности.

Потенциальная энергия заряда qо в поле заряда q равна

U = (1/4п*Ɛ о)*(q*qo/r)+C; С – произвольная постоянная

Потенциальная энергия заряда qo находящегося в поле заряда q на расстоянии r от него, равна

U= (1/4ПƐ о)*(q*qo/r)

Для одноименных зарядов qqo> 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (отталкивания) положительна, для разноименных зарядов qqo< 0 и потенциальная энергия их взаимодействия (притяжения) отрицательна.

Если поле создается системой n точечных зарядов q1, q2, q3…, qn, то работа электростатических сил, обусловленных каждым из зарядов в отдельности. Поэтому потенциальная энергия U заряда qo, находящиеся в этом поле, равна сумме потенциальных энергий U1 каждого из зарядов:

U = Σ * Ui = qo Σ * (qi/4П*Ɛ о*ri)

Потенциал – физическая величина, определяемая работой по перемещению единичного положительного заряда при удалении его из данной точки поля в бесконечность

Единица потенциала - вольт (В) = Дж/Кл

φ = w/ qo – формула потенциала

φ = w/qo = q/4П*Ɛ о*r – формула потенциала в определенной точке электростатического поля

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом q, равен

φ = (1/4П*Ɛ о)* (q/r)

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда qo может быть представлена как:

A = W1 – W2 = -Δ W; Aмк = qо*(φ 1 – φ 2)

q*E*d = (φ 1 – φ 2)

E = (φ 1 – φ 2)/d

E = φ /d

Т. е. равна произведению перемещаемого заряда на разность потенциалов в начальной и конечной точках. Разность потенциалов двух точек в электростатическом поле определяется работой, совершаемой силами поля, при перемещении единичного положительного заряда из одной точки в другую.

C = q/φ – электроемкость; [с] = Кл/в = ф (фарад)

С = 4П*Ɛ о*r

Работа сил поля при перемещении заряда qo из точки 1 в точку 2 может быть записана как:

Придем к выражению для разности потенциалов:

где интегрирование можно производить вдоль любой линии, соединяющей начальную и конечную точки, так как работа сил электростатического поля не зависит от траек­тории перемещения.

Если перемещать заряд Q₀ из произвольной точки за пределы поля, т. е. в бесконеч­ность, где, по условию, потенциал равен нулю, то работа сил электростатического поля A_∞ =Q₀φ, откуда

Потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей всех этих зарядов:

Формула выражает принцип су­перпозиции (наложения) электростатиче­ских полей, согласно которому напряжен­ность Е результирующего поля, создавае­мого системой зарядов, равна геометриче­ской сумме напряженностей полей, со­здаваемых в данной точке каждым из зарядов в отдельности.

Принцип суперпозиции позволяет рас­считать электростатические поля любой системы неподвижных зарядов, поскольку если заряды не точечные, то их можно всегда свести к совокупности точечных зарядов.

 

Для графического изображения распределения потенциала электростатического поля, как и в случае поля тяготения, пользуются эквипотенциальными поверхностями — поверхностями, во всех точках которых потенциал j имеет одно и то же значение. Таким образом, эквипотенциальные поверхности в данном случае — концентрические сферы. С другой стороны, линии напряженности в случае точечного заряда — радиальные прямые. Следовательно, линии напряженности в случае точечного заряда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Если поле создается точечным зарядом, то его потенциал, согласно, Линии напряженности всегда нормальны к эквипотенциальным поверхностям. Действительно, все точки эквипотенциальной поверхности имеют одинаковый потенциал, поэтому работа по перемещению заряда вдоль этой поверхности равна нулю, т. е. электростатические силы, действующие на заряд, всегда направлены по нормалям к эквипотенциальным поверхностям. Следовательно, вектор Е всегда нормален к эквипотенциальным поверхностям, а поэтому линии вектора Е ортогональны этим поверхностям. Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Однако их обычно проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота эквипотенциальных поверхностей наглядно характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности рас положены гуще, напряженность поля больше. Зная расположение линий напряженности электростатического поля, можно построить эквипотенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно определить в каждой точке поля модуль и направление напряженности поля. На рис. 133 для примера показан вид линий напряженности (штриховые линии) и эквипотенциальных поверхностей (сплошные линии) полей положительного точечного заряда (а) и заряженного металлического цилиндра, имеющего на одном конце выступ, а на другом — впадину (б).

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: