Проекции центральные и параллельные.

Точка, прямая, плоскость

 

Методические указания по курсу

«Инженерная и компьютерная графика»

 

 

Москва 2011

Разработчики:

канд.техн.наук, проф. А.А. Пузиков

канд.физ.-мат.наук, доц.Д.А. Пяткина

 

УДК 744

 

Инженерная и компьютерная графика, элементы начертательной геометрии, 1 часть, точка, прямая, плоскость: Метод. указания по курсу «Инженерная и компьютерная графика»/ Московский государственный ин-т электроники и математики(технический университет.

 

Разработчики:

А.А.Пузиков, Д.А.Пяткина. –28Ì с.

Ил.35. Библиогр.: 5 назв.Ì Ì

Указания содержат теоретический материал и упражнения по первой части курса, необходимые для практических занятий и выполнения домашней работы согласно учебных планов и рабочих программ. Предназначены для студентов, обучающихся на Iкурсе по инженерным специальностям, а также для студентов Iкурса специальности «Компьютерный дизайн и реклама».Ì

ISBN978-5-94506-281-9 Í Ì

Æ É Ê Ë Ì Í Î Ï Û Ü Ý Þ ß º ¹ ¾ ¥ abgdp< > =^+-//j

L Ì F«­¯ ®¥ °§', *FLM∩ γ ≈ ^^DXqÌ

 

Элементы начертательной геометрии

Лекция 1.

Образование проекций

Метод проекций

Проекции центральные и параллельные.

Метод Монжа. Инвариантные свойства проецирования.

Проекции параллельные

Рис.1.

Образование центральных проекций точек A, B, C, D, E, …

 

В основе центрального проецирования лежат полученные изображения точек (A B C D E…) на плоскости проекцийπ ₀ (рис.1.) путем проведения проецирующих прямых (SA₀, SB₀, SC₀, SD₀, SE₀, …) из центра проекций S через эти точки до пересечения с плоскостью проекций π ₀. В результате получаем центральные проекции точек (A B C D E …) на плоскости π ₀, а именно, A₀, B₀, C₀, D₀, E₀, ….

Рис.2.

Образование центральных проекций кривых линий, принадлежащих проецирующей поверхности [S A₀ B₀ C₀ D₀ E₀ … ]

 

Очевидно, что проекции нескольких линий:

A₁ B₁ C₁ D₁ E_1, …, A₂ B₂ C₂ D₂ E₂, …, лежащих на поверхности S A₀ B₀ C₀ D₀ E₀… (рис.2), будут проецироваться в одну линию A₀ B₀ C₀ D₀ E₀… на плоскость проекций π ₀, где точки A₀, B₀, C₀, D₀, E₀, … являются центральными проекциями точек A₁ , B₁ , C₁ , D₁ , E₁, …, A₂ , B₂ , C₂ , D₂ , E₂, …, на плоскость π ₀.

Проекции параллельные

Условимся считать, что все проецирующие прямые параллельны заданному направляющему вектору «S» (рис.3.).

Рис.3. Образование параллельных проекций точек

A, B, C, D, D₁, D₂

 

Проецирующие прямые AA₀, BB₀, CC₀, DD₀, D₁D₀, D₂D₀

параллельны заданному направлению проецирования « S ».

Построенные таким образом проекции точек называются параллельными . Следовательно, параллельной проекцией точки будем называть точку пересечения проецирующей прямой , проведенной параллельно заданному направлению «S», с плоскостью проекций π ₀.

В параллельных проекциях, так же как и в центральных, для прямой линии проецирующей поверхностью в общем случае служит плоскость, и поэтому прямая линия вообще проецируется в виде прямой. При этом каждая точка и линия пространства имеют единственную проекцию.

Каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией множества точек, если через них проходит общая для них проецирующая прямая, например, на рис.3. точка D₀ служит проекцией точек D, D₁ и D₂.

Каждая линия на плоскости проекций может быть проекцией множества линий (рис.4), если они расположены в общей для них проецирующей плоскости.

Рис.4. Образование параллельных проекций линий,

расположенных в одной проецирующей плоскости AB B₀A₀.

« S » ― направление проецирования.

Проецирующие прямые AA₀, BB₀ параллельны заданному направлению проецирования «S».

 

На рис.4. отрезок A₀B₀ служит проекцией отрезка прямой AB и отрезков плоских кривых линий A₁B₁ и A₂ B₂.

Для единственного решения необходимы дополнительные условия.

Для построения проекций прямой достаточно спроецировать две точки и через полученные проекции этих точек провести прямую линию (рис.5).

Рис.5. Образование параллельных проекций прямых линий.

«S» ― направление проецирования.

 

Прямая AB параллельна направлению проецирования «S».

Прямая CD параллельнаплоскости проекций π ₀.

Точка «К» принадлежит прямой общего положения JT.

Проецирующие прямые AA₀, BB₀, CC₀, DD₀, JJ₀, TT₀, KK₀ параллельны заданному направлению проецирования «S».

Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой, например, на рис.5. точка «К» принадлежит прямой, проекция К₀ принадлежит проекции этой прямой.

Если прямая параллельна направлению проецирования (на рис.5., прямая A B), то проекцией прямой и любого ее отрезка является точка A₀, она же B₀. Отрезок прямой линии, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость в натуральную величину. На рис.5. C D = C₀ D₀ как отрезки параллельных прямых.

Параллельныепроекции делятся на прямоугольные и косоугольные.

В первом случае направляющий вектор « S» перпендикулярен плоскости проекций, а во втором расположен к плоскости проекций под острым углом.

В дальнейшем, в данном методическом пособии будем использовать только прямоугольные проекции.

Метод Монжа

Развитие науки и техники требовало получения точных плоских изображений объектов. Отдельные правила и приемы построения таких изображений были впервые приведены в систему и развиты в труде французского ученого Гаспара Монжа, изданном в 1799 г., под названием “ Gé omè trie descriptive”.

Гаспар Монж (1746-1818), участник работы по введению метрической системы мер и весов, вошел в историю как крупный французский геометр. Учитывая большое практическое значение его метода для выполнения чертежей объектов военного значения и не желая, чтобы метод Монжа стал известен вне границ Франции, ее правительство запретило печатанье его +книг.

Изложенный Монжем метод параллельного проецирования обеспечивает высокую точность и удобство изображений объектов на плоскости и является основным методом составления технических чертежей.

Следует заметить, что в России часто слово прямоугольный заменяют на слово ортогональный.

Лекция 2.

В этой лекции все примеры даются только в рамках систем двух и трех взаимно-перпендикулярных плоскостей проекций.

Точка и прямая

2.1 Точка в системе двух взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π ₁, π ₂

 

Рассмотрим систему ортогональных плоскостей проекций ( π ₁, π ₂) (рис.6.). Вертикальная плоскость ( π ₂ )называется фронтальной плоскостью проекций, а горизонтальная плоскость ( π ₁ ) называется горизонтальной плоскостью проекций.

Линия пересечения плоскостей π ₁ и π ₂ называется осью проекций. В дальнейшем эту ось будем обозначать буквами «XO» или дробью ( π ₁ / π ₂ ) _.

Рис.6. Образование чертежа

методом совмещения плоскостей проекций

Построим в полученной системе ( π ₁/π ₂) (рис. 6. ) проекции точки «A». Для этого через точку «A» проведем две проецирующие прямые ( A А ’ и A A ’’), перпендикулярные каждой из плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂)_. В результате получим горизонтальную проекцию точки «А», которую обозначим – ( А ’ ) и фронтальную проекцию точки «А», которую обозначим – ( A ’’ ).

В каждой из плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂) проводим через проекции – ( А ’ и A ’’ ) вспомогательные прямые

( А ’ A x и A ’’ A x ), перпендикулярные оси проекций «XO».

Вращаем горизонтальную плоскость проекций ( π ₁ ) вокруг оси «XO» до ее совмещения с фронтальной плоскостью проекций ( π ₂ ).

В результате проекции ( А ’ и A ’’ ) точки «A» располагаются на одной вертикальной прямой ( А ’ A ’’ ), пересекающей ось «XO» в точке «A x ».

Если проведем обратное построение, то есть по двум проекциям восстановим положение точки в пространстве, то увидим, что две проекции точки определяют её положение в пространстве относительно данной системы плоскостей проекций.

На основе рис.6. выполняется изображение, показанное на рис.7.

Это изображение точки (в системе двух ортогональных плоскостей проекций) известно под названием «Эпюр Монжа».

Прямую ( А ’ A ’’), перпендикулярную оси проекций, Монж назвал - «линией связи».

Отрезок линии связи │ A ’’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций ( π ₁ ) – отрезок │ а│.

Отрезок линии связи │ А ’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до фронтальной плоскости проекций ( π ₂ ) – отрезок │ b│.

 

 

Часто применяют в решении задач более простое изображение «Эпюра Монжа» для точки, которое показано на рис.8.

Отрезок линии связи │ A ’’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций ( π ₁ ) – модуль координаты « z ».

Отрезок линии связи │ А ’ A x │ определяет расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций ( π ₂ ) – модуль координаты « y ».

Отрезок линии связи │ A x O│ определяет расстояние от точки «A» до профильной*⁾ плоскости проекций ( π ₃ ) – модуль координаты « x ».

*⁾ См. далее параграф 2.2 «Точка в системе трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций π ₁, π ₂, π ₃ ».

2.2 Точка в системе трех взаимно перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций π ₁, π ₂, π ₃

 

Плоскость π ₃ ( рис.9.) перпендикулярна двум ранее рассмотренным плоскостям проекций π ₁ и π ₂ (рис.6.).

Следовательно, плоскость π ₃ перпендикулярна оси проекций «XO». Плоскость π ₃ пересекает плоскость π ₂ по линии «YO», а плоскость π ₃ по линии «ZO». Прямые «YO» и «ZO» также, по аналогии с «XO», называют осями проекций.

Совмещаем плоскости проекций π ₁, π ₂, π ₃ с системой плоскостей координат.

Рис.9. Это изображение точки (в системе трех ортогональных плоскостей проекций, совмещенных в одну плоскость) будем называть также «Эпюр Монжа».

 

В этом случае с осями проекций ( XO, YO, ZO ) будут совмещены также и оси координат ( OX OY OZ ).

Общую точку осей проекций «O» будем считать началом координат.

На основе рис.9. выполняется построение изображения, показанного далее на рис.10.

Прямые ( А ’ A ’’) и ( А ’’ A ’’’) перпендикулярные осям проекций, будем также называть « линиями связи ».

Отрезок линии связи │ A ’’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций ( π ₁ ).

Отрезок линии связи │ A ’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до фронтальной плоскости проекций ( π ₂ ).

Рис. 10. Изображение точки в системе трех ортогональных плоскостей проекций, совмещенных в одну плоскость.

Отрезок линии связи │ A ’ A y │ определяет расстояние от точки «A» до профильной плоскости проекций ( π ₃ ). Проецирование точки в системе трех взаимно - перпендикулярных (ортогональных) плоскостей проекций.

Часто применяют в решении задач более простое изображение – «Эпюр Монжа» для точки, которое показано на рис.11.

 

Рис. 11. Изображение точки в системе трех

ортогональных плоскостей проекций.

Отрезок линии связи │ A ’’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до горизонтальной плоскости проекций ( π ₁ ) – «отрезок z ».

Отрезок линии связи │ A ’ A x │ определяет расстояние от точки «A» до фронтальной плоскости проекций ( π ₂ ) – «отрезок y ».

Отрезок линии связи │ A ’ A y │ определяет расстояние от точки «A» до профильной плоскости проекций ( π ₃ ) – «отрезок x ».

Первая координата (x) точки А (отрезок A_x O ) называется абсциссой.

Вторая координата (y) точки А (отрезок A_x А^′ ) называется ординатой.

Третьякоордината (z) точки А (отрезок A_x A ′ ′ ) называется аппликатой.

То есть мы получили в распоряжение декартову систему прямоугольных координат.

Прямоугольных координат

Как видно из рис. 12. в выбранной системе плоскостей проекций ( π ₁, π ₂, π ₃ ) в совокупности с совмещенной с ней системой плоскостей координат ( XOY, XOZ, ZOY ), появилась возможность определять положение точки в пространстве тремя координатами, а именно, x, y и z. Координаты могут быть как положительными, так и отрицательными.

Система координат Декарта может быть прямоугольной и косоугольной . Будем дальше рассматривать только прямоугольную систему.

Рис. 12.

Совмещённая система плоскостей проекций

( π ₁, π ₂, π ₃ ) и плоскостей координат ( XOY, XOZ, ZOY ).

Римскими цифрами обозначены номера октантов .

 

Три плоскости проекций делят пространство на восемь частей ( октантов). Нумерация октантов показана на рис.12.

Первый октант ( I ) имеет все три положительные координаты ( + x, + y, + z). Второй октант ( II ) имеет одну отрицательную и две положительные координаты ( + x, - y, + z). Третий октант ( III ) имеет одну положительную и две отрицательные координаты ( + x, -y, -z). Четвертый ( IV ) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты ( + x, + y, -z). Пятый ( V ) октант имеет одну отрицательную и две положительные координаты (-x, + y, + z). Шестой октант ( VI ) имеет две отрицательные и одну положительную координаты (-x, -y, + z). Седьмой октант ( VII ) имеет все три отрицательные координаты (-x, -y, -z). Восьмой октант ( VIII ) имеет одну положительную и две отрицательные координаты (-x, + y и -z).

На рис.13. показаны точки, расположенные в первых четырех октантах.

Точка А (А ’ и A ’’ ) расположена в первом октанте.

Точка B (B ’ B ’’ ) расположена во втором октанте.

Точка С (С ’ С ’’ ) расположена в третьем октанте.

Точка D (D ’ D ’’ ) расположена в четвертом октанте.

При работе в системе двух плоскостей проекций ( π ₁ π ₂ ) пространство делится на четыре части, которые называют « четвертями пространства ».

Номера четвертейпространства соответствуют номерам первых четырёх октантов ( рис.13.).

Точка «A» расположена в первой четверти пространства (в первом октанте).

Точка «B» расположена во второй четверти (во втором октанте).

Точка «C» расположена в третьей четверти (в третьем октанте).

Точка «D» расположена в четвертой четверти (в четвертом октанте).

Рис. 13. Изображение точек, расположенных в первых

четырех октантах пространства.

Рис. 18.

Теперь покажем, как определяются указанные выше параметры отрезка прямой общего положения применительно к чертежу в системе трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ) (рис.18).

Этими параметрами будут: истинная величина отрезка

( l ист.) и углы наклона отрезка к трем плоскостям проекций (ے α, ے β, ے γ ).

 

 

Рис. 19. Прямая общего положения. Построение вспомогательных прямоугольных треугольников для определения истинной величины отрезка и углов наклона отрезка к каждой из трех плоскостей проекций в методе « Прямоугольного треугольника»

 

На чертеже (рис.19) построены три прямоугольных треугольника каждый по двум катетам.

Как видно из чертежа, первый катет в каждом треугольнике равен длине отрезка представляющего собой проекцию на соответствующую плоскость проекций ( A ’ B ’ = a, A ’’ B ’’ = b и A ’’’ B ’’’ = c ).

Второй катет ( B ’ B*= ∆ Z, B ’’ B*= ∆ Y и B ’’’ B*= ∆ X )

равен абсолютной величине разности расстояний концов отрезка до той же плоскости.

 

Из сказанного следует: В первом прямоугольном треугольнике (на горизонтальной проекции, рис.19) первый катет равен длине горизонтальной проекции, второй катет равен абсолютной величине разности расстояний концов отрезка до горизонтальной плоскости проекций │ ∆ z │. Гипотенуза является истинной величиной ( l ист.) отрезка │ AB│.

Угол между прямой и горизонтальнойплоскостью проекций ( ے α ) определится как угол, образованный (составленный) гипотенузой треугольника и первым катетом.

Во втором прямоугольном треугольнике (на фронтальной проекции, рис.19) первый катет равен длине фронтальной проекции, второй катет равен абсолютной величине разности расстояний концов отрезка до фронтальной плоскости проекций │ ∆ y │. Гипотенуза является истинной величиной ( l ист.) отрезка │ AB│.

Угол между прямой и фронтальнойплоскостью проекций ( ے β ) определится как угол, образованный (составленный) гипотенузой треугольника и первым катетом.

В третьем прямоугольном треугольнике (на профильной проекции, рис.19) первый катет равен длине профильной проекции, второй катет равен абсолютной величине разности расстояний концов отрезка до профильной плоскости проекций

│ ∆ x │. Гипотенуза является истинной величиной ( l ист.)

отрезка │ AB│.

Угол между прямой и профильнойплоскостью проекций ( ے γ ) определится как угол, образованный (составленный) гипотенузой треугольника и первым катетом.

Параллельные прямые

Одним из основных свойств параллельного проецирования является то, что проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.

Обратное утверждение справедливо только при параллельности одноименных проекций прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). Если параллельные прямые принадлежат плоскости, которая перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость прямые проецируются в одну прямую (рис.22).

 

2.5.1.1 Модель ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.21)

 

Прямые AB и CD параллельны между собой, следовательно их проекции также параллельны между собой (A⁰B⁰//C⁰D⁰). Прямые SK и LT параллельны между собой и лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций( π ₀ ), следовательно их проекции совпадают (S⁰ K⁰≡ L⁰ T⁰).

Рис.21.

Модель ортогонального проецирования параллельных прямых.

2.5.1.2 Чертежи ортогонального проецирования

параллельных прямых (рис.22)

На рис.22 показаны чертежи пар параллельных прямых:

AB // CD, MN // KL и EF // PR.

Рис. 22. П араллельные прямые.

а) Проекции прямых на две плоскости проекций( π ₁ и π ₂ ).

б) Проекции прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ).

 

Прямые AB и CD параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: (А ’ B ’ // C ’ D ’ ), (A ’’ B ’’ // C ’’ D ’’ ).

Прямые MN и KL параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: ( M ’ N ’ // K ’ L ’ ),

( M ’’ N ’’ // K ’’ L ’’). Проекции ( M ’ N ’ и K ’ L ’ ) совпадают, значит прямые лежат в вертикально-проецирующей плоскости.

Прямые EF и PR параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: (E ’ F ’ // P ’ R ’ ),

(E ’’ F ’’ // P ’’ R ’’ ), (E ’’’ F ’’’ // P ’’’ R ’’’ ).

Так как прямые EF и PR являются профильными прямыми, то их параллельность однозначно выявляется при наличии на чертеже профильных проекций - (E ’’’ F ’’’ // P ’’’ R ’’’ ).

 

Можно обойтись без профильных проекций, но при этом, для выявления параллельности таких прямых, необходимы дополнительные построения.

 

Из сказанного следует, что для линий уровня (горизонтальных, фронтальных, профильных и др.) параллельность прямых лучше определять по их проекциям на плоскость, которой они параллельны.

Пересекающиеся прямые

 

2.5.2.1 Модель ортогонального проецирования пересекающихся прямых (рис.23)

 

Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку. Одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются в точке, которая является проекцией их общей точки.

Пересекаются пары прямых – (AD ∩ CB) и (ST ∩ LK). Прямые AD и CB пересекаются в точке R, следовательно их проекции A⁰D⁰ и C⁰ B⁰ пересекаются в точке R⁰, которая является проекцией точки R наплоскость проекций π ₀. Прямые ST и LK пересекаются в точке Q, следовательно их проекции S⁰T ⁰ и L⁰ K⁰ пересекаются в точке Q⁰, которая является проекцией точки Q на

плоскость проекций π ₀. Так какпрямые т ST и LK лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций π ₀, то их проекции

совпадают (S⁰ T⁰≡ L⁰ K⁰).

 

Рис. 23. Модель ортогонального проецирования

пересекающихся прямых.

2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования

параллельных прямых (рис.24)

 

а) (AB ∩ CD), (MN ∩ LK); б) (EF ∩ PR).

Прямые AB и CD пересекаются в точке V, следовательно их проекции: (A ’ B ’ ∩ C ’ D ’ = V ’ ), (A ’’ B ’’ ∩ C ’’ D ’’ = V ’’ ) пересекаются в точках V ’ и V ’’и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».

Рис. 24. Пересекающиеся прямые.

а) Проекции прямых на две плоскости проекций ( π ₁ и π ₂ ).

б) Проекции прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ).

Пересекаются пары прямых:

 

Прямые MN и LK пересекаются в точке S, следовательно их проекции: (M ’ N ’ ∩ L ’ K ’ = S ’ ), (M ’’ N ’’ ∩ L ’’ K ’’ = S ’’ ) пересекаются в точках S ’ и S ’’и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».

Прямые EF и PR пересекаются в точке T, следовательно их проекции: (E ’ F ’ ∩ P ’ R ’ = T ’ ), (E ’’ F ’’ ∩ P ’’ R ’’ = T ’’ ) и (E ’’’ F ’’’ ∩ P ’’’ R ’’’ = T ’’’ ) пересекаются в точках T ’ , T ’’и T ’’’. Эти точки попарно лежат на линиях связи, перпендикулярных осям проекций: «XO», «YO» и «ZO» соответственно.

Из сказанного следует:

1. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, а точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

2. Если пересекающиеся прямые лежат в плоскости перпендикулярной плоскости проекций, то их проекции на эту плоскость совпадают (рис.25).

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой.

2.5.3.1 Модель ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.25)

Прямые AD и CB (рис.25) не являются параллельными и не пересекаются между собой. Их проекции могут пересекаться

(A⁰D⁰∩ C⁰B⁰=[E⁰≡ J⁰]), новточку пересеченияпроекций проецируются две разные точки (E и J), принадлежащие разным прямым ( E принадлежит прямой CB, J принадлежит прямой AD ).

Проекции скрещивающихся прямых LQ и SK параллельны (L⁰Q⁰ // S⁰K⁰), так как прямые лежат в параллельных проецирующих плоскостях.

 

Рис. 25. Модель ортогонального проецирования

скрещивающихся прямых.

 

2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования

скрещивающихся прямых (рис.26)

Пример скрещивающихся прямых общего положения приведен на рис.26 а) и б). Проекции прямых построены в системе двух плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂ ).

Скрещиваются пары прямых: (AB ÷ CD), (MN ÷ KL).

Пример скрещивающихся профильных прямых приведен на рис.26 в). Проекции прямых построены в системе трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). Скрещиваются две прямые: (EF ÷ PR).

Рис. 26. Скрещивающиеся прямые.

На чертеже (рис.26а и рис.26б), в системе двух плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂ ) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают: M” Ξ (V”), H’ Ξ (U’), S” Ξ (Q”).

Условно считают, что точка V невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой M, а точка U невидима на горизонтальной проекции, так как «закрыта» точкой H. Точно также точка Q невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой S.

На чертеже (рис.26в), в системе трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций (на плоскости π ₃ ) совпадают: T ’’’ Ξ (J ’’’ ).

Проекции «закрытых» точек берут в скобки.

Проецирование плоских углов

Свойства проецирования плоских углов

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде прямой линии.

2. Если плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций, то проекция тупого на эту плоскость представляет собой тупой угол, а проекция острого угла – острый угол.

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна истинной величине проецируемого угла. Но для острого или тупого угла, у которого только одна сторона параллельна плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого угла больше проецируемого угла.

4. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью проекций равные углы.

6. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, но не параллельны плоскости проекций, то угол – проекция не может равняться проецируемому углу.

7. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.

 

В дальнейшем большое применение при решении задач будет иметь теорема о частном случае проецирования прямого угла (примеры на рис.28).

 

Теорема:

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна плоскости проекций, а одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в истинную величину (в виде прямого угла).

 

Из этой теоремы вытекает два следствия:

1. Если проекция прямого угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что, по крайней мере, одна из его сторон будет параллельна плоскости проекций.

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

 

Чертежи прямых углов, у которых одна из сторон параллельна плоскости проекций, приведены на рис.27.

 

Проекции прямых (AB _┴ BN) (BD _┴ DM) выполненына две плоскости проекций ( π ₁ и π ₂ ). При этом AB // π ₁, BD // π ₂.

Проекции прямых (KB _┴ EF) выполненына три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). При этом BF // π ₃.

 

 

 

Рис. 27.

 

Прямые (линии уровня ― (AB, CD, EF) пересекающиеся под прямым углом с прямыми общего положения (BN, DM, GK).

 

Как видно из рис.27, горизонтальная проекция прямого угла L ABN, а именно L A’ B’ N’, представляет собой прямой угол ( L 90°), фронтальная проекция прямого угла L CDM, а именно LC”D”M”, представляет собой прямой угол (90°), профильная проекция прямого угла L KGF, а именно L K”’G”’F”’, представляет собой прямой угол (90°), что соответствует выводам теоремыо частном случае проецирования прямого угла.

В качестве примера применения теоремы о частном случае проецирования прямого угла рассмотрим задачу определения расстояния от точки «P» до прямой «h» (рис.28).

Рис. 28

Заданы: Прямая «h» (горизонтальная) и точка «P»

123Следующая ⇒

Поделиться: