Решение задач линейной алгебры

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 7Следующая ⇒

Линейные системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Так, основными источниками возникновения СЛАУ являются теория электрических цепей, уравнения балансов и сохранения в механике, гидравлике и т.п.

Пусть дана система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(3.1)

Или в матричной форме:

; (3.2)

где

(3.3)

- матрица коэффициентов системы (3.1);

- вектор неизвестных; - вектор свободных членов.

Если матрица A неособенная, т.е.

(3.4)

то система (3.1) или эквивалентное ей матричное уравнение (3.2) имеют единственное решение. Действительно, при условии, что detA ¹ 0, существует обратная матрица A^-1. Умножая обе части уравнения (3.2) слева на A^-1, получим:

(3.5)

Формула (3.5) даёт решение уравнения (3.2), причём единственное.

Пример 3.1.

Для матрицы A порядка n > 4 непосредственное нахождение обратной матрицы A^{- 1} требует много времени (операций). Поэтому формула (3.5) на практике употребляется достаточно редко.

Обычно значения неизвестных x_i (i = 1, 2, ... n) могут быть получены по известным формулам Крамера:

(3.6)

Здесь матрица A_i получается из матрицы A заменой её i-го столбца столбцом свободных членов.

Пример 3.2. Решим вышеприведенную систему по формулам Крамера:

Применяемые в настоящее время методы решения СЛАУ можно разбить на две группы: точные и приближённые.

Точными методами называются такие методы, которые в предположении, что вычисления ведутся точно (без округлений), за конечное число действий позволяют получить точные значения неизвестных x_i.

Приближенными методами называются такие методы, которые даже в предположении, что вычисления ведутся без округлений, позволяют получить решение системы (x₁, x₂, ..., x_n) лишь с заданной точностью. Точное решение СЛАУ в этих случаях может быть получено теоретически как результат бесконечного процесса.

К приближенным методам относятся метод простой итерации, метод Зейделя и т.п.

Метод Гаусса

Наиболее распространенным методом решения СЛАУ является метод Гаусса, в основе которого лежит идея последовательного исключения неизвестных. Существуют различные схемы, реализующие данный метод. Рассмотрим одну из них – схему единственного деления.

Для простоты ограничимся рассмотрением СЛАУ с четырьмя неизвестными:

(3.7)

Пусть a₁₁¹ 0 (ведущий элемент). Разделив первое уравнение на a₁₁, получим первую главную строку:

(3.8)

где (j = 2, 3, 4, 5).

Используя уравнение (3.8), можно исключить неизвестные x₁ из 2-го,
3-го и 4-го уравнений системы (3.7). Для этого последовательно умножаем уравнение (3.8) на a₂₁; a₃₁; a₄₁ и вычитаем результат из 2-го, 3-го и 4-го уравнений системы (3.7) соответственно.

В результате получим систему из трех уравнений:

(3.9)

где коэффициенты вычисляются по формуле

(i = 2, 3, 4; j = 2, 3, 4, 5). (3.10)

Далее первое уравнение системы (3.9) делим на ведущий элемент и получаем

(3.11)

где , (j = 3, 4, 5).

Аналогично предыдущему шагу, исключая x₂, как и x₁, получим систему

(3.12)

Здесь (i = 3, 4; j = 3, 4, 5).

Разделив первое уравнение системы (3.12) на , получим:

(3.13)

где (j = 4, 5).

Теперь с помощью уравнения (3.13) исключим x₃ из второго уравнения системы (3.12), окончательно получим:

, (3.14)

где (j=4, 5).

Таким образом, исходную систему (3.7) привели к составленной из главных строк (3.8), (3.11), (3.13) и (3.14) эквивалентной системе с треугольной матрицей(3.15):

(3.15)