Показательные уравнения. Показательно-степенные уравнения

 

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a, (a > 0).

 

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x) – некоторые выражения с неизвестной величиной x.

I тип:

, где . (2)

Уравнение имеет решение, если b > 0. Его решают логарифмированием по основанию a:

.

Тогда

(3)

Решение уравнения (3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип:

, где . (4)

По свойству равенства степеней уравнение (4) равносильно уравнению

.

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип:

, (5)

где F – некоторое выражение относительно .

Производят замену переменной и решают уравнение F(y) = 0

Если – его корни, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип:

уравнения, решаемые графическим методом

 

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

 

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

 

Типы показательно-степенных уравнений и способы их решения

Всюду далее f(x), g(x), h(x) – некоторые выражения с неизвестной x.

I тип:

. (6)

Решение уравнения (6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип:

. (7)

Решение уравнения (7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Способ 1. Имеем уравнение типа (2). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем

, т.е. . Приходим к линейному уравнению , откуда .

Способ 2. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества: .

Получили уравнение типа (4), которое решаем по свойству равенства степеней:

.

Пришли к ответу: .

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Выполним необходимые преобразования; сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3.

По свойству степеней , .

Получаем ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно . Решаем при помощи замены . Получаем

.

Корнями последнего уравнения являются значения .

Возвращаясь к неизвестной x, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

, т.е. .

Получили ответ: .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Выполним необходимые преобразования

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на . Получим:

,

т.е. получили квадратное уравнение относительно . Вводим замену . Тогда

откуда

.

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1 способ. Подбором убеждаемся, что – корень уравнения. Функции (т.е. ) и монотонно возрастают (рис.12). Они имеют единственную общую точку.

 

Рис. 12

Способ 2.Разделим обе части уравнения на . Получим

или .

Заменим . Получим .

При получим основное тригонометрическое тождество. Т.е. является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: x = 2, 3, …, n, ….

Перепишем уравнение в виде

.

Разделим обе части уравнения на (т.к. ). Получим:

.

Вводим замену . Получаем квадратное уравнение , откуда .

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. ОДЗ: x ¹ 2.

.

Решением является совокупность

Корень x = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: x = 1, x = 3.

Задания

 

I уровень

1.1. Установить, имеет ли уравнение корни:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) .

1.2. Определите, сколько корней имеет уравнение . Как это можно установить графически?

1.3. Решите уравнения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) .

 

II уровень

2.1. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

2.2. Найдите значение выражения , если .

 

III уровень

3.1. Решите уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

 

14)

;

15) ;

16) ;

17) ;

3.2. Найдите сумму корней уравнения

.

 

Логарифмические уравнения

 

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком логарифма или в его основании.

При решении логарифмических уравнений обязательно учитывается ОДЗ логарифма. Если ОДЗ найти сложно, то можно только выписать условия, а затем проверить полученные корни подстановкой в ОДЗ (можно проверять подстановкой в уравнение, не выписывая ОДЗ).

 

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Поделиться: