Схема Гаусса с выбором главного элемента

 

Рассмотрим СЛАУ

 

(3.17)

 

Запишем расширенную прямоугольную матрицу коэффициентов системы (3.17):

 

. (3.18)

 

Среди элементов матрицы a_ij (i, j = 1, ...n) выберем наибольший по модулю, называемый главным элементом. Пусть им будет, например, элемент a_pq. Строка, содержащая главный элемент, называется главной строкой.

Далее вычисляем множители m_i = a_iq / a_pq для всех i ¹ p.Затем преобразуем матрицу (3.18) следующим образом: из каждой i-ой неглавной строки вычитаем почленно главную строку, умноженную на m _i . В результате получим матрицу, у которой все элементы q-го столбца за исключением a_pq, равны 0. Отбрасывая этот столбец и главную строку, получим новую матрицу M₁ с числом строк и столбцов на 1 меньше.

Над матрицей М₁ повторяем те же операции, после чего получим матрицу M₂ и т.д. Таким образом продолжаем до тех пор, пока не получим матрицу, содержащую одну строку из двух элементов, которую тоже считаем главной.

Затем объединим все главные строки, начиная с последней. После некоторой перестановки они образуют треугольную матрицу, эквивалентную исходной. На этом заканчивается этап вычислений, называемый прямым ходом. Решив систему с полученной треугольной матрицей коэффициентов, найдём последовательно значения неизвестных x _i (i = 1, 2, ..., n). На этом заканчивается обратный ход.

Смысл выбора главного элемента состоит в том, чтобы сделать возможно меньшими числа m _i и тем самым уменьшить погрешность вычислений.

 

Пример 3.4. Рассмотрим СЛАУ, состоящую из трех уравнений. Запишем расширенную матрицу

 

m₂ = -1/6; m₃ = -2/3.

 

 

m₂ = -5/16.

 

M₂ = [ 87/96 174/32].

 

x₃ = 6; x₁ = 3; x₂ = -2.

 

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса

 

Пусть дана неособенная матрица

A = [a_ij] (i, j = 1, 2, ..., n). (3.19)

Необходимо найти её обратную матрицу

A^-1 = [x_ij] (i, j = 1, 2, ..., n). (3.20)

Вспомним основное соотношение линейной алгебры:

A·A^-1 = E, (3.21)

где Е – единичная матрица.

Перемножая матрицы A и A^-1, получаем n² уравнений относительно n² неизвестных x_{i j} :

(i, j = 1, 2, ..., n), (3.22)

где

 

Таким образом, получим n систем линейных уравнений для j = 1, 2, ..., n, имеющих одну и ту же матрицу коэффициентов A и различные столбцы - свободные члены, которые можно одновременно решить методом Гаусса.

Рассмотрим это подробнее, вычислив матрицу, обратную :

 

 

Разделив все коэффициенты первой строки на a₁₁ = 2, получим первую главную строку (обратите внимание, что с nстолбцами свободных членов проводятся те же действия, что и с одним):

 

1.0 0.5 -0.05 0.5 0.5 0 0 0

 

 

1.0 13.4 -29 -0.6667 3.333 0 0

 

 

 

.

 

Для проверки перемножим полученную обратную матрицу и исходную (должны получить единичную):

 

.

 

Благодаря округлению, убеждаемся, что обратная матрица вычислена неточно. В дальнейшем можно показать, как методом простой итерации можно уточнить A^-1.

 

Вычисление определителей методом Гаусса

Пусть дана исходная матрица

 

. (3.23)

 

Необходимо вычислить D = det A.

 

Вспомним свойства определителей:

· для того чтобы умножить (разделить) определитель на какое либо число, достаточно умножить (разделить) на это число строку или столбец:

 

; (3.24)

 

· значение определителя не изменится, если его строку заменить суммой этой строки и другой, умноженной на произвольное число.

Учитывая это свойство, умножая первую строку последовательно на a₂₁, a₃₁, ..., a_n1 и вычитая из второй, третьей и т.д., получим

 

; (3.25)

 

· величина определителя равна сумме произведений элементов строки (столбца) на (-1)^i+j |A |_{i j} , где |A |_{i j} – соответствующие миноры.

Используя это свойство, представим определитель как сумму произведений элементов первого столбца на соответствующие миноры. При этом учтем, что за исключением первого элемента значения остальных элементов столбца равны нулю.

Таким образом, мы понизили порядок определителя на 1. Применим к полученному определителю порядка n - 1 такие же преобразования. Выполняя n шагов, найдем определитель D как произведение ведущих элементов:

 

(3.26)

 

Пример 3.5.

 

 

Замечания

· При наличии решения, точные методы всегда дадут его через конечное число шагов.

· В рамках точных методов вычислительная погрешность увеличивается с ростом размеров СЛАУ и не может быть уменьшена.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: