Определение параметров отрезка

Прямых линий частного положения, а именно,

линий уровня (рис.20).

 

Из рисунка 20 видно, что для каждой из изображенных линий ( горизонтали [ AB], фронтали [ CD ] и профильной прямой [ EF] ) истинные величины отрезков определяют их одноименные проекции.

Углы наклона указанных прямых к плоскостям проекций также хорошо видны из чертежа.

Рис. 20. Прямые частного положения (линии уровня). Определение параметров прямых ( истинных величин отрезков и углов наклона к плоскостям проекцийے : α – угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций, ے β – угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций, ے γ – угол наклона прямой к профильной плоскости проекций).

 

Взаимное положение прямых линий

Параллельные прямые

Одним из основных свойств параллельного проецирования является то, что проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.

Обратное утверждение справедливо только при параллельности одноименных проекций прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). Если параллельные прямые принадлежат плоскости, которая перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость прямые проецируются в одну прямую (рис.22).

 

2.5.1.1 Модель ортогонального проецирования параллельных прямых (рис.21)

 

Прямые AB и CD параллельны между собой, следовательно их проекции также параллельны между собой (A⁰B⁰//C⁰D⁰). Прямые SK и LT параллельны между собой и лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций( π ₀ ), следовательно их проекции совпадают (S⁰ K⁰≡ L⁰ T⁰).

Рис.21.

Модель ортогонального проецирования параллельных прямых.

2.5.1.2 Чертежи ортогонального проецирования

параллельных прямых (рис.22)

На рис.22 показаны чертежи пар параллельных прямых:

AB // CD, MN // KL и EF // PR.

Рис. 22. П араллельные прямые.

а) Проекции прямых на две плоскости проекций( π ₁ и π ₂ ).

б) Проекции прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ).

 

Прямые AB и CD параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: (А ’ B ’ // C ’ D ’ ), (A ’’ B ’’ // C ’’ D ’’ ).

Прямые MN и KL параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: ( M ’ N ’ // K ’ L ’ ),

( M ’’ N ’’ // K ’’ L ’’). Проекции ( M ’ N ’ и K ’ L ’ ) совпадают, значит прямые лежат в вертикально-проецирующей плоскости.

Прямые EF и PR параллельны между собой, следовательно, их одноименные проекции также параллельны: (E ’ F ’ // P ’ R ’ ),

(E ’’ F ’’ // P ’’ R ’’ ), (E ’’’ F ’’’ // P ’’’ R ’’’ ).

Так как прямые EF и PR являются профильными прямыми, то их параллельность однозначно выявляется при наличии на чертеже профильных проекций - (E ’’’ F ’’’ // P ’’’ R ’’’ ).

 

Можно обойтись без профильных проекций, но при этом, для выявления параллельности таких прямых, необходимы дополнительные построения.

 

Из сказанного следует, что для линий уровня (горизонтальных, фронтальных, профильных и др.) параллельность прямых лучше определять по их проекциям на плоскость, которой они параллельны.

Пересекающиеся прямые

 

2.5.2.1 Модель ортогонального проецирования пересекающихся прямых (рис.23)

 

Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку. Одноименные проекции пересекающихся прямых пересекаются в точке, которая является проекцией их общей точки.

Пересекаются пары прямых – (AD ∩ CB) и (ST ∩ LK). Прямые AD и CB пересекаются в точке R, следовательно их проекции A⁰D⁰ и C⁰ B⁰ пересекаются в точке R⁰, которая является проекцией точки R наплоскость проекций π ₀. Прямые ST и LK пересекаются в точке Q, следовательно их проекции S⁰T ⁰ и L⁰ K⁰ пересекаются в точке Q⁰, которая является проекцией точки Q на

плоскость проекций π ₀. Так какпрямые т ST и LK лежат в плоскости, перпендикулярной плоскости проекций π ₀, то их проекции

совпадают (S⁰ T⁰≡ L⁰ K⁰).

 

Рис. 23. Модель ортогонального проецирования

пересекающихся прямых.

2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования

параллельных прямых (рис.24)

 

а) (AB ∩ CD), (MN ∩ LK); б) (EF ∩ PR).

Прямые AB и CD пересекаются в точке V, следовательно их проекции: (A ’ B ’ ∩ C ’ D ’ = V ’ ), (A ’’ B ’’ ∩ C ’’ D ’’ = V ’’ ) пересекаются в точках V ’ и V ’’и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».

Рис. 24. Пересекающиеся прямые.

а) Проекции прямых на две плоскости проекций ( π ₁ и π ₂ ).

б) Проекции прямых на три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ).

Пересекаются пары прямых:

 

Прямые MN и LK пересекаются в точке S, следовательно их проекции: (M ’ N ’ ∩ L ’ K ’ = S ’ ), (M ’’ N ’’ ∩ L ’’ K ’’ = S ’’ ) пересекаются в точках S ’ и S ’’и эти точки лежат на одной линии связи, перпендикулярной оси проекций «XO».

Прямые EF и PR пересекаются в точке T, следовательно их проекции: (E ’ F ’ ∩ P ’ R ’ = T ’ ), (E ’’ F ’’ ∩ P ’’ R ’’ = T ’’ ) и (E ’’’ F ’’’ ∩ P ’’’ R ’’’ = T ’’’ ) пересекаются в точках T ’ , T ’’и T ’’’. Эти точки попарно лежат на линиях связи, перпендикулярных осям проекций: «XO», «YO» и «ZO» соответственно.

Из сказанного следует:

1. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются, а точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.

2. Если пересекающиеся прямые лежат в плоскости перпендикулярной плоскости проекций, то их проекции на эту плоскость совпадают (рис.25).

Скрещивающиеся прямые

Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой.

2.5.3.1 Модель ортогонального проецирования скрещивающихся прямых (рис.25)

Прямые AD и CB (рис.25) не являются параллельными и не пересекаются между собой. Их проекции могут пересекаться

(A⁰D⁰∩ C⁰B⁰=[E⁰≡ J⁰]), новточку пересеченияпроекций проецируются две разные точки (E и J), принадлежащие разным прямым ( E принадлежит прямой CB, J принадлежит прямой AD ).

Проекции скрещивающихся прямых LQ и SK параллельны (L⁰Q⁰ // S⁰K⁰), так как прямые лежат в параллельных проецирующих плоскостях.

 

Рис. 25. Модель ортогонального проецирования

скрещивающихся прямых.

 

2.5.2.2 Чертежи ортогонального проецирования

скрещивающихся прямых (рис.26)

Пример скрещивающихся прямых общего положения приведен на рис.26 а) и б). Проекции прямых построены в системе двух плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂ ).

Скрещиваются пары прямых: (AB ÷ CD), (MN ÷ KL).

Пример скрещивающихся профильных прямых приведен на рис.26 в). Проекции прямых построены в системе трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). Скрещиваются две прямые: (EF ÷ PR).

Рис. 26. Скрещивающиеся прямые.

На чертеже (рис.26а и рис.26б), в системе двух плоскостей проекций ( π ₁ и π ₂ ) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций совпадают: M” Ξ (V”), H’ Ξ (U’), S” Ξ (Q”).

Условно считают, что точка V невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой M, а точка U невидима на горизонтальной проекции, так как «закрыта» точкой H. Точно также точка Q невидима на фронтальной проекции, так как «закрыта» точкой S.

На чертеже (рис.26в), в системе трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ) имеются точки, проекции которых на одной из плоскостей проекций (на плоскости π ₃ ) совпадают: T ’’’ Ξ (J ’’’ ).

Проекции «закрытых» точек берут в скобки.

Проецирование плоских углов

Свойства проецирования плоских углов

1. Если плоскость, в которой расположен некоторый угол, перпендикулярна к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в виде прямой линии.

2. Если плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций, то проекция тупого на эту плоскость представляет собой тупой угол, а проекция острого угла – острый угол.

3. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то его проекция равна истинной величине проецируемого угла. Но для острого или тупого угла, у которого только одна сторона параллельна плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого угла больше проецируемого угла.

4. Если обе стороны любого угла параллельны плоскости проекций или одинаково наклонены к ней, то деление проекции угла на этой плоскости пополам соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

5. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью проекций равные углы.

6. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, но не параллельны плоскости проекций, то угол – проекция не может равняться проецируемому углу.

7. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.

 

В дальнейшем большое применение при решении задач будет иметь теорема о частном случае проецирования прямого угла (примеры на рис.28).

 

Теорема:

Если плоскость прямого угла не перпендикулярна плоскости проекций, а одна из сторон этого угла параллельна плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в истинную величину (в виде прямого угла).

 

Из этой теоремы вытекает два следствия:

1. Если проекция прямого угла представляет собой прямой угол, то проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что, по крайней мере, одна из его сторон будет параллельна плоскости проекций.

2. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол тоже прямой.

 

Чертежи прямых углов, у которых одна из сторон параллельна плоскости проекций, приведены на рис.27.

 

Проекции прямых (AB _┴ BN) (BD _┴ DM) выполненына две плоскости проекций ( π ₁ и π ₂ ). При этом AB // π ₁, BD // π ₂.

Проекции прямых (KB _┴ EF) выполненына три плоскости проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ). При этом BF // π ₃.

 

 

 

Рис. 27.

 

Прямые (линии уровня ― (AB, CD, EF) пересекающиеся под прямым углом с прямыми общего положения (BN, DM, GK).

 

Как видно из рис.27, горизонтальная проекция прямого угла L ABN, а именно L A’ B’ N’, представляет собой прямой угол ( L 90°), фронтальная проекция прямого угла L CDM, а именно LC”D”M”, представляет собой прямой угол (90°), профильная проекция прямого угла L KGF, а именно L K”’G”’F”’, представляет собой прямой угол (90°), что соответствует выводам теоремыо частном случае проецирования прямого угла.

В качестве примера применения теоремы о частном случае проецирования прямого угла рассмотрим задачу определения расстояния от точки «P» до прямой «h» (рис.28).

Рис. 28

Заданы: Прямая «h» (горизонтальная) и точка «P»

Определить: Расстояние от точки «P» до прямой «h».

Алгоритм решения задачи:

1.Из точки «P» проводится перпендикуляр к прямой «h».

2.Определяется истинная величина отрезка перпендикуляра между точкой «P» и точкой пересечения перпендикуляра и прямой «K».

Выполняем подробное описание необходимых построений.

Прямая линия «h» – горизонтальная прямая, т.е. прямая параллельна горизонтальной плоскости проекций π ₁. Следовательно, горизонтальная проекция перпендикуляра ( P’K’ ), проведенного из точки «P» к прямой «h» образует с горизонтальной проекцией прямой h’ угол равный 90 градусов.

Здесь точка «K» есть точкапересечения перпендикуляра (PK) с прямой «h».

Далее, пользуясь методом прямоугольного треугольника (см. стр. 19 данного пособия), определяем истинную величину отрезка │ PK│.

Строится прямоугольный треугольник по двум катетам.

Первым катетом является горизонтальная проекция перпендикуляра – ( P’K’ ).

Вторым катетом будет отрезок ( Δ Z ) равный разности расстояний концов отрезка │ PK│ до горизонтальной плоскости проекций π ₁, т.е. той плоскости, на которой мы взяли проекцию ( P’K’ ) в качестве первого катета.

Длина гипотенузы построенного треугольника (Δ P’K’P*) (см. рис.29) является истинной величиной расстояния от точки «P» до прямой «h».

Следы прямых

Примечание: Следы прямых необходимы для построения следов плоскостей.

Точки в которых заданная прямая пересекает плоскости проекций называют следами прямой.

При наличии на чертеже трех плоскостей проекций ( π ₁, π ₂ и π ₃ ) мы можем иметь три следа заданной прямой:

Точку пересечения заданной прямой с горизонтальной плоскостью проекций называют горизонтальным следом прямой.

Точку пересечения заданной прямой с фронтальной плоскостью проекций называют фронтальным следом прямой.

Точку пересечения заданной прямой с профильной плоскостью проекций называют профильным следом прямой.

2.5.5.1 Обозначение следов прямых на чертежах

 

Горизонтальные следы: M (M’ M’’ M’’’), M₁ (M₁’ M₁’’ M₁’’’)……

Фронтальные следы: N (N’ N’’ N’’’), N₁ (N₁’ N₁’’ N₁’’’)……

Профильные следы: P (P’ P’’ P’’’), P₁ (P₁’ P₁’’ P₁’’’)……

2.5.5.2 Построение следов прямых на чертежах

2.5.5.2.1 Модель построения следов прямой общего положения (рис.29)

Рис. 29

Модель построения следов прямой общего положения

 

Если фронтальная проекция прямой пересекает ось OX и профильная проекция прямой пересекает ось OY, то мы построим горизонтальный след ( M ).

 

Если фронтальная проекция прямой пересекает ось OX и профильная проекция прямой пересекает ось OY, то мы построим горизонтальный след ( M ).

Если горизонтальная проекция прямой пересекает ось OX и профильная проекция прямой пересекает ось OZ, то мы построим фронтальный след ( N ).

Если фронтальная проекция прямой пересекает ось OZ и горизонтальная проекция пересекает ось OY, то мы построим профильный след ( P ).

Очевидно, что одна из координат «следа» равна нулю.

Для горизонтального следа прямой – ( M ) координата (Z =0).

Для фронтального следа прямой – ( N ) координата (Y=0).

Для профильного следа прямой – ( P ) координата (X=0).

 

2.5.5.2.2 Построения следов прямой общего на чертеже в трех проекциях (рис.30)

Рис. 30

Чертеж построения следов прямой общего положения ( AB )

Для нахождения следа прямой ее нужно продолжить до момента, когда хотя бы одна из проекций прямой пересечет ось проекций (рис.30).

Задан чертеж отрезка прямой общего положения │ AB │.

Алгоритм решения задачи:

Продолжим прямую до момента, когда ее фронтальная проекция пересекает ось OX, а её профильная проекция пересекает ось OY, тогда мы построим горизонтальный след ( M ) (Z_M =0) ( обратите внимание, координата {- Y_M} горизонтального следа ( M ) имеет отрицательный знак ).

Продолжим прямую до момента, когда ее горизонтальная

проекция пересекает ось OX и профильная проекция прямой пересекает ось OZ, тогда мы построим фронтальный след ( N ) (Y_N =0).

Продолжим прямую до момента, когда ее фронтальная проекция прямой пересекает ось OZ и горизонтальная проекция пересекает ось OY, то мы построим профильный след ( P ) (X_P =0).

⇐ Предыдущая123

Поделиться: