Технологическая карта работы в модуле. 3.2. Практическое занятие №6 Определение главных центральных моментов инерции. Теоретический материал

№ недели	Вид аудиторного занятия	Самостоятельная работа	Контроль выполнения самостоятельной работы
	Лекция №5	Выполнение РПР №3(3.1), подготовка к занятиям	Консультации по РПР№3
Практическое занятие №6
	Практическое занятие № 7	Выполнение РПР №3(3.2), подготовка к занятиям
	Лекция №6
Практическое занятие №8
	Лабораторная работа №2
	Лекция №7	Выполнение РПР №3(3.3), подготовка к занятиям
Практическое занятие №9
	Практическое занятие №10	Выполнение РПР №3(3.4), подготовка к занятиям. Сдача РПР №3	Прием РПР №3

3.2. Практическое занятие №6
Определение главных центральных моментов инерции составного сечения

Теоретический материал

Что такое главные центральные моменты инерции?

Это осевые моменты инерции I_x и I_y, вычисленные относительно главных центральных осей.

Что такое главные центральные оси?

Это оси, проходящие через центр тяжести сечения (центральные), относительно которых центробежный момент инерции равен нулю (главные). Ось симметрии всегда является главной центральной осью.

Зачем нужно уметь определять главные центральные моменты инерции?

Эти величины характеризуют жесткость поперечного сечения конструкции, работающей в условиях изгиба, и используются при расчетах такой конструкции на прочность и жесткость.

Что такое статический момент сечения площадью A относительно заданной оси x?

Это величина, равная:

,

где – координата центра тяжести сечения относительно оси х. Очевидно, что статические моменты сечений относительно их главных центральных осей равны нулю.

Зачем нужно уметь определять статические моменты?

С помощью статических моментов несложно определить координаты центра тяжести сложного сечения, состоящего из набора простейших. Если положение центров тяжести этих простейших сечений известно, то координаты центра тяжести всего сложного сечения относительно осей X и Y равны:

; ,

где ; – статические моменты простейших сечений, составляющих сложное.

 

Чтобы научиться определять главные центральные моменты инерции сложного сечения надо знать !

1. Алгоритм определения положения центра тяжести сложного сечения:

· Разделить сложную фигуру на простые фигуры, координаты центров тяжести которых известны.

· Выбрать вспомогательную систему координат, в которой будет определяться положение центра тяжести всей фигуры. Рекомендации: для рациональности решения целесообразно оси вспомогательной системы координат провести через центр тяжести одной из составляющих простых фигур.

· Определить площади А_i и статические моменты простых фигур относительно вспомогательных осей: ; , где х_Ci и y_Ci – координаты точек C_i центров тяжести простых фигур в системе вспомогательных осей, i – номер простой фигуры.

· Вычислить координаты точки C центра тяжести всей фигуры по формулам:

;

2. Теорему о суммировании осевых моментов инерции:

Момент инерции сложного сечения относительно заданной оси равен алгебраической сумме моментов инерции простейших сечений, его составляющих, вычисленных относительно той же самой оси.

3. Формулы для определения главных центральных моментов инерции простейших сечений:

Формы простейших сечений	Главные центральные моменты инерции
	,
	,
	,
	,
	,

 

4. Теорему о преобразовании осевых моментов инерции при параллельном переносе осей:

Осевой момент инерции сечения относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение квадрата расстояния между осями на площадь сечения:

Алгоритм определения главных центральных моментов инерции сложного сечения

1. Определить положение центра тяжести сложного сечения согласно приведенному выше алгоритму;

2. Провести главные центральные оси сечения, одна из которых является осью симметрии, а другая, ей перпендикулярная, проходит через центр тяжести;

3. Провести главные центральные оси простейших сечений, составляющих сложное, и вычислить главные центральные моменты инерции этих сечений, воспользовавшись соответствующими формулами;

4. Найти расстояния между главной центральной осью всего сложного сечения и главной центральной осью каждого простейшего сечения, а затем определить моменты инерции каждого простейшего сечения относительно общей главной центральной оси, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе осей;

5. Определить главные центральные моменты инерции сложного сечения по теореме о суммировании моментов инерции.

 

3.2.2. Пример решения задачи

Задача

Для заданного сложного сечения определить положение центра тяжести и найти главные центральные моменты инерции.

РЕШЕНИЕ

Сечение имеет одну ось симметрии, следовательно, она является главной центральной осью ( у ) и центр тяжести сечения лежит на этой оси. Вторая главная центральная ось ( х ) перпендикулярна первой и проходит через центр тяжести сечения.

Определим положение центра тяжести сложного сечения по оси у. Для этого:

· разобьем сложное сечение на простейшие, его составляющие: прямоугольник (1), два одинаковых треугольника (2) и полукруг (3);

· отметим центры тяжести простейших сечений точками С₁, С₂, и С₃, соответственно. Центр тяжести прямоугольника лежит на пересечении его диагоналей, у треугольников на расстоянии одной трети от основания, а у полукруга он смещен от его основания на расстояние, равное . Проведем горизонтальные оси х₁, х₂, х₃ через точки С₁, С₂ и С₃, соответственно. Эти оси являются главными центральными осями простейших сечений;

· выберем вспомогательную систему координат, относительно которой будем находить положение центра тяжести всей фигуры. Свяжем её, например, с центром тяжести прямоугольника, т.е. х₁С₁у – вспомогательная система координат;

· определим ординаты точек С₁, С₂, и С₃ в выбранной системе координат:

, , ;

· найдем площади простейших фигур:

для прямоугольника ,

для треугольника ,

для полукруга ;

· найдем статические моменты простейших фигур относительно вспомогательной оси х₁:

,

,

;

· подставим найденные значения в формулу для определения координаты общего центра тяжести:

.

Знак «–» у третьих слагаемых числителя и знаменателя формулы означает, что третья фигура (полукруг) не входит в сложное сечение (является отверстием, «вынимается» из прямоугольника).

· отложим по оси у от вспомогательной оси х₁ вверх отрезок, равный 0, 79а, и нанесем точку C – общий центр тяжести сложного сечения. Проведем через точку C ось х – вторую главную центральную ось сложного сечения. Таким образом, оси х и у – главные центральные оси сложного сечения.

Найдем теперь относительно этих осей главные центральные моменты инерции I_x и I_y. Сначала определим момент I_x. Для этого:

· Найдем расстояния между общей осью х и параллельной ей осью каждой простейшей фигуры х₁, х₂, х₃, соответственно, т.е. длины отрезков СС₁, СС₂ и СС₃:

· Определим осевые моменты инерции простейших фигур относительно их главных центральных осей:

– для прямоугольника,

– для треугольника,

– для полукруга.

· Пересчитаем их относительно общей главной центральной оси х, воспользовавшись теоремой о параллельном переносе осей:

· Сложим найденные величины алгебраически, согласно теореме о сложении моментов инерции. Таким образом, главный центральный момент инерции сложного сечения относительно оси х равен:

Полукруг вырезается, поэтому его момент инерции в выражении берется со знаком «–».

Найдем теперь главный центральный момент инерции относительно оси у. Здесь расчеты будут несколько проще, поскольку центры тяжести прямоугольника и полукруга лежат на этой оси и она является главной центральной осью как для этих простых фигур, так и всей сложной, т.е. оси у₁, у₃ и у совпадают, а следовательно не нужно применять теорему о параллельном переносе осей. Однако, для треугольников смещение осей у₂ и у есть, значит, нужно определить это расстояние и применить теорему о параллельном переносе осей. Таким образом:

Таким образом, мы нашли главные центральные моменты инерции заданного сложного сечения:

,

Задача решена.

 

3.2.3. Задача для самостоятельного решения на занятии

Для заданного сложного сечения определить положение центра тяжести и найти главные центральные моменты инерции.

3.2.4. Потренируемся?

· Пройти тестовый тренинг (Приложение 2, тесты к ПЗ №6, стр.220)

· Решить задачу 3.1 из РПР №3 (Приложение 4, стр.282)

 

3.3. Практическое занятие №7
Расчет на прочность балок при прямом изгибе

Теоретический материал

Что такое условие прочности по допускаемому напряжению?

Известно, что в условиях прямого поперечного изгиба доминирующее значение в оценке прочности имеют нормальные напряжения, возникающие от внутреннего изгибающего момента, которые вычисляются по следующей формуле: , где М_х – величина внутреннего изгибающего момента в данном сечении, W_х – осевой момент сопротивления. Условием прочности по допускаемому напряжению при прямом изгибе считается выполнение следующего неравенства:

где – величина допускаемого напряжения, являющаяся справочной величиной или определяемая по характеристикам прочности для данной марки материала.

Как распределяется нормальное напряжение по поперечному сечению балки?

Нормальное напряжение по ширине сечения не изменяется, а по высоте сечения изменяется по линейному закону, причем оно равно нулю в точках нейтральной линии (горизонтальной главной центральной оси х) и принимает максимальное значение в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии (опасных точках). Нейтральная линия делит все сечение на две зоны – зону растянутых (+) и сжатых (–) волокон.

Что такое осевой момент сопротивления?

Это геометрическая характеристика, которая зависит от формы и размеров поперечного сечения, а также от положения опасных точек в нем:

,

где – осевой момент инерции сечения, – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленных (опасных) точек сечения.

Чем по прочности отличаются пластичный и хрупкий материалы?

Пластичный материал одинаково сопротивляется напряжениям растяжения и сжатия, поэтому для конструкций из пластичных материалов допускаемое напряжение принимается единое:

,

где – предел текучести материала, – коэффициент запаса по текучести.

Хрупкий материал лучше сопротивляется нагрузкам сжатия и хуже нагрузкам растяжения, поэтому допускаемые напряжения здесь в зонах растяжения и сжатия разные:

,

,

причем [σ ]с> [σ ]р,

где , – пределы прочности материала при сжатии и при растяжении, соответственно, – коэффициент запаса по прочности.

Алгоритм расчета на прочность балок из пластичного материала

1. Определить положение опасного сечения:

· Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента ,

· По эпюре определить максимальное значение изгибающего момента.

2. Определить положение опасных точек в опасном сечении:

· Определить положение нейтральной линии,

· Найти – расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленных (опасных) точек сечения.

3. Определить осевой момент сопротивления: .

4. Записать условие прочности и решить его соответственно поставленной задаче: .

Алгоритм расчета на прочность балок из хрупкого материала

1. Определить положение опасного сечения, построив эпюры поперечной силы и изгибающего момента .

2. Определить положение нейтральной линии в опасном сечении, определив положение его центра тяжести.

3. Решить вопрос о рациональности положения сечения, обеспечив соответствие: при > расстояние должно быть больше .

4. Определить момент инерции сечения относительно нейтральной линии.

5. Определить положение опасного волокна в опасном сечении, проведя следующий анализ:

· если > (A), то опасным является наиболее сжатое волокно,

· если < (B), то опасным является наиболее растянутое волокно в опасном сечении.

6. Записать условие прочности и решить его соответственно поставленной задаче:

· в случае выполнения условия (A),

· в случае выполнения условия (B).

 

3.3.2. Пример решения задачи

Задача

Двухопорная балка постоянного поперечного сечения нагружена заданной системой поперечных сил и изгибающих моментов.

Требуется:

1. Для данной балки, изготовленной из пластичного материала с допускаемым напряжением , подобрать из условия прочности двутавровое, прямоугольное (h/b=2) и круглое сечения. Дать заключение о рациональности формы сечения по расходу материала.

2. Для данной балки, изготовленной из хрупкого материала с допускаемыми напряжениями , , определить из условия прочности характерный размер сложного поперечного сечения, предварительно решив вопрос о его рациональном положении.

Принять: , .

РЕШЕНИЕ

1. Рассмотрим первый случай, когда балка изготовлена из пластичного материала.

Построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента (см. практическое занятие №2, стр.38):

По эпюре определяем положение опасного сечения – сечение L наиболее опасно, .

Подберем из условия прочности размеры трех форм сечений: двутаврового, прямоугольного и круглого. Для этого, прежде всего, найдем из условия прочности, каким минимальным моментом сопротивления должно обладать поперечное сечение балки:

.

Далее, для каждой из трех форм сечений выразим момент сопротивления с геометрической точки зрения, т.е. через характерный размер сечения, и, приравняв его к расчетному моменту сопротивления , определим характерный размер.

а) Двутавровое сечение:

Тонкостенные профили: двутавры, швеллеры, уголки выпускаются промышленностью определенных стандартных размеров. Номер профиля соответствует его высоте, выраженной в сантиметрах. Все характерные размеры таких профилей, а также их геометрические характеристики (в том числе и ) сведены в таблицы, которые называются «Сортаментом прокатных профилей» (приводятся в соответствующих ГОСТах, а также в справочниках, учебниках и задачниках по сопротивлению материалов). Нам остается лишь по сортаменту указать номер двутавра, у которого момент сопротивления ближайший больший к расчетному: по сортаменту (ГОСТ 8239-89) подходит двутавр №24а, у которого , а площадь сечения (см. Приложение 5, стр.289).

б) Прямоугольное сечение (h/b=2):

Нейтральная линия прямоугольника – главная центральная ось . Расстояние от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения . Тогда . Учитывая, что , выразим момент сопротивления прямоугольника через характерный размер b: . Приравняв его к расчетному значению, находим минимально допустимый размер прямоугольника:

,

тогда площадь прямоугольника: .

в) Круглое сечение:

Здесь все аналогично: нейтральная линия – ось , . Тогда

.

Площадь круглого сечения: .

Наиболее рациональной формой сечения по расходу материала является та, которая имеет наименьшую площадь:

< < .

Следовательно, двутавровое сечение является наиболее рациональным.

2. Рассмотрим балку из хрупкого материала и подберем из условия прочности характерный размер [a] заданного сложного сечения, геометрические характеристики которого были определены на практическом занятии №6.

Нейтральная линия сечения – главная центральная ось , проходящая через центр тяжести. Она делит всё сечение на две зоны – растянутых и сжатых волокон. Учитывая правило знаков для эпюры изгибающих моментов (строится на растянутых волокнах), легко определить расположение соответствующих зон в опасном сечении. На эпюре в опасном сечении L ордината расположена выше осевой линии, следовательно, в этом сечении сверху от нейтральной линии расположены растянутые волокна, а сверху – сжатые. Определим расстояния от нейтральной линии до наиболее удаленных точек сечения в зонах растяжения и сжатия: и , учитывая положение центра тяжести сечения (см. стр. 105):

Решим вопрос о рациональности расположения сечения. Поскольку > и > , значит сечение расположено рационально. В противном случае его нужно перевернуть на .

Определим положение опасного волокна в опасном сечении:

< ,

следовательно, согласно условию (B) алгоритма, наиболее опасным является растянутое волокно.

Запишем условие прочности для растянутого волокна и определим характерный размер сложного сечения , учитывая ранее определенное значение момента инерции (стр. 106).

.

Задача решена.

 

3.3.3. Задача для самостоятельного решения на занятии

Для данной балки, изготовленной из хрупкого материала с допускаемыми напряжениями , :

определить из условия прочности характерный размер сложного поперечного сечения, предварительно решив вопрос о его рациональном положении.

3.3.4. Потренируемся?

· Пройти тестовый тренинг (Приложение 2, тесты к ПЗ №7, стр.224)

· Решить пункты 1, 2 и 3 задачи 3.2 из РПР №3 (Приложение 4, стр.285)

3.4. Практическое занятие №8
Расчет на жесткость балок при прямом изгибе

Теоретический материал

Какие перемещения испытывают поперечные сечения балки при прямом изгибе?

Согласно гипотезе Бернулли поперечные сечения балки при прямом изгибе не искривляются, а лишь вертикально смещаются, поворачиваясь при этом относительно нейтральной линии на некоторый угол. Таким образом, перемещениями при изгибе являются вертикальное смещение (прогиб) сечений и угол поворота сечений , причем функция углов поворота связана с функцией прогибов дифференциальной зависимостью:

,

поэтому из двух функций перемещений основной является функция прогибов.

Как рассчитать балку на жесткость при изгибе?

Для этого необходимо определить максимальный прогиб балки , который можно найти, получив аналитическое выражение для функции прогибов . Но это достаточно сложная с математической точки зрения задача. Поэтому, чтобы оценить деформацию балки при изгибе рекомендуется следующее:

· определить прогибы в граничных незакрепленных сечениях балки;

· изобразить приближенный вид изогнутой оси балки, учитывая найденные значения перемещений, условия закрепления (закрепленные сечения не смещаются), а также, согласуя направление выпуклости осевой линии с участками эпюры изгибающих моментов , на которых момент не меняет знак (эпюра располагается со стороны растянутых волокон относительно осевой линии);

· глядя на вид изогнутой оси балки, определить, в каком её сечении прогиб наибольший, найти и проверить выполнение условия жесткости.

Что такое условие жесткости при изгибе?

Под условием жесткости понимается ограничение максимального вертикального смещения сечений балки величиной допускаемого перемещения:

,

где d_max – величина максимального прогиба балки, [d] – допускаемое перемещение, обычно назначаемое из условий эксплуатации.

Как определить перемещение конкретного сечения балки при изгибе?

Перемещение конкретного сечения балки определяется методом Мора.

Алгоритм метода Мора.

1. Для заданной балки построить эпюру изгибающих моментов от действия внешней нагрузки (грузовую эпюру).

2. Разгрузить балку от внешних нагрузок.

3. К сечению балки, перемещение которого необходимо определить, приложить в направлении перемещения единичную безразмерную сосредоточенную силу и построить от действия этой силы единичную эпюру изгибающих моментов ;

4. Искомое перемещение определить путем «перемножения» грузовой эпюры на единичную эпюру , используя:

· либо интеграл Мора:

,

(1)

где k – количество участков балки, – длина i-того участка, – функции грузового и единичного изгибающих моментов на i-том участке балки, соответственно, Е – модуль Юнга материала балки, – осевой момент инерции поперечного сечения. Таким образом, интегралы составляются и находятся для каждого участка балки, а результат суммируется;

· либо формулу Симпсона:

,

(2)

где , , – ординаты грузовой эпюры изгибающего момента , взятые на левой границе, в средней точке и на правой границе i‑ того участка балки, соответственно; аналогично , , – ординаты единичной эпюры изгибающего момента , взятые на левой границе, в средней точке и на правой границе i-того участка балки. Остальные обозначения те же;

· либо формулу Верещагина:

,

(3)

где – площадь грузовой эпюры изгибающего момента на i‑ том участке балки, – ордината единичной эпюры изгибающего момента , расположенная под центром тяжести грузовой эпюры i-го участка. Остальные обозначения те же.

Алгоритм расчета на жесткость балок при изгибе.

1. Построить эпюру изгибающего момента .

2. Определить перемещения граничных незакрепленных сечений балки методом Мора.

3. Изобразить приближенный вид изогнутой оси балки и определить максимальный прогиб .

4. Записать условие жесткости: и сделать вывод о его выполнении.

3.4.2. Пример решения задачи

Задача

Двухопорная балка двутаврового сечения, изготовленная из стали Ст3, нагружена системой поперечных сил и изгибающих моментов.

Провести проверку жесткости балки, если её поперечное сечение – двутавр №24а с осевым моментом инерции . Принять: , (где L – расстояние между опорами).

РЕШЕНИЕ

1. Построим эпюры поперечной силы и изгибающего момента методом сечения (см. практическое занятие №2, стр.38).

2. Определим перемещения незакрепленных сечений балки: С, D, L, K методом Мора.

Для определения прогиба в сечении C разгрузим балку от внешних нагрузок и приложим к этому сечению единичную безразмерную сосредоточенную силу в направлении перемещения (вертикально). Построим от её действия единичную эпюру изгибающих моментов , определив предварительно из уравнений равновесия реакции в опорах: , .

«Перемножим» грузовую эпюру моментов на единичную , используя формулу Симпсона (2). Количество участков перемножения k=5: BC, CD, DL, LK и KP. Методом сечений либо геометрически найдем значения грузового и единичного моментов посередине длины каждого участка (предлагается это выполнить самостоятельно).

Тогда:

,

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться: