РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении систем дифференциальных уравнений в различных областях; привить умения решать задачу Коши для систем дифференциальных уравнений методом Эйлера, Рунге-Кутты; развить навыки проверки полученных результатов с помощью прикладных программ.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Изучить теоретическую часть. Выполните задания, соответствующие номеру Вашего варианта, и продемонстрируйте их преподавателю.

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 14.1.

Решить систему при данных начальных условиях методом Эйлера.

Решение:

Сначала приведем систему к нормальному виду, т.е. к виду, разрешенному относительно производных

1. Создайте файл Eiler_14.m (листинг 14.1), содержащий описание функции, возвращающей решение системы дифференциальных уравнений методом Эйлера.

Листинг 14.1. Файл Eiler_14.m

function [T, X, Y]=Eiler_14(t0, t1, x0, y0, N)

dt=(t1-t0)/N;

t(1)=t0;

x(1)=x0;

y(1)=y0;

for i=1: N

t(i+1)=t(1)+dt*i;

x(i+1)=x(i)+dt*F1_14(t(i), x(i), y(i));

y(i+1)=y(i)+dt*F2_14(t(i), x(i), y(i));

end;

T=t;

X=x;

Y=y;

function z=F1_14(t, x, y)

z=-3*y+cos(t)-exp(t);

function z=F2_14(t, x, y)

z=4*y-cos(t)+2*exp(t);

2. Выполнить следующую последовательность команд:

> > [T, X, Y]=Eiler_14(0, 5, -3/17, 4/17, 50);

> > plot(T, X, ['R', '*'], T, Y, ['B', '> '])

Рис. 14.1. Визуализация численного решения, полученного методом Эйлера

Пример 14.2.

Решить систему при данных начальных условиях методом Рунге-Кутта.

Решение:

1. Создайте файл RungeKutta_14.m (листинг 14.2), содержащий описание функции, возвращающей решение системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты.

Листинг 14.2. Файл RungeKutta_14.m

function [T, X, Y]=RungeKutta_14(t0, t1, x0, y0, N)

dt=(t1-t0)/N;

t(1)=t0;

x(1)=x0;

y(1)=y0;

for i=1: N

t(i+1)=t(1)+dt*i;

kx1=dt*F1_14(t(i), x(i), y(i));

ky1=dt*F2_14(t(i), x(i), y(i));

kx2=dt*F1_14(t(i)+dt/2, x(i)+kx1/2, y(i)+ky1/2);

ky2=dt*F2_14(t(i)+dt/2, x(i)+kx1/2, y(i)+ky1/2);

kx3=dt*F1_14(t(i)+dt/2, x(i)+kx2/2, y(i)+ky2/2);

ky3=dt*F2_14(t(i)+dt/2, x(i)+kx2/2, y(i)+ky2/2);

kx4=dt*F1_14(t(i)+dt, x(i)+kx3, y(i)+ky3);

ky4=dt*F2_14(t(i)+dt, x(i)+kx3, y(i)+ky3);

x(i+1)=x(i)+1/6*(kx1+2*kx2+2*kx3+kx4);

y(i+1)=y(i)+1/6*(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4);

end;

T=t;

X=x;

Y=y;

function z=F1_14(t, x, y)

z=-3*y+cos(t)-exp(t);

function z=F2_14(t, x, y)

z=4*y-cos(t)+2*exp(t);

2. Выполнить следующую последовательность команд:

> > [T, X, Y]=RungeKutta_14(0, 5, -3/17, 4/17, 50);

> > plot(T, X, ['R', '*'], T, Y, ['B', '> '])

Рис. 14.2. Визуализация численного решения, полученного методом Рунге-Кутты

Пример 14.3.

Решить систему при данных начальных условиях с использованием функции ode().

Решение:

1. Создать m-файл функции вычисления правых частей дифференциальных уравнений.

Пусть имя файла – sisdu.m, тогда функция может иметь следующий вид:

function z=sisdu(t, y)

z1=-3*y(2)+cos(t)-exp(t);

z2=4*y(2)-cos(t)+2*exp(t);

z=[z1; z2];

2. Выполнить следующие действия:

> > t0=0; tf=5; y0=[-3/17, 4/17];

> > [t, y]=ode23('sisdu', t0, tf, y0);

> > plot(t, y)

Рис. 14.3. Визуализация численного решения, полученного с помощью функции ode23.

ПРИМЕРНЫЕ ВОПРОСЫ НА ЗАЩИТЕ РАБОТЫ

1. Что значит – решить задачу Коши для системы дифференциальных уравнений?

2. Какие существуют методы решения систем дифференциальных уравнений

3. Применение, каких формул позволяет получить решение системы дифференциальных уравнений по методу Эйлера?

4. Применение, каких формул позволяет получить решение системы дифференциальных уравнений по методу Рунге-Кутты?

ЗАДАНИЕ

1. Найдите решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее начальным условиям на промежутке [0, 1]с шагом h=0, 01:

а) методом Эйлера;

б) методом Рунге-Кутта;

2. Построить графики функций.

3. Сравнить результаты и сделать вывод.

Варианты заданий.

№ варианта	Задания
a	m
	0, 1	1, 2
	0, 2	1, 5
	0, 3	1, 7
	0, 4	1, 9
	0, 5
	0, 6	1, 9
	0, 7	2, 3
	0, 8	2, 7
	0, 9
	0, 1	1, 5
	0, 2	1, 1
	0, 3

РАБОТА № 15

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Сформировать у студентов представления о применении дифференциальных уравнений высших порядков в различных областях; привить умения решать задачу Коши для дифференциальных уравнений высших порядков с помощью прикладных программ; развить навыки проверки полученных результатов.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

2. Оформите отчет по лабораторной работе, который должен содержать:

· титульный лист;

· исходные данные варианта;

· решение задачи;

· результаты решения задачи.

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Пример 1.1.

Решить дифференциальное уравнение второго порядка при данных начальных условиях .