ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомится с численными методами вычисления определенных интегралов, научится решать задачи с использованием формулы Симпсона, трапеций, правых и левых прямоугольников, метод Монте-Карло.

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 9.1.

Вычислить интеграл методом левых и правых прямоугольников, трапеций и Симпсона.

Решение:

В командном окне программы МАТLAB наберем следующую последовательность операторов:

> > f=inline('reallog(x)'); % задание подынтегральной функции

> > a=3;

> > b=5;

> > N=100;

> > i=1: N;

> > dx=(b-a)/(N-1); % шаг интегрирования

> > x=a: dx: b; % вычисление координат узлов сетки

> > y=feval(f, x); % вычисление значений функции в узлах сетки

% вычисление интеграла методом правых прямоугольников

> > m=2: N;

> > y1(m-1)=y(m);

> > Fr=sum(y1)*dx

Fr =

2.7565

% вычисление интеграла методом левых прямоугольников

> > m=1: N-1;

> > y1(m)=y(m);

> > Fl=sum(y1)*dx

Fl =

2.7462

% вычисление интеграла методом трапеций

> > s=0;

> > for i=2: N-1

s=s+y(i);

end;

> > Ft=(0.5*y(1)+s+0.5*y(N))*dx

Ft =

2.7513

% вычисление интеграла методом Симпсона

> > s=0;

> > for i=2: N-1

if i-2*ceil(i/2)==0

k=4;

else

k=2;

end;

s=s+k*y(i);

end;

> > Fs=(y(1)+s+y(N))*dx/3

Fs =

2.7405

Пример 9.2.

Вычислить интеграл методом Монте-Карло.

Решение:

Значение интеграла можно вычислить по формуле:

, (9.1)

где n – число точек, удовлетворяющих условию , N – полное количество точек, S – площадь прямоугольника;

или:

, (9.2)

где x_i – последовательность случайных чисел с равномерным законом распределения на отрезке [a, b].

В командном окне программы МАТLAB введем следующее:

> > f=inline('reallog(x)');

> > a=3; % задание координат вершин прямоугольника

> > b=5;

> > Ymin=0;

> > Ymax=feval(f, b);

> > N=1000; % генерация случайных координат

> > x=a+(b-a)*rand(N, 1);

> > y=Ymin+(Ymax-Ymin)*rand(N, 1);

> > s=0; % подсчет числа точек, попавших под график функции

> > for i=1: N

if y(i)< =feval(f, x(i))

s=s+1;

end;

end;

> > Fmk=s*(b-a)*(Ymax-Ymin)/N % вычисление значения интеграла

Fmk =

2.7425

% вычисление интеграла в соответствии с (9.2)

> > F=feval(f, x);

> > Fmk=(b-a)*sum(F)/N

Fmk =

2.7463

 

Вычисление интеграла в системе MATLAB осуществляется с помощью следующих функций:

ü quad(¢ fun¢, a, b, tol) – возвращает значение интеграла от функции fun на интервале [a, b] с заданной относительной погрешностью tol ( по умолчанию tol=10^-3), при вычислении используется адаптивный метод Симпсона;

ü int(y(x), a, b) – возвращает значение интеграла от функции y(x) на интервале [a, b] аналитическими методами (если границы не задавать, то вычисляет неопределенный интеграл).

Пример 9.3.

Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

.

Программа решения интеграла с помощью функции quad имеет вид:

> > y='log(x)';

> > quad(y, 3, 5)

После нажатия клавиши < Enter> получим следующее решение:

ans =

2.7514

Рассмотрим решение интеграла с помощью функции int:

> > syms x; %определение символьных переменных

> > y=log(x); % ввод подынтегрального выражения

> > int(y, 3, 5)

 

ans =

 

5*log(5)-2-3*log(3)

 

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. В каком случае используется численное интегрирование?

2. Постановка задачи численного интегрирования.

3. Какие существуют методы интегрирования функций?

4. Графическая интерпретация метода трапеций.

5. Как оценить погрешность метода трапеций?

6. Графическая интерпретация метода Симпсона.

7. Как оценить погрешность метода Симпсона?

8. Графическая интерпретация метода прямоугольников.

9. Как оценить погрешность метода прямоугольников?

10. Чем отличаются формулы метода трапеций и метода Симпсона?

11. Как влияет на точность численного интегрирования величина шага h?

12. Чем отличается вычисление погрешности метода трапеций и Симпсона?

13. Основная идея метода Монте-Карло?

14. Графическая интерпретация метода Монте-Карло.

ЗАДАНИЕ

Найти приближенное значение интеграла заданной функции f(x) на отрезке [a, b] по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона, Монте-Карло при делении отрезка на 2000 равных частей, произвести оценку погрешности методов интегрирования и сравнить точность полученных результатов: составить функцию, возвращающую значение интеграла на основе формулы метода Монте-Карло. Сравнить результаты, полученные разными методами.

 

Варианты заданий.

№ варианта	f(x)	[a, b]	№ варианта	f(x)	[a, b]
		[0; 3]			[1, 5; 2, 5]
		[0; 1]			[1; 7]
		[1; 2]			[0; 1]
		[2; 3]			[0; 3]
		[2; 3]			[0; ]
		[1; 2]			[0; 5]

 

РАБОТА № 10

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: