Обобщенные свойства логарифмов

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Пусть и выражения с переменной. Тогда:

3^*) , где ;

4^*) , где ;

5^*) , где ;

6^*) , где

Замечание 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм , .

Замечание 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами:

или .

Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения.

Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов.

Пример 1. Упростить выражение: .

Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше.

|по свойству 10| ,

тогда .

|по свойству 5| =

= |по свойству 2| = .

|по свойству 8| = .

Таким образом:

Замечание 1. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так:

Ответ: 5.

Пример 2. Вычислить: .

Решение. Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5.

= |по свойствам 5 и 2|=

Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3 – 5:

Тогда получаем

Ответ: 30, 5.

Замечание 2. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно сделано из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1.

Пример 3. Прологарифмировать по основанию 10 выражение

Решение. Замечаем, что сделать это можно, если . Тогда

Пример 4. Выполнить потенцирование выражения

.

Решение. Используем свойства логарифмов 3 – 5 («справа-налево»)

Получаем ответ: .

Пример 5. Выразить через и .

Решение.

Ответ: .

Задания

I уровень

1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2.

1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании

1) 9; 2) 3; 3) ; 4) .

1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа:

1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27;

5) ; 6) ; 7) ; 8) ;

9) ; 10) ; 11) ; 12) .

1.4. Найдите число , если:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) .

1.5. Найдите число , если

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) 6) .

1.6. Вычислите значение логарифма:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.7. Упростите выражение:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ; 8) .

1.8. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) .

1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a:

1) , если ;

2) , если ;

3) , если a = 10;

4) , если a = 10;

5) , если ;

6) , если ;

7) , если .

1.10. Выполните потенцирование:

1) ;

2) ;

3) ;

II уровень

2.1. Вычислите:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16). .

2.2. Докажите неравенство:

1). ; 2). .

2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

III уровень

3.1.Вычислите:

1). ;

2). ;

3). ;

4). .

3.2. Упростите до числа:

3.3. Докажите, что

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называется функция ( ).

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности.

4. Периодичность функции: не периодическая.

5. Нули: функция обращается в нуль при x = 1.

6. Промежутки знакопостоянства:

если , то положительна для , отрицательна для ;

если , то положительна для , отрицательна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для ; если – возрастает для .

9. Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота.

10. График функции для изображен на рис.9, а для – на рис. 10.

Рис. 9 Рис. 10

Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда

или

Функция , если , является обратной для функции , при .

Пример 1. Определить знак числа:

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение. 1. Поскольку основание логарифма больше 1 ( ) и значение, стоящее под знаком логарифма больше 1 ( ), то из свойств логарифмической функции .

2. Для основания логарифма имеем , и для выражения, стоящего под знаком логарифма выполняется . Поэтому .

3. Так как основание логарифма 5 и , а выражение, стоящее под знаком логарифма равно и , то .

4. Для основания логарифма выполняется , а под знаком логарифма число 19 ( ). Поэтому .

Пример 2. Сравнить числа:

1) и ; 2) и ;

3) и 3.

Решение.

1. Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому ,

Тогда

2. Рассмотрим числа и . Так как

, то

, и, следовательно, .

3. Известно, что или ,

если a > 0, b > 0.

В нашем случае , тогда

т.е. 3.

Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число .

Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то

Пример 4. Найти функцию, обратную функции . Построить графики обеих функций в одной системе координат.

Решение. Найдем функцию, обратную данной:

Построим графики функций:

1) строим график функции : график функции переносим параллельно на 2 единицы право по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy;

2) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.11).

Рис. 11

Задания

I уровень

1.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ;

8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

1.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) .

1.3. Определите знак числа:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ;

10) ; 11) ; 12) .

1.5. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6) и .

II уровень

2.1. Найдите область определения функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4)

5) 6)

2.2. Постройте график функции:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

2.3. Сравните числа:

1) и ; 2) и ;

3) и ; 4) и ;

5) и ; 6)

7) и ; 8) и .

2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат:

1) ; 2) ;