Численное решение краевой задачи

 

В качестве примера краевой задачи рассматривается задача о прогибе опертой по концам балки, находящейся под нагрузкой. Если балка оперта по концам, то прогиб балки по обоим концам равен нулю.

 

Дифференциальное уравнение прогибов балки описывается уравнением

,

где M – изгибающий момент, кг/м;

E – модуль упругости, величина которого зависит от материала балки, кг/см²;

J – момент инерции, величина которого зависит от профиля балки, см⁴.

 

Исходные данные по материалу и профилю балки представлены в табл. 3.12. Варианты заданий, отличающиеся распределением усилий по длине балки, приведены в табл. 3.13. Значения сосредоточенных усилий и моментов равны Р = 10⁴ кг, М =10⁶ кг·см. Положительными являются усилия, направленные вверх, и моменты, направленные по часовой стрелке. Длина балки l = 1 м. Разбиение балки на участки необходимо производить таким образом, чтобы точки приложения сосредоточенных нагрузок совпадали с узлами разбиения, а число участков разбиения было четным.

Пример разбиения балки представлен ниже на рисунке.

 

Расчет опорных реакций R_Aи R_B

Σ M_A = P·l – P·l/2 – R_B = 0; R_B = 1/2·P;

Σ M_B = P·l/2 + P·l + R_A = 0; R_A = -3/2·P

 

Цель работы:

1. Освоить методы решения краевой задачи.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. Рассчитать опорные реакции, исходя из условия равенства нулю суммы изгибающих моментов относительно левого и правого концов балки.

2. Определить формулы для расчета коэффициентов α ₀, α ₁, β ₀, β ₁, a_i, b_i, c_i, d_i [3, с. 75].

3. По блок-схеме [3, с. 77] составить программу решения краевой задачи методом «прогонки».

4. В соответствии с вариантом задания решить краевую задачу Коши с точностью ε =10^-1, задавшись начальным числом участков разбиения n = 4. Для вариантов с нечетными номерами профиль балки – двутавр, для четных вариантов – швеллер. Повторить вычисления для двух моментов инерции и для двух произвольных материалов из табл. 3.12.

5. Составить отчет по работе, содержащий график прогиба балки.

 

Таблица 3.12

 

Профиль	J, см4	Материал	Е, кг/см2
Двутавр	2·102	Сталь	2·106
7·103	Медь	1.2·106
2·105	Чугун	1.1·106
Швеллер	2·101	Алюминий	0.7·106
2·102	Стеклопластик	0.25·106
2·103	Древесина	0.1·106

 

Таблица 3.13

 

№	Распределение усилий по длине балки
x=0.25·l	x=0.5·l	x=0.75·l	x=l
	Р	-	-Р	-
	-	М	-Р	-
	-Р	-	М	-
	-	Р	-	-М
	М	-Р	-	-
	-М	-	-Р	-
	Р	-Р	-	-
	Р	-М	-	-
	-Р	-	-	М
	-	-М	Р	-
	-	Р	-Р	-
	М	-	Р	-
	М	-М	-	-
	-	-	М	-М
	-	-Р	-	М
	-	М	-М	-
	Р	-	-	-М
	-Р	М	-	-
	-	-	Р	-М
	-М	-	М	-

 

Лабораторная работа 3.12

Численное решение уравнения Лапласа

 

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения Лапласа.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 81-82] составить программу решения уравнения Лапласа методом «сеток».

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.14) при заданных граничных условиях рассчитать установившееся температурное поле для квадратной области, выбрав шаг разбиения по обеим координатным осям h=0.5.

3. По результатам расчетов в декартовой системе координат построить картину распределения поля температур в заданной области.

4. Задавшись нулевыми граничными условиями u(x0, y)=0, u(xn, y)=0, повторить пункты 2, 3 задания.

5. Составить отчет по работе.

Таблица 3.14

№	Границы	Граничные условия нагрева
x0, y0	xn, yn	u(x0, y)	u(xn, y)	u(x, y0)	u(x, yn)
		1.5	30·y		30·(1-x2)
		1.5	20·y	20·y2		50·x·(1-x)
		1.5		50·y·(1-y2)	50·x·(1-x)	50·x·(1-x)
		1.5	-10y2-8y+6	-10y2-10y+22	9·x2+7·x+6	9·x2-15·x-12
	1.0	2.5	-7·y2-5·y+3	-7·y2-21·y+13	6·x2+4·x+3	6·x2-12·x-9
	1.0	2.5	-6·y2-4·y+2	-6·y2-18·y+10	5·x2+3·x+2	5·x2-11·x-8
	2.5	4.0	-5·y2-3·y+1	-5·y2-15·y+7	4·x2+2·x+1	4·x2-24·x-21
	2.5	4.0	-19y2-17y+15	-19·y2-57·y+1	18x2+16x+15	18x2-24x-21
	2.5	4.0	-2·y-4·y2	4-12·y-4·y2	x+3·x2	-5·x-9·x2-3
	1.5	3.0		y+1		x+1
	1.5	3.0		y+1		x2+1
	1.5	3.0	-y3	1-y3	x2	x2-1

Окончание табл. 3.14
№	Границы	Граничные условия нагрева
x0, y0	xn, yn	u(x0, y)	u(xn, y)	u(x, y0)	u(x, yn)
	3.0	4.5	5·y-y2	4-y2+5·y	x2+3·x	x2+3·x+4
	3.0	4.5	3-7·y	7-5·y	4·x+3	5·x-4
	3.0	4.5	5-8·y	11-7·y	5·x+5	7·x-3
	2.0	3.5	y2+4·y	y2+4·y+4	x2+3·x	x2+3·x+5
	2.0	3.5	y2	(1-y)2	x2	(x-1)2
	2.0	3.5	y2	y2+2·y	x2-x	x2+x+1
	0.5	2.0	30·(1-y)	20·y	20·x	30·(1-x)
	0.5	2.0	y2	y	1-x3	x2

 

 

Лабораторная работа 3.13

Численное решение уравнения Фурье

Для прямоугольного стержня

Цель работы:

1. Освоить методы численного решения уравнения теплопроводности для случая длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. Оценить возможности применения изученных методов при решении практических задач.

3. Приобрести навыки написания программ по имеющимся блок-схемам на одном из изучаемых алгоритмических языков с последующим их оформлением в виде процедур или подпрограмм.

Задание:

1. По блок-схеме [3, с. 85] составить программу решения уравнения Фурье для длинного прямоугольного стержня с теплоизолированными боковыми кромками.

2. В соответствии с вариантом задания (табл. 3.15) при заданных начальном F(x, 0) и граничных условиях первого рода Q(0, t) и R(L, t) рассчитать изменение температуры стержня длиной L по времени. Коэффициент температуропроводности задать равным а = 1; коэффициент, связывающий шаг по времени с шагом по пространственной координате, положить равным σ = 1, 6. Число шагов по времени М =10.

3. По результатам расчетов на ЭВМ построить график изменения температуры по времени в средней по длине точке стержня u(L/2, t_j) и график распределения температуры по длине стержня по завершению процесса нагрева.

4. Повторить вычисления для σ = 1, 2 и сопоставить результаты расчетов с предыдущим решением.

5. По составленной программе рассчитать изменение температуры стержня при граничных условиях второго рода на левом конце стержня (x=L):

.

При нулевом начальном распределении температуры стержня u(x, 0)=0 и скачкообразном изменении температуры на левом конце стержня (х=0) u (0, t)=100 ⁰C.

Примечание. Внести изменения в программу с учетом равенств, вытекающих из условия нагрева второго рода на конце стержня (x=L) при переходе к конечным разностям, где u_{n, j} = u_{n-1, j}: j=0÷ m.

6. Составить отчет по работе.

Таблица 3.15

№	Длина	h	F(x, 0)	Q(0, t)	R(L, t)
		0.2	0.3 + 2·x		6·t+0.9
		0.4	1.75	0.5·t	0.5 – t
		0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t2	t + 0.2 t2
		0.5	x/2 - 0.6	t - 0.2·t2	t - 0.2 t2
		0.5	x + 0.3	t2 + t	t + 1
		1.0	x·(x – 7)	t	2·t - 6
		1.0	2.2	10·t	2.2
		1.0	7 + x	t	3·(0.5 + t)
		1.0	0.5+x·(0.8 - x)	0.6	3·(0.2 + t)
		2.0	x·(x + 1)		2·t + 3
		1.0	x2 – 0.08	t	t
		2.0	2.5·x – 1.5	t + 1	t + 1
		1.0	x·0.8 – x)	0.6	3·(0.2 + t)
		2.0	0.9+2·x·(1 - x)	3·(0.3 - 2·t)	1.38
		3.0	x·(1 – x) + 0.2	0.2	2·(t + 0.22)
		4.0	3·x·(2 - x)		t + 2.52
		1.0	3·x·(2 - x)		t + 2.52
		2.0	x·(1 – x)		t + 1
		1.0	x·(1 – x)		t + 1
		2.0	x + 0.3	t2 - t

Лабораторная работа 3.14

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: