Моделирование произвольного закона распределения.

Для получения непрерывных случайных величин с заданным законом распределения существует несколько подходов, но наиболее эффективным по вычислительным затратам и общим является метод обратной функции.

Метод обратной функции. Он основывается на следующей теореме: Если случайная величина (СВ) х имеет плотность распределения Р(х), то подчиняется равномерному закону распределения в интервале (0, 1) независимо от вида P(x). Отсюда вытекает способ моделирования случайных чисел х с произвольной плотностью вероятности Р(х). Алгоритм:

1) Моделируют СВ j_i с равномерным законом распределения в диапазоне (0, 1).

2) Решают интегральное уравнение относительно верхнего предела: . Значение верхнего предела х_i и будет СВ по закону Р(х). Если Р(х)=0 при х< х₀, то вместо нижний предел можно заменить на х₀. Графически эта процедура представлена на рис. 9.

Здесь для каждой случайной величины j_i с равномерным распределением на интервале (0, 1) находится соответствующая величина х_i, у которой плотность распределения P(x).

Пример. Необходимо получить случайные числа с экспоненциальным законом распределения. Для экспоненциальной случайной величины х_i, распределенной по закону

имеем

откуда .

Пример. Необходимо получить случайные числа с законом распределения

 

Воспользовавшись приведенным выше алгоритмом, получим

Отсюда

или

 

Достоинство метода: малые вычислительные затраты при реализации вычисления в аналитическом виде.

Недостаток: не все законы распределения можно представить в аналитическом виде. Приходится прибегать к численным методам решения, что увеличивает машинное время на получение каждого случайного числа. Даже в тех случаях, когда интеграл берется в аналитическом виде, получаются формулы, содержащие действия логарифмирования, извлечения корня и т.п., которые приводят к увеличению вычислительных затрат.

Поэтому в практике моделирования часто пользуются другими, более универсальными и иногда приближенными способами.

Метод Неймана. Если случайная величина х определена на конечном интервале (а, в) и плотность ее ограничена Р(х) (рис. 10), то можно использовать следующий алгоритм:

1) Генерируются два значения и случайной величины, равномерно распределенной на интервале (0, 1).

2) Вычисляются координаты точки С(n₁; n₂):

n₁ = a + (b - a);

n₂ = M_o.

3) Если точка С лежит под кривой необходимого закона распределения Р(х), то в качестве очередного СЧ по заданному закону Р(х) выбирают n₁, а если над кривой, то пара и отбрасывается и выбирается новая пара.

Достоинством метода является его высокая надежность и применимость к любому закону распределения. К недостатку следует отнести большие вычислительные затраты.

Приближенный метод кусочной аппроксимации функции плотности распределения. Пусть требуется получить последовательность случайных чисел с функцией плотности возможные значения которой ограничены интервалом (a, b). Представим в виде кусочно-постоянной функции, т.е. разобьем интервал (a, b) на m интервалов (рис. 11) и будем считать на каждом интервале постоянной. Тогда случайную величину можно представить в виде где - абсцисса левой границы k-го интервала; - случайная величина, возможные значения которой располагаются равномерно внутри k-го интервала, т.е. считается равномерной. Обычно разбивают (a, b) на интервалы так, чтобы вероятность попадания в любой интервал была постоянной, т.е. не зависела от номера интервала k: (2)

Алгоритм реализации метода сводится к следующим шагам:

1. Генерация случайного равномерно распределенного числа из интервала (0, 1).

2. С помощью этого числа случайным образом выбирается интервал .

3. Генерируется число и масштабируется с целью приведения его к интервалу , т.е. домножается на коэффициент .

4. Вычисляется случайное число .

Достоинством этого приближенного метода является небольшое число операций, так как операция масштабирования (2) выполняется только один раз перед моделированием, и количество операций не зависит от точности аппроксимации, т.е. от количества интервалов m.

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: