Начальные и центральные моменты случайных величин

87. Сформулируйте определение начальных и центральных моментов случайной величины. Докажите, что если и – независимые случайные величины, то

Начальным моментом порядка k (k? N) случайной величины Х называю мат.ожидание величины X^k:

Центральным моментом порядка k СВ Х называют мат.ожидание величины (Х-Е(Х))^k

в частности

Докажем, что если Х и У независимые СВ, то

88. Пусть – начальные, а – центральные моменты некоторой случайной величины. Докажите, что и

Докажем связь начальных и центральных моментов:

89. Сформулируйте определение асимметрии случайной величины и укажите ее основные свойства. Что характеризует асимметрия случайной величины?

Асимметрия распределения - отношение третьего центрального момента к кубу стандартного отклонения. Асимметрия случайной величины X совпадает с третьим начальным (центральным) моментом соот-ветствующей нормированной случайной величины.

Свойство 1. Асимметрия и эксцесс инвариантны относительно линейной замены случайной величины:

Таким образом, асимметрия и эксцесс не меняются при сдвигах и растяжениях и их можно использовать в качестве характеристик формы распределения.

Свойство 2. Для независимых случайных величин X₁, …, X_n имеем

 

,

Заметим, что в случае одинаково распределенных независимых случайных величин X₁, …, X_n асимметрия и эксцесс их суммы стремится к нулю, когда n →

90. Сформулируйте определение эксцесса случайной величины и укажите его основные свойства. Чему равен эксцесс для нормального распределения?

Эксцессом распределения называется величина:

Для нормального распределения Ex=0 (т.к. для станд. норм. распред. N(0, 1) )

Свойствава:

1

2

i=1, …, n

им. один дисперсию, то

В случае одинаково распред. нез. сл. вел

92. Что называется системой случайных величин? Сформулируйте определение функции распределения двумерного случайного вектора и дайте его геометрическую интерпретацию.

Упорядоченная пара случайных величин (X, Y), определенных на одном и том же пространстве элементарных событий Ω, называется системой случайных величин, двумерным случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Функцией распределениядвумерной случайной величины (X, Y) называется вероятность совместного выполнения двух событий X < x и Y < y:

Геометрической интерпретацией может служить рис, на котором значением функции распределения может служить вероятность попадания случайной величины (X, Y) в бесконечный квадрант Q(x, y) с вершиной в точке (x, y), лежащий левее и ниже ее.

93. Сформулируйте основные свойства функции распределения случайного вектора и приведите пример двумерной функции распределения.

1) F_{X, Y}(x, y) - неубывающая функция по каждому аргументу, т.е. и

2) P(x₁≤ X< x₂, y₁≤ Y< y₂)=F(x₁, y₁)+F(x₂, y₂)-F(x₁, y₂)-F(x₂, y₁)

3)

4) ,

5)

Пример:

94. Какой случайный вектор называется абсолютно непрерывным? Укажите основные свойства функции плотности распределения двумерного случайного вектора. Как можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора, если известна его функция распределения? Укажите функцию плотности для равномерного распределения в круге радиуса .

Случайный вектор называется абсолютно непрерывным, если существует - плотность распределения, такая, что:

Свойства функции плотности распределения абсолютно непрерывной СВ:

1) - неотрицательность

2) - условии е нормировки

3) В точке непрерывности f_{X, Y}(x, y).

Если известна функция распределения F(х; у) двумерного случайного вектора, то по формуле можно найти непрерывную функцию плотности распределения двумерного случайного вектора.

Если случайный вектор (Х; У) равномерно распределен в круге радиуса R, то можно найти его функцию плотности:

 

95. Как найти функцию распределения двумерного случайного вектора , если известна функция плотности распределения ? Укажите функцию распределения для случайного вектора равномерно распределенного в прямоугольнике со сторонами и .

По свойству плотности распределения F(х; у) двумерного случайного вектора следует:

Равномерное распределение в прямоугольнике

F(x, y)=

1 =

F(x, y)=

F(x, y)= т.к. иначе F(x, y), x> m+b, y> n+a, F(x, y)=1, x< m, y< n F(x, y)=0]=

= =

= (x(y-n)-m(y-n))= (xy-xn-ym+mn).

96. Как найти функции плотности и компонент и , если известна функция плотности двумерного распределения ? Приведите пример двумерной функции плотности и найдите плотности компонент.

Для того чтобы найти функцию распределения компоненты при известной функции распределения двумерного распределения. Необходимо проинтегрировать данную функцию распределения по противоположной компоненте, т.е. f_x(x)= и соответственно наоборот.

Пример:

Находим плотности компонент:

,

,

97. Как можно найти функцию плотности распределения случайного вектора с независимыми компонентами и , если известны их плотности распределения и ? Будут ли независимыми компоненты случайного вектора , равномерно распределенного в прямоугольнике ? Ответ обоснуйте.

Для того, чтобы непрерывные случайные величины Х и У были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X; Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих: Докажем, что компоненты случайного вектора (X, Y) независимы, если он равномерно распределен в прямоугольнике .

При решении уравнения найдем

 

Аналогично для

Компоненты Х и У - независимые

98. Как можно найти функцию распределения, F_XY(x, y) случайного вектора (X, Y) с независимыми компонентами X и Y, если известны их функции распределения F(x)X и F(y)Y? Ответ обоснуйте.

Если X и Y – независимые компоненты случ вектора (X, Y) и известна их ф-ия распр FX(x) и FY(y), то его ф-ия распр Fx, y(x, y)= FX(x)*FY(y). Обоснование.

Пусть A=(X< x), B=(Y< y), тогда P((XÎ A)(YÎ B))=Fx, y(x, y) и P(XÎ A)*P(YÎ B)= FX(x)*FY(y), т.к. P((XÎ A)(YÎ B))=P(XÎ A)*P(YÎ B) (т.к. X и Y –независимые).

⇐ Предыдущая1234

Поделиться: