Показательные и логарифмические выражения

Стр 1 из 4Следующая ⇒

Показательные и логарифмические выражения

Показательная функция, гиперболические функции

Показательной функцией называется функция

, где .

Основные свойства показательной функции.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех ; если – убывает для .

9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке , ось не пересекает.

10. Асимптоты: прямая y = 0 (ось ) является горизонтальной асимптотой.

11. График функции дляa > 1 изображен на рисунке 1, для – на рис. 2.

Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенству:

1) , если ,

2) , если .

Показательная функция с основанием , где иррациональное число , называется экспонентой, пишут или .

Через показательные выражения с основанием определяются гиперболические функции.

Гиперболическим синусом называется функция

Основные свойства гиперболического синуса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: нечётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: .

6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для , положительна – для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех .

9. Точки пересечения с осями координат: .

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рисунке 3.

Рис. 3.

Гиперболическим косинусом называется функция

Основные свойства гиперболического косинуса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: чётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства: функция положительна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при .

8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при ; возрастает – при .

9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось в точке , ось не пересекает.

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рисунке 4.

Рис. 4.

Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболического синус и косинуса.

Гиперболического тангенсом называется функция

Основные свойства гиперболического тангенса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: нечётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: .

6. Промежутки знакопостоянства: функция отрицательна для ; положительна – для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для .

9. Точки пересечения с осями координат: .

10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и .

11. График функции изображен на рисунке 5.

Рис. 5.

Гиперболический котангенсом называется функция

, т.е.

Решение.

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1.2. Вычислите значение функции в точке:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 4) .

1.3. Вычислите значение функции в точке:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 4) .

1.4. Вычислите , , , , если:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

1.5. Постройте в одной системе координат графики функций , , . Опишите их взаимное расположение.

1.6. Постройте график функции:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1.7. Исследуйте функцию на монотонность:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.8. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6) и ;

7) и ; 8) и ;

9) и ; 10) и ;

11) и ; 12) и ;

13) и ; 14) и ;

15) и ; 16) и ;

17) и 1; 18) и .

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) .

2.2. Постройте график и найдите область значений функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) 10) .

2.3. Решите уравнение графически:

1) ; 2)

III уровень

3.1. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

3.2. Докажите тождество:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) .

3.3. Решите уравнение графически:

1) ;

2) .

Задания

I уровень

1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2.

1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании

1) 9; 2) 3; 3) ; 4) .

1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

1.4. Найдите число , если:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1.5. Найдите число , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) .

1.6. Вычислите значение логарифма:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.7. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.8. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если a = 10;

4) , если a = 10;

5) , если ;

6) , если ;

7) , если .

1.10. Выполните потенцирование:

1) ;

2) ;

3) ;

II уровень

2.1. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16). .

2.2. Докажите неравенство:

1). ; 2). .

2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

III уровень

3.1.Вычислите:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

3.2. Упростите до числа:

3.3. Докажите, что

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция ( ).

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4. Периодичность функции: не периодическая.

5. Нули: функция обращается в нуль при x = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

если , то положительна для , отрицательна для ;

если , то положительна для , отрицательна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для ; если – возрастает для .

9. Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.

10. График функции для изображен на рис.9, а для – на рис. 10.

Рис. 9 Рис. 10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция , если , является обратной для функции , при .

Пример 1. Определить знак числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1. Поскольку основание логарифма больше 1 ( ) и значение, стоящее под знаком логарифма больше 1 ( ), то из свойств логарифмической функции .

2. Для основания логарифма имеем , и для выражения, стоящего под знаком логарифма выполняется . Поэтому .

3. Так как основание логарифма 5 и , а выражение, стоящее под знаком логарифма равно и , то .

4. Для основания логарифма выполняется , а под знаком логарифма число 19 ( ). Поэтому .

Пример 2. Сравнить числа:

1) и ; 2) и ;

3) и 3.

Решение.

1. Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому ,

Тогда

2. Рассмотрим числа и . Так как

, то

, и, следовательно, .

3. Известно, что или ,

если a > 0, b > 0.

В нашем случае , тогда

т.е. 3.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

Пример 4. Найти функцию, обратную функции . Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

Построим графики функций:

1) строим график функции : график функции переносим параллельно на 2 единицы право по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy;

2) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.11).

Рис. 11

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

1.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.3. Определите знак числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.5. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6) и .

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) 6)

2.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

2.3. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6)

7) и ; 8) и .

2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) ; 2) ;