Моделирование равномерных и нормальных распределений.

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 11Следующая ⇒

Для имитационного моделирования требуются случайные числа с различными законами распределения – нормальным, равномерным экспоненциальным и другими. Основой для их генерации является последовательность случайных чисел, распределенных по равномерному закону на интервале (0, 1). Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение в интервале (а, b), если ее функция плотности имеет вид

Математическое ожидание и дисперсия

На ЭВМ с n-разрядными числами вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0, 1) используют дискретную последовательность 2ⁿ случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.

Наибольшее применение в практике моделирования нашли алгоритмы вида

x_i₊₁ = F(x_i),

представляющие собой рекуррентные соотношения, для которых начальное значение x₀ и параметры функции F заданы, например

где - неотрицательные целые числа.

Для реализации на ЭВМ наиболее удобно, когда М = р^k, где р - число цифр в системе счисления, принятой в ЭВМ (например, р = 2 для двоичной): k - длина разрядной сетки (например k = 32 для 32-разрядной ЭВМ). В этом случае вычисление остатка от деления на М сводится к выделению k младших разрядов делимого, а преобразование целого числа в рациональную дробь из интервала (0, 1) осуществляется подстановкой слева от двоичной запятой.

Качество конкретной версии таких генераторов можно оценить только с помощью соответствующего модельного эксперимента. В настоящее время почти все стандартные программы ЭВМ для вычисления последовательностей равномерно распределенных случайных чисел основаны на конгруэнтной процедуре.

Моделирование случайных воздействий

При статистическом моделировании могут быть использованы случайные события, дискретные и непрерывные случайные величины, векторы, процессы. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов из перечисленных сводится к генерации и преобразованию последовательностей случайных чисел.

Простейшими случайными объектами являются случайные события. Рассмотрим особенности их моделирования.

Исходными являются случайные числа , равномерно распределенные в интервале (0, 1). Необходимо реализовать случайное событие А, наступающее с заданной вероятностью р. Определим А как событие, состоящее в том, что выбранное значение случайной величины удовлетворяет неравенству

Тогда вероятность события А будет Противоположное событие состоит в том, что Х_i > p. Тогда Процедура моделирования в этом случае состоит в выборе значений и сравнении их с р.

Таким же образом можно рассматривать группу событий. Пусть - полная группа событий, наступающих с вероятностью соответственно. Определим как событие, состоящее в том, что выбранное значение случайной величины удовлетворяет неравенству

где

Тогда

Процедура моделирования испытаний будет в этом случае состоять в последовательном сравнении случайных чисел со значениями

Формирование нормального закона распределения

Нормальное распределение является одним из важнейших непрерывных распределений. Разработано несколько методов. Все они базируются на использовании равномерно распределенных случайных чисел. Один из часто применяемых метод основан на центральной предельной теореме, которая гласит, что сумма независимых одинаково распределенных случайных чисел с математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением образует асимптотически случайное число с нормальным законом распределения и математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением где N – число суммируемых чисел. Расчеты показывают, что уже при сравнительно небольших N (8, 12) сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

Нормированное распределение с можно получить, воспользовавшись преобразованием . В частности, при N=12 получим .

Распределение Пуассона

Пусть необходимо получить случайные числа, имеющие закон распределения Пуассона

Для этого распределения можно также воспользоваться предельной теоремой Пуассона, которая гласит, что если при проведении N независимых испытаний вероятность свершения события А в i-ом испытании равна , то относительная частота появления события при сходится по вероятности к среднему из вероятностей .

Таким образом, если p – вероятность наступления события А при одном испытании, то вероятность наступления m событий в N независимых испытаниях при , асимптотически равна

Для реализации алгоритма выбирается достаточно большое N, такое, чтобы , проводятся серии по N независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью p, и подсчитывается число случаев фактического наступления события А в серии с номером j. Числа будут приближенно следовать закону Пуассона, причем тем точнее, чем больше N. Практически N должно выбираться, чтобы

Алгоритм генерации случайных чисел по пуассоновскому распределению приведен на рис. 8, где - случайные числа, распределенные равномерно в интервале (0, 1).