Аналитическое моделирование ВС

При аналитическом моделировании выделяют все внутренние параметры системы , вектор внешних параметров (в качестве него используются параметры входных потоков заявок) и вектор выходных результатов .

Аналитическим моделированием называется представление в виде аналитической зависимости Y как функции от X и Q для системы в целом, а также аналитическое разрешение этого уравнения.

Пример аналитического моделирования системы с одним обслуживающим аппаратом и очередью к нему.

Допустим, что процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в очереди. Тогда состояние СМО описывается следующей системой уравнений:

где - вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени t.

Модель получена из рассуждений, что вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени равна вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на вероятность того, что за время в систему не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (n-1) заявок в момент t, умноженная на вероятность того, что за время поступит одна заявка и ни одна заявка не будет обслужена, плюс вероятность нахождения в системе (n+1) заявок в момент t, умноженная на вероятность того, что за время одна заявка покинет систему и не поступит ни одной заявки.

Вероятность того, что за время не поступит ни одной заявки и ни одна заявка не покинет систему, равна Упростим уравнения, сначала пренебрежем членами порядка малости Тогда

После подстановки получим:

Следующий шаг решения данного уравнения - освобождение от и получение дифференциальных уравнений. Для этого перенесем влево и устремим к нулю. В итоге получим:

Решение дифференциального уравнения можно выполнить для стационарного состояния Приравняв нулю производные по времени и исключив таким образом время из уравнений, получим систему алгебраических уравнений

или

Далее попытаемся найти выражения для математического ожидания числа заявок, находящихся в очереди, и среднего времени ожидания в очереди. Для этого нам необходимо выразить через величины исходных данных, т.е. Пусть в первом уравнении Тогда Подставив сюда из второго уравнения, находим Повторяя эти операции для следующих получим

Далее учтем, что так как это сумма вероятностей того, что в системе нет ни одной заявки, имеется одна заявка, две заявки и т.д., и сумма этих вероятностей равна единице, так как рассматриваются все возможные состояния (полная группа) системы. Поэтому или Откуда Следовательно,

Полученное выражение представляет собой геометрическое распределение, для него математическое ожидание числа заявок, находящихся в системе (ОА):

Дисперсия

Так как

то

Математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

Среднее время ожидания заявок в очереди

Аналитическое моделирование применяется для простых систем и элементов. Возможности аналитического моделирования сильно ограничены, часто требуется принятие некоторых упрощающих предположений.

Ограничения и области применения аналитического моделирования.

Основные ограничения аналитического моделирования:

1) Входные потоки заявок должны быть стационарными, ординарными и с отсутствием последействия. Такие потоки называют простейшими.

2) Интервалы времени между моментами поступления заявок должны подчиняться экспоненциальному закону распределения.

3) Приоритеты заявок не учитываются.

4) Дисциплина обслуживания должна быть типа FIFO.

5) Времена обслуживания заявок в ОА также подчиняются экспоненциальному закону.

Применения:

1) Для ориентировочных оценок ВС в ряде частных случаев.

2) В качестве макромоделей для отдельных фрагментов ВС при имитационном моделировании.

Пример аналитического моделирования простейшей СМО.

Пример определения вероятности безотказной работы системы.

Каждый блок системы характеризуется собственной вероятностью безотказной работы. Задача состоит в определении вероятности отказа системы за некоторое время t.

Вероятность отказа каждого блока равна , где P(t) – плотность распределения вероятности отказов.

Для параллельно соединенных блоков, имеющих вероятности отказов и , суммарная вероятность отказов определяется как

Для последовательно соединенных блоков вероятность отказа составит

 

С учетом этих соотношений для системы может быть определено общее выражение для вычисления отказа за время t, по которому и определяется вероятность отказа за конкретно заданное время.

Планирование машинного эксперимента (выбор начальных условий).

 

Планирование эксперимента

Планирование эксперимента с программной моделью связано с вопросами эффективного использования ресурсов ЭВМ и определением конкретных способов проведения испытаний модели. Планирование эксперимента связано прежде всего с решением проблем: 1) определения начальных условий и их влияния на достижение установившегося результата при моделировании; 2) обеспечения точности и достоверности результатов моделирования.

Определение начальных условий и их влияние на результаты моделирования. Проблема из-за искусственного характера процесса функционирования модели, которая в отличие от реальной системы работает эпизодически. Поэтому всякий раз при очередном прогоне модели требуется определенное время для достижения установившихся режимов работы (занятия устройств и очередей, памятей), соответствующих условиям функционирования реальной системы. Таким образом, начальный период работы модели искажается из-за влияния начальных условий запуска модели. Это может привести к неверным оценкам работы системы. Для решения этой проблемы существует несколько способов, например:

а) Исключить из рассмотрения информацию о модели, полученную в начальной части периода моделирования, т.е. запоминать и обрабатывать результаты работы модели через достаточно большой период от начала моделирования, который соответствует установившемуся режиму.

б) Задавать такие начальные условия для модели, которые соответствовали бы работе реальной системы или сокращали время достижения установившегося режима.

Но все эти приемы имеют недостатки, так в первом случае увеличивается значительно время моделирования и имеются проблемы определения точного периода начала установившегося режима, во втором подходе существует проблема еще до начала моделирования знать начальные условия работы реальной системы.

 

 

Планирование машинного эксперимента (обеспечение точности).

 

Обеспечение точности и достоверности результатов моделирования. Решение этой проблемы связано с оценкой точности и достоверности результатов моделирования при заданном числе реализаций (объеме выборки) или, наоборот, с необходимостью оценки числа реализаций при заданных точности и достоверности результатов моделирования.

Эта проблема возникает из-за того, что мы используем вероятностное моделирование, и никакой машинный эксперимент принципиально не дает точного результата. Инженер всегда решает компромиссную задачу сокращения вычислительных затрат при увеличении точности.

К сожалению, нет универсальных способов решения этих задач в первую очередь из-за того, что законы распределения в сложных моделях неизвестны. К тому же показатели качества при моделировании не могут быть точно оценены, в лучшем случае можно получить только некоторую оценку такого показателя.

Пусть - показатель качества системы (характеристика системы), - оценка показателя качества системы, в общем случае . При этом называется точностью (абсолютной) оценки. Вероятность того, что неравенство выполняется, называется достоверностью оценки

.

Величина называется относительной точностью оценки, в этом случае достоверность оценки будет иметь вид

Основным приемом при решении задач, когда закон распределения в сложных моделях неизвестен, является выдвижение предположений о характере законов распределения случайной величины .

Рассмотрим пример определения взаимосвязи точности и достоверности результатов моделирования с количеством реализаций N при программном эксперименте, когда в качестве показателя выступает вероятность , математическое ожидание и дисперсия .

Таким образом, задача состоит:

1) При заданных найти N.

2) При заданном N найти .

Необходимо получить оценку вероятности появления некоторого события А, где в качестве оценки вероятности в данном случае выступает частность , где m - число свершений события А. Тогда соотношение, связывающее точность и достоверность оценок с количеством реализаций, будет иметь вид

(3)

Для определения закона распределения необходимо тщательно изучить соотношение (3).

Опуская выкладки по определению математического ожидания и дисперсии для оценки , оценки ее несмещенности и применения центральной предельной теоремы, можно сделать заключение, что частность при достаточно больших N можно рассматривать как случайную величину, описываемую нормальным законом распределения с математическим ожиданием p и дисперсией p(1-p)/N.

Поэтому соотношение (3) с учетом теоремы Лапласа можно переписать как:

где интеграл вероятностей. Учитывая, что получим

Тогда , где - квантиль нормального закона распределения порядка , находится из специальных таблиц. В результате точность оценки можно определить как

т.е. точность оценки обратно пропорционально Количество реализаций, необходимых для получения оценки с точностью и достоверностью определяется соотношением

(4)

Пример: Чтобы оценить, как примерно соотносится число реализаций с точностью и достоверностью, рассмотрим пример расчета количества реализаций N, когда в качестве показателя эффективности используется вероятность p при достоверности Q = 0, 95 (t_j = 1, 96) и точности =0, 01; 0, 02; 0, 05.

Так как значения p до проведения моделирования (эксперимента) неизвестны, то вычислим множество оценок N для диапазона возможных значений p от 0 до 1 с шагом 0, 1. Результаты расчетов представлены в табл. 2.

Т а б л и ц а 2.

Вероятность р	Точность
0, 05	0, 02	0, 01
0, 1 (0, 9) 0, 2 (0, 8) 0, 3 (0, 7) 0, 4 (0, 6) 0, 5 (0, 5)

Чаще всего на начальных стадиях моделирования, когда решается вопрос выбора количества реализаций N, значение p неизвестно. Поэтому на практике выполняют предварительное моделирование для произвольно выбранного значения No, определяют а затем по (4) вычисляют, используя вместо p значение необходимое количество реализаций N.

При очень высоких точностях ( ) по этим формулам невозможно оценить малые вероятности (порядка ). В этом случае используют относительную точность . Для оценивания малых вероятностей с высокой точностью необходимо очень большое число реализаций. На практике, для оценивания вероятностей порядка , количество реализаций выбирают равным . Очевидно, что даже для сравнительно простых моделей метод статистического моделирования приводит к большим затратам машинного времени.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: