![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Решение задач линейной алгебры
Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛАУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п. Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
Или в матричной форме:
где
- матрица коэффициентов системы (3.1);
Если матрица A неособенная, т.е.
то система (3.1) или эквивалентное ей матричное уравнение (3.2) имеют единственное решение. Действительно, при условии, что detA ¹ 0, существует обратная матрица A-1. Умножая обе части уравнения (3.2) слева на A-1, получим:
Формула (3.5) даёт решение уравнения (3.2), причём единственное.
Пример 3.1.
Для матрицы A порядка n > 4 непосредственное нахождение обратной матрицы A- 1 требует много времени (операций). Поэтому формула (3.5) на практике употребляется достаточно редко. Обычно значения неизвестных xi (i = 1, 2, ... n) могут быть получены по известным формулам Крамера:
Здесь матрица Ai получается из матрицы A заменой её i-го столбца столбцом свободных членов.
Пример 3.2. Решим вышеприведенную систему по формулам Крамера:
Применяемые в настоящее время методы решения СЛАУ можно разбить на две группы: точные и приближённые. Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), за конечное число действий позволяют получить точные значения неизвестных xi. Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x1, x2, ..., xn) лишь с заданной точностью. Точное решение СЛАУ в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса. К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и т.п.
Метод Гаусса
Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие данный метод. Рассмотрим одну из них – схему единственного деления. Для простоты ограничимся рассмотрением СЛАУ с четырьмя неизвестными:
Пусть a11¹ 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение на a11, получим первую главную строку:
где
Используя уравнение (3.8), можно исключить неизвестные x1 из 2-го, В результате получим систему из трех уравнений:
где коэффициенты
Далее первое уравнение системы (3.9) делим на ведущий элемент
где
Аналогично предыдущему шагу, исключая x2, как и x1, получим систему
Здесь Разделив первое уравнение системы (3.12) на
где
Теперь с помощью уравнения (3.13) исключим x3 из второго уравнения системы (3.12), окончательно получим:
где
Таким образом, исходную систему (3.7) привели к составленной из главных строк (3.8), (3.11), (3.13) и (3.14) эквивалентной системе с треугольной матрицей(3.15):
Из (3.15) последовательно находим
Итак, решение СЛАУ (3.7) распадается на два этапа: · прямой ход (приведение системы (3.7) к треугольному виду (3.15)); · обратный ход (определение неизвестных по формуле (3.16)).
Пример 3.3. Прямой ход:
Из выражений (3.10) вычислим коэффициенты
Аналогично вычислим коэффициенты Разделив первое уравнение системы на Значит, Из (3.12) вычислим
Аналогично, вычислив коэффициенты для i = 4, получим:
Разделив первое уравнение на a(2)33 = 16.425, получим:
где По формуле (3.14) находим коэффициенты
и записываем одно уравнение с одним неизвестным:
1.1199786x4 = -1.1199768.
x1 + 0.5x2 - 0.05x3 + 0.5x4 = 1.35; x2 + 13.4x3 - 29x4 = 71.2; x3 - 1.72298x4 = 4.72298; 1.11998x4 = -1.11998. На этом закончен прямой ход. Обратный ход:
x4 = -1.000; x3 = 4.72298 - 1.72298 = 3; x2 = 71.2 - 13.4 * 3-29 = 2; x1 = 1.35 - 0.5 * 2 + 0.05 * 3 + 0.5 = 1.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 273; Нарушение авторского права страницы