|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ Ознакомится с численными методами вычисления кратных интегралов, научится решать задачи с использованием метода Монте-Карло.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю. 2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать: · титульный лист; · исходные данные варианта; · решение задачи; · результаты решения задачи.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Пример 10.1. Вычислить методом Монте-Карло двойной интеграл Рис. 10.1. Область D. Решение: Записав данный двойной интеграл в виде повторного, имеем 1. Создайте файл F_10.m (листинг 10.1), содержащий описание функции Листинг 10.1. Файл F_10.m. function z=F_10(x, y) z=sqrt(x+y); 2. Создайте файл G1_10.m (листинг 10.2), содержащий описание функции Листинг 10.2. Файл G1_10.m. function z=G1_10(x) z=3*x; 3. Создайте файл G2_10.m (листинг 10.3), содержащий описание функции Листинг 10.3. Файл G2_10.m. function z=G2_10(x) z=8*x; 4. Создайте файл KrInt.m (листинг 10.4), содержащий описание функции, вычисляющей двойной интеграл методом Монте-Карло по формуле Листинг 10.4. Файл KrInt.m. function z=KrInt(f, a, b, c, d, g1, g2, N) S=0; for i=1: N x=a+(b-a)*rand(1); y=c+(d-c)*rand(1); ng=feval(g1, x); vg=feval(g2, x); if (y< =vg) & (y> =ng) S=S+feval(f, x, y); end end z=(b-a)*(d-c)*S/N; 5. Вычислите интеграл: > > I=KrInt('F_10', 0, 4, 0, 32, 'G1_10', 'G2_10', 1000) I = 163.4583 Таким образом,
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ 1. В каком случае используется численное интегрирование? 2. Постановка задачи численного интегрирования. 3. Какие существуют методы вычисления кратных интегралов? 4. Основная идея метода Монте-Карло. 5. Аналог формул прямоугольников. 6. Аналог формулы трапеций. 7. Аналог формул Симпсона. ЗАДАНИЕ Вычислить двойной интеграл I по области D методом Монте-Карло.
Варианты заданий.
Работы 11-17 выполняются студентами 3 курсы при изучении дисциплины «Архитектура ЭВМ и организация вычислительных процессов» РАБОТА № 11 МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Сформировать у студентов представление о подходе к решению задачи о среднеквадратичном приближении функции, заданной таблично; привить знания о методах аппроксимации элементарными функциями; выработать навыки работы в среде программы МАТLAB.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю. 2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать: · титульный лист; · исходные данные варианта; · решение задачи; · результаты решения задачи.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ Пример 11.1. Найти уравнение линейной и гиперболической регрессий для функции, заданной таблично:
Решение: а) Вычислить коэффициенты a и b уравнения линейной регрессии можно, воспользовавшись системой:
или формулами:
В командном окне программы MATLAB наберем следующую последовательность операторов: > > x=[1; 2; 3; 4; 5]; % задание исходных данных > > y=[4; 5; 3.5; 1.5; 2]; > > x2=[x.^2]; > > xy=[x.*y]; > > Mx=1/6*sum(x); % вычисление элементов матриц М и d > > My=1/6*sum(y); > > Mx2=1/6*sum(x2); > > Mxy=1/6*sum(xy); > > M(1, 1)=Mx2; % задание матрицы М > > M(1, 2)=Mx; > > M(2, 1)=Mx; > > M(2, 2)=1; > > d(1, 1)=Mxy; % задание матрицы d > > d(2, 1)=My; > > Coeff=M^-1*d % решение системы линейных уравнений (11.1) Coeff = 0.0286 2.5952 > > a=(Mxy-Mx*My)/(Mx2-Mx^2) % вычисление коэффициентов с помощью формул (11.3) a = 0.0286 > > b=(Mx2*My-Mx*Mxy)/(Mx2-Mx^2) b = 2.5952 % вычисление суммы квадратов отклонений > > y1=a*x+b; > > e2=(y-y1).^2; > > S=sum(e2) S = 10.0840 % построение графика полученной функции и исходных данных > > plot(x, y1, x, y, '*') Получили уравнение линейной регрессии у=0, 0286х+2, 5952, сумму квадратов отклонений S=10, 084 и график (рис 11.1).
Рис. 11.1. Исходные данные и график для линейной функции
б) Для нахождения гиперболической регрессии воспользуемся заменой
для функции В командном окне программы MATLAB введем следующее: > > x=[1; 2; 3; 4; 5]; > > u=(1./x); % введение замены переменной х > > y=[4; 5; 3.5; 1.5; 2]; > > u2=[u.^2]; > > uy=[u.*y]; > > Mu=1/6*sum(u); > > My=1/6*sum(y); > > Mu2=1/6*sum(u2); > > Muy=1/6*sum(uy); > > M(1, 1)=Mu2; > > M(1, 2)=Mu; > > M(2, 1)=Mu; > > M(2, 2)=1; > > d(1, 1)=Muy; > > d(2, 1)=My; > > Coeff=M^-1*d Coeff = 3.9564 1.1610 > > a=(Muy-Mu*My)/(Mu2-Mu^2) a = 3.9564 > > b=(Mu2*My-Mu*Muy)/(Mu2-Mu^2) b = 1.1610 > > y2=a1./x+b1 > > e2=(y-y2).^2 > > S=sum(e2) S = 6.1769 > > plot(x, y2, x, y, '*') Получили уравнение гиперболической регрессии у=3, 9564/х+1, 1610, сумму квадратов отклонений S=6, 1769 и график (рис 11.2.).
11.2.Исходные данные и график для гиперболической функции ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ 1. Общая постановка задачи нахождения приближающей функции. 2. В чем суть приближения таблично заданной функции по методу наименьших квадратов? 3. Какие функции могут быть использованы в качестве приближающих? 4. Как находятся отклонения измеренных значений Y от вычисленных по формуле приближающей функции? 5. Как найти приближающую функцию в виде линейной функции F(x, a, b)=ax+b? 6. Как найти приближающую функцию в виде квадратичной функции F(x, a, b, c)=ax2+bx+c? 7. Как привести показательную, степенную, логарифмическую функции к линейной? 8. Как функция трех переменных может принимать наименьшее значение? 9. Что такое коэффициент корреляции и как он находится? 10. Каковы границы значения коэффициента корреляции и что они показывают? 11. Что такое отклонение? 12. Как можно определить правильность вида выбранной функции. ЗАДАНИЕ 1. Используя данные таблицы и применяя стандартные замены переменных, найти уравнения следующих видов регрессий: · линейной, · гиперболической, · степенной, · показательной, · логарифмической. 2. Сравнить качество полученных приближений путем сравнения их отклонений. 3. Построить графики получившихся зависимостей и табличных значений аргументов и функции.
Варианты заданий.
РАБОТА № 12 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Повторить теоретический материал по теме и самостоятельно рассмотреть средства реализации спектрального анализа в пакете MATLAB.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю. 2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать: · титульный лист; · исходные данные варианта; · решение задачи; · результаты решения задачи.
ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ 1. Разложение периодических функций в ряд Фурье. 2. Эффект Гиббса. 3. Спектральный анализ дискретных функций конечной длительности. 4. Быстрое преобразование Фурье (БПФ). ЗАДАНИЕ Используя функции пакета MATLAB для вычисления БПФ, найти спектр функций, заданной набором дискретных значений в N=8192 точках на интервале [0, 2]. Данная функция является суммой двух периодических функций
Варианты заданий.
РАБОТА № 13 |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 713; Нарушение авторского права страницы
, где область D ограничена линиями 
(рис. 10.1).
. Здесь а=0, b=4, 
далее, 
, поэтому с=0, d=32.
.
.
.
.
.
(11.1) где 
(11.2)
(11.3)
и рассмотрим таблицу
.
.