Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Показательные и логарифмические выраженияСтр 1 из 4Следующая ⇒
Показательные и логарифмические выражения
Показательная функция, гиперболические функции Показательной функцией называется функция , где . Основные свойства показательной функции. 1. Область определения: . 2. Множество значений: . 3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: нулей не имеет. 6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для . 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех ; если – убывает для . 9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке , ось не пересекает. 10. Асимптоты: прямая y = 0 (ось ) является горизонтальной асимптотой. 11. График функции дляa > 1 изображен на рисунке 1, для – на рис. 2.
Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенству: 1) , если , 2) , если .
Показательная функция с основанием , где иррациональное число , называется экспонентой, пишут или .
Через показательные выражения с основанием определяются гиперболические функции.
Гиперболическим синусом называется функция . Основные свойства гиперболического синуса. 1. Область определения: . 2. Множество значений: . 3. Четность и нечетность: нечётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: . 6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для , положительна – для . 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех . 9. Точки пересечения с осями координат: . 10. Асимптоты: асимптот не имеет. 11. График функции изображен на рисунке 3.
Рис. 3.
Гиперболическим косинусом называется функция
Основные свойства гиперболического косинуса. 1. Область определения: . 2. Множество значений: . 3. Четность и нечетность: чётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: нулей не имеет. 6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для . 7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при . 8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при ; возрастает – при . 9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось в точке , ось не пересекает. 10. Асимптоты: асимптот не имеет. 11. График функции изображен на рисунке 4.
Рис. 4.
Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболического синус и косинуса. Гиперболического тангенсом называется функция , .
Основные свойства гиперболического тангенса. 1. Область определения: . 2. Множество значений: . 3. Четность и нечетность: нечётная. 4. Периодичность: не периодическая. 5. Нули функции: . 6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для ; положительна – для . 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для . 9. Точки пересечения с осями координат: . 10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и . 11. График функции изображен на рисунке 5.
Рис. 5.
Гиперболический котангенсом называется функция , т.е. .
Решение. .
Задания
I уровень 1.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.2. Вычислите значение функции в точке: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 4) . 1.3. Вычислите значение функции в точке: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 4) . 1.4. Вычислите , , , , если: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.5. Постройте в одной системе координат графики функций , , . Опишите их взаимное расположение. 1.6. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . 1.7. Исследуйте функцию на монотонность: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) .
1.8. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) и ; 7) и ; 8) и ; 9) и ; 10) и ; 11) и ; 12) и ; 13) и ; 14) и ; 15) и ; 16) и ; 17) и 1; 18) и .
II уровень 2.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) .
2.2. Постройте график и найдите область значений функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) 10) . 2.3. Решите уравнение графически: 1) ; 2)
III уровень 3.1. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. Докажите тождество: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 3.3. Решите уравнение графически: 1) ; 2) .
Задания
I уровень 1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2. 1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании 1) 9; 2) 3; 3) ; 4) . 1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа: 1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.4. Найдите число , если: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . 1.5. Найдите число , если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 6) . 1.6. Вычислите значение логарифма: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.7. Упростите выражение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1.8. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a: 1) , если ; 2) , если ; 3) , если a = 10; 4) , если a = 10; 5) , если ; 6) , если ; 7) , если . 1.10. Выполните потенцирование: 1) ; 2) ; 3) ;
II уровень 2.1. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16). . 2.2. Докажите неравенство: 1). ; 2). . 2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . III уровень 3.1.Вычислите: 1). ; 2). ; 3). ; 4). . 3.2. Упростите до числа: . 3.3. Докажите, что .
Логарифмическая функция Логарифмической функцией называется функция ( ). Свойства логарифмической функции: 1. Область определения: . 2. Множество значений: . 3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности. 4. Периодичность функции: не периодическая. 5. Нули: функция обращается в нуль при x = 1. 6. Промежутки знакопостоянства: если , то положительна для , отрицательна для ; если , то положительна для , отрицательна для . 7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для ; если – возрастает для . 9. Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота. 10. График функции для изображен на рис.9, а для – на рис. 10.
Рис. 9 Рис. 10 Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда или Функция , если , является обратной для функции , при . Функция , если , является обратной для функции , при .
Пример 1. Определить знак числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1. Поскольку основание логарифма больше 1 ( ) и значение, стоящее под знаком логарифма больше 1 ( ), то из свойств логарифмической функции . 2. Для основания логарифма имеем , и для выражения, стоящего под знаком логарифма выполняется . Поэтому . 3. Так как основание логарифма 5 и , а выражение, стоящее под знаком логарифма равно и , то . 4. Для основания логарифма выполняется , а под знаком логарифма число 19 ( ). Поэтому . Пример 2. Сравнить числа: 1) и ; 2) и ; 3) и 3. Решение. 1. Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому , . Тогда . 2. Рассмотрим числа и . Так как и , то , и, следовательно, . 3. Известно, что или , если a > 0, b > 0. В нашем случае , тогда , т.е. 3. Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число . Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то , , , , . Пример 4. Найти функцию, обратную функции . Построить графики обеих функций в одной системе координат. Решение. Найдем функцию, обратную данной: , , , . , . Построим графики функций: 1) строим график функции : график функции переносим параллельно на 2 единицы право по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy; 2) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.11). Рис. 11
Задания I уровень 1.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1.3. Определите знак числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.5. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) и . II уровень 2.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) 2.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2.3. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) 7) и ; 8) и . 2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . III уровень 3.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.3. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и . 3.4. Определите, при каких значениях областью определения функции является вся числовая ось. 3.5. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функции.
Задания
I уровень 1.1. Установить, имеет ли уравнение корни: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) . 1.2. Определите, сколько корней имеет уравнение . Как это можно установить графически? 1.3. Решите уравнения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) .
II уровень 2.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 2.2. Найдите значение выражения , если .
III уровень 3.1. Решите уравнение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 966; Нарушение авторского права страницы